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| Aufgabe | Die Ebene [mm] \IR² [/mm] sei mit der euklidischen Metrik versehen.
Ist A={ (x,y) [mm] \in \IR² [/mm] | x>0 } offen ? |
Hallo liebe Mathemraummitglieder 
Diese Aufgabe hab ich aus der Analysisklausur entnommen , die ich nicht lösen konnte .Leider hat der Proffesor nach der Bekanntgabe der Klausurauswertung kein Lösungblatt zu der Klausur auf der Internetseite erstellt.
Nun zu der Aufgabe :
Für mich ist klar , dass die Menge A offen ist ...Die Frage ist ,wie beweis ich das ?
Meine Argument wäre : [mm] \IR [/mm] und [mm] \IR_{+} [/mm] sind offene Mengen , Daraus folgern dass A [mm] =\IR_{+} \times \IR [/mm] offen ist.
Aber Leider find ich in den Lehrbücher keine Lemma oder Ein Beweis von Produkten von offenen Mengen ,die wieder offen sind
Eine andere Rangehensweise wäre zu sagen , Ich mache eine Widerspruchsannahme. Ich behaupte die Menge A sei abgeschlossen.
Das würde mich auch nicht weiterhelfen,weil wenn die Menge A nicht abgeschlossen ist folgt automatisch nicht ,dass die Menge A offen ist.
Ein Gegenbeispiel dazu wäre die Menge [a,b[ .Die Ist weder abgeschlossen noch offen
Und eine andere alternative wäre zu zeigen :
Für alle a [mm] \in [/mm] A gibt es [mm] B_{\varepsilon,a}={x element aus \IR²| \parallel
x-a\parallel < \varepsilon } [/mm] ,nun würde ich hier [mm] \varepsilon [/mm] := a/2 wählen .Nun komme ich auch nicht weiter zu zeigen dass für für alle a element A [mm] \varepsilon [/mm] :=a/2 die Menge B eine Teilmenge von A ist
ich hoffe ihr könnt mir helfen :D mit freundlichen grüßen decehakan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Mo 06.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Die Ebene [mm]\IR²[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
sei mit der euklidischen Metrik versehen.
>
> Ist A={ (x,y) [mm]\in \IR²[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| x>0 } offen ?
> Hallo liebe Mathemraummitglieder
>
> Diese Aufgabe hab ich aus der Analysisklausur entnommen ,
> die ich nicht lösen konnte .Leider hat der Proffesor
> nach der Bekanntgabe der Klausurauswertung kein
> Lösungblatt zu der Klausur auf der Internetseite
> erstellt.
>
> Nun zu der Aufgabe :
>
> Für mich ist klar , dass die Menge A offen ist ...Die
> Frage ist ,wie beweis ich das ?
>
> Meine Argument wäre : [mm]\IR[/mm] und [mm]\IR_{+}[/mm] sind offene Mengen ,
> Daraus folgern dass A [mm]=\IR_{+} \times \IR[/mm] offen ist.
>
Das ist O.K.
> Aber Leider find ich in den Lehrbücher keine Lemma oder
> Ein Beweis von Produkten von offenen Mengen ,die wieder
> offen sind
Dann versuchs doch mal: seien [mm] I_1 [/mm] und [mm] I_2 [/mm] offene Intervalle in [mm] \IR. [/mm] Dann ist [mm] I_1 \times I_2 [/mm] offen im [mm] \IR^2
[/mm]
>
>
> Eine andere Rangehensweise wäre zu sagen , Ich mache eine
> Widerspruchsannahme. Ich behaupte die Menge A sei
> abgeschlossen.
Du hast ja gleich gemerkt, dass dies nicht funktioniert.
> Das würde mich auch nicht weiterhelfen,weil wenn die Menge
> A nicht abgeschlossen ist folgt automatisch nicht ,dass die
> Menge A offen ist.
>
> Ein Gegenbeispiel dazu wäre die Menge [a,b[ .Die Ist weder
> abgeschlossen noch offen
>
Du kannst aber folgendes machen: Annahme : A ist nicht offen. Dann gibt es ein [mm] (x_0,y_0) \in [/mm] A mit:
Für jedes n [mm] \in \IN [/mm] liegt [mm] B_n [/mm] := { (x,y): ||(x,y) - [mm] (x_0,y_0)|| [/mm] <1/n } nicht ganz in A.
D.h. zu jedem n [mm] \in \In [/mm] gibt es ein [mm] (x_n,y_n) [/mm] mit
[mm] ||(x_n,y_n) [/mm] - [mm] (x_0,y_0)|| [/mm] <1/n und [mm] x_n \le [/mm] 0.
Wegen [mm] x_n \to x_0 [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] folgt der Widerspruch: [mm] x_0 \le [/mm] 0.
> Und eine andere alternative wäre zu zeigen :
>
> Für alle a [mm]\in[/mm] A gibt es [mm]B_{\varepsilon,a}={x element aus \IR²| \parallel
x-a\parallel < \varepsilon }[/mm]
> ,nun würde ich hier [mm]\varepsilon[/mm] := a/2 wählen .Nun komme
> ich auch nicht weiter zu zeigen dass für für alle a element
> A [mm]\varepsilon[/mm] :=a/2 die Menge B eine Teilmenge von A ist
>
>
Die letzten Zeilen sind Murks (z.b steht da a [mm] \in [/mm] A und dann [mm] \varepsilon:=a/2 [/mm] !! a ist im [mm] \IR^2 [/mm] und [mm] \varepsilon [/mm] ist in [mm] \IR [/mm] ???)
Nimm ein [mm] (x_0,y_0) [/mm] aus A und zeige
{ (x,y): ||(x,y) - [mm] (x_0,y_0)|| [/mm] < [mm] x_0 [/mm] } [mm] \subseteq [/mm] A
FRED
> ich hoffe ihr könnt mir helfen :D mit freundlichen grüßen
> decehakan
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Fred ,danke für deine Tipps ,die sind mir klarer geworden ,aber ich bin jetzt auch durcheinander ....
Wie zeige ich? :
B={ (x,y): ||(x,y) -(x0,y0)||< x0 }$ [mm] \subseteq [/mm] $ A ???
wie zeige ich dass jedes Element aus B ,also (x,y) in A enthalten ist ???
ich hab da überhaupt kein Ansatz ,ich hoffe du kannst mir helfen...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:07 Di 07.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Aus
$||(x,y) - [mm] (x_0,y_0)|| [/mm] $ < $ [mm] x_0 [/mm] $
folgt durch quadrieren
[mm] $(x-x_0)^2 +(y-y_0)^2 [/mm] < [mm] x_0^2$
[/mm]
Somit gilt erst recht:
[mm] $(x-x_0)^2 [/mm] < [mm] x_0^2$
[/mm]
Das ist gleichbedeutend mit:
[mm] x(2x_0-x) [/mm] >0
Da [mm] x<2x_0 [/mm] folgt hierraus: x>0 und somit (x,y) [mm] \in [/mm] A
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:24 Di 07.04.2009 | | Autor: | Decehakan |
Danker fred 97 ,für dein wunderbarenn Beweis ,hast mir echt geholfen ,
Liebe grüße Decehakan
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