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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:55 Sa 22.05.2010 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | | Sei $\ (X,d) $ ein metrischer Raum, $\ A [mm] \subseteq [/mm] X $ abgeschlossen und $\ B [mm] \subseteq [/mm] X $ offen. Zeigen Sie, dass $\ A [mm] \setminus [/mm] B $ abgeschlossen ist. |
Hallo,
folgende Überlegung:
$\ A [mm] \subseteq [/mm] X$ abgeschlossen $\ [mm] \Rightarrow [/mm] X [mm] \setminus [/mm] A $ offen.
Also ist inbesondere $\ X [mm] \setminus (A\setminus [/mm] B) $ offen $ [mm] \Rightarrow (A\setminus [/mm] B)$ abgeschlossen.
Darf ich denn so argumentieren?
Setzt man voraus, dass $\ [mm] (A\setminus [/mm] B) $ abgeschlossen ist, ist in jedem Fall $\ X [mm] \setminus (A\setminus [/mm] B) $ offen. Ich weiß nur nicht, ob ich das aus der bloßen Tatsache, dass $\ X [mm] \setminus [/mm] A$ offen ist, folgern darf.
Würde mich über Hinweise freuen.
Gruß
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:30 Sa 22.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]\ (X,d)[/mm] ein metrischer Raum, [mm]\ A \subseteq X[/mm]
> abgeschlossen und [mm]\ B \subseteq X[/mm] offen. Zeigen Sie, dass [mm]\ A \setminus B[/mm]
> abgeschlossen ist.
> Hallo,
>
> folgende Überlegung:
>
> [mm]\ A \subseteq X[/mm] abgeschlossen [mm]\ \Rightarrow X \setminus A[/mm]
> offen.
>
> Also ist inbesondere [mm]\ X \setminus (A\setminus B)[/mm] offen
wieso sollte das gelten? Woraus geht das hervor?
> [mm]\Rightarrow (A\setminus B)[/mm] abgeschlossen.
>
> Darf ich denn so argumentieren?
>
> Setzt man voraus, dass [mm]\ (A\setminus B)[/mm] abgeschlossen ist,
> ist in jedem Fall [mm]\ X \setminus (A\setminus B)[/mm] offen. Ich
> weiß nur nicht, ob ich das aus der bloßen Tatsache, dass
> [mm]\ X \setminus A[/mm] offen ist, folgern darf.
>
> Würde mich über Hinweise freuen.
> Gruß
> ChopSuey
Dein Ansatz ist schon okay: Um einzusehen, dass $A [mm] \setminus [/mm] B$ abgeschlossen ist, reicht es zu zeigen, dass $(A [mm] \setminus B)^c:=X\setminus(A \setminus [/mm] B)$ offen ist.
(Die Abgeschlossenheit von $A [mm] \setminus [/mm] B$ kann man übrigens auch zeigen, indem man zeigt, dass jede Folge in $A [mm] \setminus [/mm] B$, die einen Grenzwert (in [mm] $X\,$) [/mm] hat, erfüllt, dass ihr Grenzwert in $A [mm] \setminus [/mm] B$ liegt.)
Dabei kann man durchaus benutzen, dass eine Menge $T [mm] \subseteq [/mm] X$ genau dann abgeschlossen ist, wenn [mm] $T^c$ [/mm] offen ist.
Oben:
Nach Voraussetzung gilt:
$A [mm] \subseteq [/mm] X$ ist abgeschlossen und $B [mm] \subseteq [/mm] X$ ist offen.
Zu zeigen:
$(A [mm] \setminus B)^c$ [/mm] ist offen (denn daraus folgt, dass $((A [mm] \setminus B)^c)^c=A \setminus [/mm] B$ abgeschlossen ist).
Um das einzusehen, reicht es, sich zu überlegen, dass
$$(A [mm] \setminus B)^c=(A \cap B^c)^c=A^c \cup (B^c)^c=A^c \cup [/mm] B$$
gilt, da (beliebige) Vereinigungen offener Mengen wieder offen sind.
P.S.:
Wie Du siehst, kann man eigentlich auch direkt einsehen, dass $A [mm] \setminus [/mm] B$ abgeschlossen ist. Es gilt nämlich
[mm] $$(\*)\;\;\;A \setminus [/mm] B=A [mm] \cap B^c\,,$$
[/mm]
[mm] $$(\text{gleichwertige Notation}: [/mm] A [mm] \setminus [/mm] B=A [mm] \cap [/mm] (X [mm] \setminus [/mm] B))$$
und (beliebige) Schnitte abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen.
Das einzig wichtige hier ist, dass Du Dir die Gleichung [mm] $(\*)$ [/mm] am besten zum einen nochmal beweist, und zum anderen auch behältst. Denn sie ist elementar für Beweise der Abgeschlossenheit bzw. Offenheit, insbesondere in topologischen Räumen.
Also: Meines Erachtens wäre es am besten, wenn Du nun hier nochmal den Beweis für [mm] $(\*)$ [/mm] erbringst. Und Dir auch nochmal z.B. Satz 9.7, Definition 9.9 und Satz 9.11 aus ![[]](/images/popup.gif) diesem Skript anguckst.
Beste Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:13 Sa 22.05.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Marcel,
vielen Dank für Deine ausführliche Hilfestellung. Habe fast schon vermutet, dass meine Argumentation nicht ausreichend bzw falsch ist.
Ich danke ebenfalls für Deinen Verweis auf das Skript. Das ist super!
Viele Grüße
ChopSuey
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