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| Aufgabe | Bestimmen Sie M°, [mm] \overline{M}, \partial{M} [/mm] und die isolierten Punkte von
[mm] M=\{(x,y)^{T} \in \IR^{2} : 0 |
Hallo,
mache mir schon lange Gedanken über diese Aufgabe. Weiß aber irgendwie nicht, wie ich das schriftlich formulieren soll.
Gegeben ist die Menge aller (x,y)-Kombinationen mit obiger Einschränkung.
[mm] sin(\bruch{1}{x}) [/mm] oszilliert für x [mm] \to [/mm] 0 immer stärker.
Die y-Werte liegen im Intervall [-1,1] und die x-Werte im halboffenen Intervall (0,1] .
Was ist denn jetzt meine abgeschlossene Menge [mm] \overline{M}?
[/mm]
Eigentlich müssten die x-Werte die 0 beinhalten, also müsste doch gelten [0,1]. Aber was mir nicht ganz klar ist: bei x=0 kann ich ja gar keinen y-Wert zuordnen, d.h. einen Vektor (0,y) gibt es ja nicht.
Bringt mich vielleicht folgendes weiter:
wenn [mm] x_n \to \bruch{1}{k\pi} [/mm] für k [mm] \ge [/mm] 1 gilt
[mm] y_n \to [/mm] 0
wenn [mm] x_n \to \bruch{2}{(2k-1)\pi} [/mm] für [mm] k\ge [/mm] 1 dann gilt
[mm] y_n \to [/mm] 1 wenn k ungerade und
[mm] y_n \to [/mm] -1 wenn k gerade.
Könnten mir diese Aussagen helfen, die offenen und abgeschlossene Mengen zu definieren?
Bei Abschluss muss man ja nur alle Häufungspunkte mit in die Menge reinnehmen.
Was ist mit dem isolierten Punkt?
Ein solcher Punkt zeichnet sich ja so aus, dass er zur Menge M gehört, aber z.B. eine Kugel um diesen Punkt nicht in M liegt.
Welcher Punkt ist denn das? Ist das vielleicht der Punkt für x=0??
Wie ihr seht, habe ich mir viele Gedanken gemacht, aber wie soll ich das denn notieren?
Bin sehr dankbar für jede hilfreiche Antwort.
Gruß Walodja1987
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:50 So 10.05.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Bestimmen Sie M°, [mm]\overline{M}, \partial{M}[/mm] und die
> isolierten Punkte von
> [mm]M=\{(x,y)^{T} \in \IR^{2} : 0
>
> Hallo,
>
> mache mir schon lange Gedanken über diese Aufgabe. Weiß
> aber irgendwie nicht, wie ich das schriftlich formulieren
> soll.
>
> Gegeben ist die Menge aller (x,y)-Kombinationen mit obiger
> Einschränkung.
> [mm]sin(\bruch{1}{x})[/mm] oszilliert für x [mm]\to[/mm] 0 immer stärker.
>
> Die y-Werte liegen im Intervall [-1,1] und die x-Werte im
> halboffenen Intervall (0,1] .
Ist dir klar, wie diese Menge aussieht? Es ist der Graf der Funktion [mm] $y=\sin\bruch{1}{x}$ [/mm] im halboffenen Intervall $(0,1]$, also ein Art Linie.
> Was ist denn jetzt meine abgeschlossene Menge
> [mm]\overline{M}?[/mm]
> Eigentlich müssten die x-Werte die 0 beinhalten, also
> müsste doch gelten [0,1].
Wieso? Die Menge ist so gegeben.
> Aber was mir nicht ganz klar ist:
> bei x=0 kann ich ja gar keinen y-Wert zuordnen, d.h. einen
> Vektor (0,y) gibt es ja nicht.
Korrekt, die Funktion [mm] $\sin\bruch{1}{x}$ [/mm] ist im Punkt 0 nicht definiert.
Überlege dir mal Folgendes: innere Punkte einer Menge sind diejenigen, um die du eine (wenn auch vielleicht nur sehr kleine) offene Kreisscheibe herumlegen kannst, du selbst ganz zur Menge gehört. Die Menge M ist eine Linie. Nimm dir irgendeinen Punkt [mm] $(x_0,\sin\bruch{1}{x_0})$: [/mm] gibt es eine winzige Kreisscheibe um diesen Punkt, die ganz zu M gehört? Wenn ja, so ist dies ein innerer Punkt.
Zu den isolierten Punkten. Zu jedem Punkt [mm] $x_0\in [/mm] (0,1]$ kannst du eine Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] finden, die gegen [mm] $x_0$ [/mm] konvergiert. Betrachte nun die Folge [mm] $(x_n,\sin\bruch{1}{x_n})$: [/mm] konvergiert sie, hat sie einen Häufungspunkt, wenn ja, welchen?
> Bringt mich vielleicht folgendes weiter:
>
> wenn [mm]x_n \to \bruch{1}{k\pi}[/mm] für k [mm]\ge[/mm] 1 gilt
> [mm]y_n \to[/mm] 0
>
> wenn [mm]x_n \to \bruch{2}{(2k-1)\pi}[/mm] für [mm]k\ge[/mm] 1 dann gilt
> [mm]y_n \to[/mm] 1 wenn k ungerade und
> [mm]y_n \to[/mm] -1 wenn k gerade.
> Könnten mir diese Aussagen helfen, die offenen und
> abgeschlossene Mengen zu definieren?
>
> Bei Abschluss muss man ja nur alle Häufungspunkte mit in
> die Menge reinnehmen.
>
> Was ist mit dem isolierten Punkt?
> Ein solcher Punkt zeichnet sich ja so aus, dass er zur
> Menge M gehört, aber z.B. eine Kugel um diesen Punkt nicht
> in M liegt.
Du meinst einen Berührpunkt. Ein isolierter Punkt ist kein Häufungspunkt vom M.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
erstmal vielen Dank für deine Antwort.
Habe mir jetzt ein [mm] x_0=\bruch{1}{\pi} [/mm] mit dem zugehörigen y-Wert [mm] y_0=sin\pi=0 [/mm] , um mir das ein bisschen anschaulich klar zu machen.
Weil wir im [mm] \IR^{2} [/mm] sind, muss sozusagen eine Kreisscheibe um einen Punkt [mm] (\bruch{1}{\pi},0) [/mm] mit Radius [mm] \varepsilon [/mm] existieren, so dass diese Kreisscheibe noch ganz in der Menge M liegt, wenn es ein innerer Punkt sein soll.
Aber das kann doch gar nicht gehen, weil meine Menge M ja ein Graf bzw eine Linie ist.
Ist dann das Innere M° leer?
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Ich meine, dass M° leer ist, denn ich habe folgende Überlegung gemacht.
Nehmen wir grad wieder den Punkt [mm] (\bruch{1}{\pi},0). [/mm] Nehmen wir einen ganz winzigen Radius [mm] \varepsilon. [/mm] Wenn es ein innerer Punkt wäre, dann müsste diese Kreisscheibe mit Radius [mm] \varepsilon [/mm] in der Menge M liegen und auch folgenden Punkt enthalten: Ich lasse y konstant, also Null und gehe mit den x Wert um [mm] \varepsilon [/mm] nach links oder rechts von [mm] \bruch{1}{\pi}, [/mm] d.h. ich habe dann folgenden Punkt in der Kreisscheibe:
[mm] (\bruch{1}{\pi}+\varepsilon, [/mm] 0) und dieser Punkt existiert ja nicht, weil y auf jeden Fall ungleich Null ist.
Habe ich recht oder bin ich mal wieder auf dem Holzweg?
Danke für eure Antworten.
Gruß Walodja1987
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Folgende Überlegung habe ich zu [mm] \overline{M} [/mm] gemacht:
Ich habe gezeigt, dass [mm] y=sin(\bruch{1}{x}) [/mm] Lipschitz-stetig ist, d.h. y ist erst recht stetig, und das ist wieder äquivalent dazu, dass wenn eine Folge [mm] x_n [/mm] gegen ein [mm] x_0 [/mm] konvergiert, dass dann auch [mm] y_n [/mm] gegen [mm] y_0 [/mm] konvergiert.
Nach einem Satz aus der Vorlesung konvergiert ein Vektor in einem endlich dimensionalen Vektorraum genau dann, wenn die einzelnen Komponenten des Vektors konvergieren. Das wäre ja hier der Fall.
Da aber für x=0 y nicht definiert ist, würde ich den Abschluss [mm] \overline{M} [/mm] folgendermaßen definieren.
[mm] \overline{M}=\{(x,y)^{T} \in \IR^{2}: 0+\varepsilon \le x \le 1, y=sin(\bruch{1}{x} \}
[/mm]
Kann das stimmen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 So 10.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ist die fkt wirklich lipschitzstetig? gib mal L an.
Gruss leduart
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Also wenn ich das richtig gemacht habe dann sollte L=2 sein.
habe es folgendermaßen gemacht:
[mm] |\bruch{sin(\bruch{1}{x})-sin(\bruch{1}{x_0})}{x-x_0}| \le |sin(\bruch{1}{x})- sin(\bruch{1}{x_0})| \le [/mm] 2=L
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:26 So 10.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Also wenn ich das richtig gemacht habe dann sollte L=2
> sein.
> habe es folgendermaßen gemacht:
>
> [mm]|\bruch{sin(\bruch{1}{x})-sin(\bruch{1}{x_0})}{x-x_0}| \le |sin(\bruch{1}{x})- sin(\bruch{1}{x_0})| \le[/mm]
> 2=L
Wo blieb das [mm] |x-x_o|? [/mm] das 1 te [mm] \le [/mm] ist falsch.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 So 10.05.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich meine, dass M° leer ist, denn ich habe folgende
> Überlegung gemacht.
> Nehmen wir grad wieder den Punkt [mm](\bruch{1}{\pi},0).[/mm] Nehmen
> wir einen ganz winzigen Radius [mm]\varepsilon.[/mm] Wenn es ein
> innerer Punkt wäre, dann müsste diese Kreisscheibe mit
> Radius [mm]\varepsilon[/mm] in der Menge M liegen und auch folgenden
> Punkt enthalten: Ich lasse y konstant, also Null und gehe
> mit den x Wert um [mm]\varepsilon[/mm] nach links oder rechts von
> [mm]\bruch{1}{\pi},[/mm] d.h. ich habe dann folgenden Punkt in der
> Kreisscheibe:
>
> [mm](\bruch{1}{\pi}+\varepsilon,[/mm] 0) und dieser Punkt existiert
> ja nicht, weil y auf jeden Fall ungleich Null ist.
>
> Habe ich recht oder bin ich mal wieder auf dem Holzweg?
Es ist richtig, dass M keine inneren Punkte hat, aber deine Überlegung ist falsch. Du gehst vom Punkt [mm] $(1/\pi,0)$ [/mm] aus. Wie sieht die offene Kreisscheibe vom Radius [mm]\varepsilon[/mm] aus? Das sind alle Punkte $(x,y)$, für die gilt:
[mm] (x-\bruch{1}{\pi})^2 + (y-0)^2 < \varepsilon^2 [/mm].
Damit der Punkt [mm] $(1/\pi,0)$ [/mm] ein innerer Punkt ist, müssten (für genügend kleines [mm] $\varepsilon$) [/mm] alle diese Punkte in der Menge M liegen, und das ist nicht der Fall.
(Der von dir genannte Punkt [mm](\bruch{1}{\pi}+\varepsilon,0)[/mm] erfüllt diese Bedingung nicht, denn er liegt auf dem Rand dieser Kreisscheibe.)
Viele Grüße
Rainer
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Hmmm...
ist jetzt das Innere M° leer oder nicht? Rainer du meinst ja, aber leguard sagt, dass ich da gar keine Kreisscheibe brauche, sondern nur eine unendliche Folge???
Ich bin jetzt völlig verwirrt...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Di 12.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 So 10.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Kreisscheibe muss nicht 2d in M liegen, nur unendlich viele Punkte von M muessen drin liegen.
Gruss leduart
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Was nur endlich viele Punkte?
Das ist mir jetzt aber neu... Wieso spricht man dann von Kreisscheibe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 So 10.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
lies mein post richtig, da steht nirgends endlich. aber auch auf einem Stueck Linie sind unendlich viele pkte.
Gruss leduart
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Hallo,
kann mir vielleicht jemand helfen, weil ich komme einfach nicht weiter...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Di 12.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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