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| Aufgabe | Beweise: Die abgeschlossene Hülle [mm] \overline{M} [/mm] einer Menge M ist abgecshlossen.
Folgere: A, B sind offene Mengen so ist A [mm] \cap [/mm] B bzw A [mm] \cup [/mm] B auch offen. |
Muss man da überhaupt was beweisen?
[mm] \overline{M}= [/mm] M [mm] \cup \delta [/mm] M
da [mm] \delta [/mm] M [mm] \subseteq \overline{M} [/mm] ist [mm] \overline{M} [/mm] abgeschlossen.
Weil wir haben abgeschlossene Mengen so definiert, dass sie ihren Rand enthalten.
[mm] \delta [/mm] M.. Rand von M
MAche ich es mir zu einfach
Offene MENGE= Menge, die nur aus inneren Punkten besteht
A ist offene Menge [mm] A=A^o
[/mm]
B ist offene Menge [mm] B=B^o
[/mm]
(A [mm] \cup B)^o [/mm] =?
Wie komme ich da auf = [mm] A^o \cup B^o=A \cup [/mm] B
andere Überlegung:
x [mm] \in [/mm] A, da A offen ist, hat x eine Epsilonumgebung (Radius [mm] \epsilon_1) [/mm] die ganz in A liegt
x [mm] \in [/mm] B, da B offen ist, hat x eine Epsilonumgebung(Radius [mm] \epsilon_2) [/mm] die ganz in B liegt.
Wie schaut die Epsilonumgebung aus die in beiden (A und B) liegt)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:16 Sa 25.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beweise: Die abgeschlossene Hülle [mm]\overline{M}[/mm] einer Menge
> M ist abgecshlossen.
>
>
> Folgere: A, B sind offene Mengen so ist A [mm]\cap[/mm] B bzw A [mm]\cup[/mm]
> B auch offen.
> Muss man da überhaupt was beweisen?
natürlich!
> [mm]\overline{M}=[/mm] M [mm]\cup \delta[/mm] M
> da [mm]\delta[/mm] M [mm]\subseteq \overline{M}[/mm] ist [mm]\overline{M}[/mm]
> abgeschlossen.
> Weil wir haben abgeschlossene Mengen so definiert, dass
> sie ihren Rand enthalten.
> [mm]\delta[/mm] M.. Rand von M
Schön. Und wie habt ihr den Rand definiert?
> MAche ich es mir zu einfach
Für [mm] $\overline{M}$ [/mm] ist, wenn ihr [mm] $\overline{M}=M \cup \delta [/mm] M$ definiert habt, in der Tat sofort klar, dass [mm] $\delta [/mm] M [mm] \subseteq \overline{M}\,.$ [/mm] Wieso sollte das aber sofort die Abgeschlossenheit von [mm] $\overline{M}$ [/mm] bedeuten? Denn, was Du eigentlich zu zeigen hast, ist:
[mm] $$\delta \overline{M} \subseteq \overline{M}\,.$$
[/mm]
Schließlich ist [mm] $\overline{M}$ [/mm] ja genau dann abgeschlossen, wenn [mm] $\delta \overline{M} \subseteq \overline{M}\,.$
[/mm]
Vielleicht kannst Du zeigen: Aus $A [mm] \subseteq [/mm] B$ und [mm] $B=\overline{B}$ [/mm] folgt [mm] $\overline{A} \subseteq \overline{B}\,.$ [/mm] Wenn Du das danach dann anwendest, folgt das, was Du haben willst! (Wenn man auch noch $ [mm] \delta \overline{M} \subseteq \overline{\delta M}$ [/mm] nachweisen kann!)
> Offene MENGE= Menge, die nur aus inneren Punkten besteht
Wie habt ihr innere Punkte definiert?
> A ist offene Menge [mm]A=A^o[/mm]
> B ist offene Menge [mm]B=B^o[/mm]
> (A [mm]\cup B)^o[/mm] =?
> Wie komme ich da auf = [mm]A^o \cup B^o=A \cup[/mm] B
>
> andere Überlegung:
> x [mm]\in[/mm] A, da A offen ist, hat x eine Epsilonumgebung
> (Radius [mm]\epsilon_1)[/mm] die ganz in A liegt
> x [mm]\in[/mm] B, da B offen ist, hat x eine Epsilonumgebung(Radius
> [mm]\epsilon_2)[/mm] die ganz in B liegt.
> Wie schaut die Epsilonumgebung aus die in beiden (A und B)
> liegt)
Naja, das Vereinigungen zweier offener Mengen offen ist, ist klar: Nehme ich einen Punkt aus $A [mm] \cup B\,,$ [/mm] so liegt der in [mm] $A\,$ [/mm] oder der liegt in [mm] $B\,.$ [/mm] Wenn er in [mm] $A\,$ [/mm] liegt, gibt es eine offene Epsilonumgebung um den Punkt, die ganz in [mm] $A\,$ [/mm] liegt, und wegen $A [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)$ liegt diese dann auch in $A [mm] \cup B\,.$ [/mm] Genauso argumentiert man, wenn der Punkt in [mm] $B\,$ [/mm] liegt.
Dass der Schnitt $A [mm] \cap [/mm] B$ offen ist, wenn [mm] $A\,$ [/mm] und [mm] $B\,$ [/mm] beide offen sind, ist auch klar: Wenn ich einen Punkt aus $A [mm] \cap [/mm] B$ hernehme, gibt es eine offene Epsilon1-Umgebung um den, die ganz in [mm] $A\,$ [/mm] liegt, und eine offene Epsilon2-Umgebung, die ganz in [mm] $B\,$ [/mm] liegt - schließlich ist ja einerseits [mm] $A\,$ [/mm] offen, als auch andererseits [mm] $B\,.$ [/mm] Die "kleinere" dieser beiden offenen Umgebung liegt dann in $A [mm] \cap B\,.$ [/mm]
Gruß,
Marcel
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>Denn, was Du eigentlich zu zeigen hast, ist:
$ [mm] \delta \overline{M} \subseteq \overline{M}\,. [/mm] $
Ja das stimmt allerdings!
A [mm] \subseteq \overline{B} [/mm] => [mm] \overline{A} \subseteq \overline{B}
[/mm]
(Haben wir in der vorlesung gezeigt, dehalb schreib ich das mal nicht auf)
danke, kapiert!
> Die "kleinere" dieser beiden offenen Umgebung liegt dann in $ A [mm] \cap B\,. [/mm] $
Warum warum liegt die kleiner der beiden offenen Umgebungen in A [mm] \cap [/mm] B?
Zu unseren definitionen:
x heißt innerer Punkt von A genau dann, wenn es eine [mm] "\varepsilon-Umgebung [/mm] von x gibt, die ganz in A liegt, d.h. [mm] \exits \varepsilon [/mm] > 0 sodass [mm] U_\varepsilon [/mm] (x) [mm] \subseteq [/mm] A. Die Menge der inneren Punkte von A (das Innere von A) wird mit [mm] A^o [/mm] bezeichnet.
Ist x weder innerer noch äußerer Punkt von A, dann heißt es Randpunkt von A, d.h. [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 gilt [mm] U_\varepsilon(x)\capA\not=\{\}
[/mm]
und [mm] U_\varepsilon(x)ohne A\not=\{\}Die [/mm] Menge der Randpunkte von A wird mit [mm] \delta [/mm] A bezeichnet.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:14 Sa 25.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> >Denn, was Du eigentlich zu zeigen hast, ist:
>
> [mm]\delta \overline{M} \subseteq \overline{M}\,.[/mm]
> Ja das
> stimmt allerdings!
> A [mm]\subseteq \overline{B}[/mm] => [mm]\overline{A} \subseteq \overline{B}[/mm]
>
> (Haben wir in der vorlesung gezeigt, dehalb schreib ich das
> mal nicht auf)
> danke, kapiert!
>
> > Die "kleinere" dieser beiden offenen Umgebung liegt dann in
> [mm]A \cap B\,.[/mm]
>
> Warum warum liegt die kleiner der beiden offenen Umgebungen
> in A [mm]\cap[/mm] B?
das kann ganz genau so hinschreiben, "wie man es an einer Skizze sieht" (ich hatte das auch nur für metrische Räume gemeint - hätte ich dazusagen sollen!!):
Wenn Du zwei offene Epsilon-Umgebungen um einen Punkt hast (im [mm] $\IR^2$ [/mm] wären das bzgl. der euklidischen Standardmetrik zwei Kreise, die den gleichen Mittelpunkt haben!), so ist die kleinere der beiden insbesondere in der größeren enthalten (im [mm] $\IR^2:$ [/mm] der kleinere der beiden Kreise liegt im größeren der beiden!)!
Wenn Du in einem metrischen Raum bist, so ist die obige Teilmengenbeziehung echt leicht herleitbar (ein Ein- oder Zweizeiler - man braucht noch nichtmal sowas wie die Dreiecksungleichung...).
> Zu unseren definitionen:
> x heißt innerer Punkt von A genau dann, wenn es eine
> [mm]"\varepsilon-Umgebung[/mm] von x gibt, die ganz in A liegt, d.h.
> [mm]\exits \varepsilon[/mm] > 0 sodass [mm]U_\varepsilon[/mm] (x) [mm]\subseteq[/mm]
> A. Die Menge der inneren Punkte von A (das Innere von A)
> wird mit [mm]A^o[/mm] bezeichnet.
>
> Ist x weder innerer noch äußerer Punkt von A,
Na, dann muss mal geklärt werden,wie ihr "äußere Punkte" definiert habt (nebenbei: Du solltest Dir bewußt sein oder werden, dass Begriffe solange undefiniert sind, solange die Definition noch weitere undefinierte Begriffe enthält):
Vermutlich ist ein äußerer Punkt von [mm] $A\,$ [/mm] einfach per Definitionem ein innerer Punkt von [mm] $A^c$ [/mm] (also [mm] $A^c=\Omega \setminus A\,,$ [/mm] wenn [mm] $\Omega$ [/mm] die Grundmenge ist mit $A [mm] \subseteq \Omeag$)?
[/mm]
> dann heißt
> es Randpunkt von A, d.h. [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 gilt
> [mm]U_\varepsilon(x)\capA\not=\{\}[/mm]
> und [mm]U_\varepsilon(x)ohne A\not=\{\}Die[/mm] Menge der
> Randpunkte von A wird mit [mm]\delta[/mm] A bezeichnet.
Also nochmal kurz die Argumentation, warum $A [mm] \cap [/mm] B$ offen ist, wenn sowohl [mm] $A\,$ [/mm] als auch [mm] $B\,$ [/mm] offen sind:
Zu $x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B$ wähle [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ so, dass [mm] $U_{\epsilon}(x) \subseteq [/mm] A$ und auch [mm] $\epsilon' [/mm] > 0$ so, dass [mm] $U_{\epsilon'}(x) \subseteq B\,.$ [/mm]
In einem metrischen Raum (davon bin ich ausgegangen! Ansonsten: Welche Bedeutung hat denn sonst das [mm] $\epsilon$ [/mm] in [mm] $U_{\epsilon}(x)$?) [/mm] gilt dann [mm] $U_\epsilon(x) \subseteq U_{\epsilon'}(x)$ [/mm] oder eben [mm] $U_{\epsilon'}(x) \subseteq U_{\epsilon}(x)\,.$
[/mm]
Falls [mm] $U_{\epsilon}(x) \subseteq U_{\epsilon'}(x)\,,$ [/mm] so folgt [mm] $U_{\epsilon}(x) \subseteq [/mm] B$ und wegen [mm] $U_{\epsilon}(x) \subseteq [/mm] A$ ist dann [mm] $U_{\epsilon}(x) \subseteq [/mm] (A [mm] \cap B)\,.$
[/mm]
Falls [mm] $U_{\epsilon'}(x) \subseteq U_{\epsilon}(x)\,,$ [/mm] ...
Falls ihr aber allgemeiner topologische Räume behandelt, so muss die obige Argumentation ein wenig geändert werden:
Dann nimmt man halt eine Umgebung [mm] $U_A(x)$ [/mm] um den Punkt so, dass [mm] $U_A(x) \subseteq [/mm] A$ und analog eine Umgebung [mm] $U_B(x) \subseteq B\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $U_{A \cap B}(x):=U_A(x) \cap U_B(x)$ [/mm] eine Umgebung um [mm] $x\,,$ [/mm] die ganz in $A [mm] \cap [/mm] B$ liegt...
Ich bin halt davon ausgegangen, weil Du immer von [mm] $\epsilon$-Umgebungen [/mm] um einen Punkt geredet hast, dass ihr spezielle topologische Räume behandelt: Nämlich metrische Räume (jede Metrik induziert eine Topologie).
In metrischen Räumen (X,d) ist klar, dass für zwei [mm] $\epsilon$-Umgebungen [/mm] um ein $x [mm] \in [/mm] X$ gilt, dass eine der beiden in der anderen liegt. Schreib's Dir mal hin:
Seien $0 < [mm] \epsilon$ [/mm] und $0 < [mm] \epsilon'\,.$ [/mm] Dann ist
[mm] $$U_{\epsilon}(x)=\{y \in X: d(x,y) < \epsilon\}$$
[/mm]
und
[mm] $$U_{\epsilon'}(x)=\{y \in X: d(x,y) < \epsilon'\}\,.$$
[/mm]
Ist nun [mm] $\epsilon [/mm] < [mm] \epsilon'\,,$ [/mm] so folgt...
Im Falle [mm] $\epsilon' [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] folgt analog...
Gruß,
Marcel
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