Offene Menge + Kugel < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:05 So 23.01.2011 | | Autor: | Diary |
Hallo,
Es bezeichne B(c,r), [mm] c\in \IR^2, [/mm] r>0, die offene Kugel um c mit Radius r und entsprechend [mm] \overline{B(c,r)} [/mm] die Kugel mit Abschluss.
Ist folgende Aussage richtig?
Sei U [mm] \subseteq \IR^2 [/mm] offen, [mm] c\in [/mm] U, r>0 mit [mm] \overline{B(c,r)} \subseteq [/mm] U. Dann gibt es r'>r mit [mm] \overline{B(c,r)} \subseteq B(c,r')\subseteq [/mm] U
Viele Grüße,
Diary
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:16 So 23.01.2011 | | Autor: | skoopa |
Tach!
> Hallo,
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> Es bezeichne B(c,r), [mm]c\in \IR^2,[/mm] r>0, die offene Kugel um c
> mit Radius r und entsprechend [mm]\overline{B(c,r)}[/mm] die Kugel
> mit Abschluss.
>
> Ist folgende Aussage richtig?
>
> Sei U [mm]\subseteq \IR^2[/mm] offen, [mm]c\in[/mm] U, r>0 mit
> [mm]\overline{B(c,r)} \subseteq[/mm] U. Dann gibt es r'>r mit
> [mm]\overline{B(c,r)} \subseteq B(c,r')\subseteq[/mm] U
Ja das ist sie. Ist das deine Frage?
>
> Viele Grüße,
> Diary
Grüße!
skoopa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:36 Mo 24.01.2011 | | Autor: | Diary |
Hallo skoopa,
wie kann man das denn beweisen? Ich weiß zwar, dass jeder Randpunkt von [mm] \overline{B(c,r)} [/mm] einen Abstand [mm] \varepsilon [/mm] >0 vom Rand von U hat, aber das gibt mir erstmal keinen gemeinsamen Abstand [mm] \lambda [/mm] >0 für alle Randpunkte, denn dieser Abstand könnte doch auch gegen 0 gehen.
Grüße,
Diary
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:42 Mo 24.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo skoopa,
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> wie kann man das denn beweisen? Ich weiß zwar, dass jeder
> Randpunkt von [mm]\overline{B(c,r)}[/mm] einen Abstand [mm]\varepsilon[/mm]
> >0 vom Rand von U hat, aber das gibt mir erstmal keinen
> gemeinsamen Abstand [mm]\lambda[/mm] >0 für alle Randpunkte, denn
> dieser Abstand könnte doch auch gegen 0 gehen.
lege um jeden Randpunkt eine offen Kugel, die noch in U liegt und bedenke: der Rand ist kompakt !
FRED
>
> Grüße,
> Diary
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:13 Mo 24.01.2011 | | Autor: | Diary |
Hallo FRED,
... ich habe also durch die Kügelchen eine offene Überdeckung für den Rand. Dieser ist kompakt, ich kann also eine endliche Teilüberdeckung auswählen. Weiter haben diese Kugeln nur endlich viele Schnittpunkte außerhalb von [mm] \overline{B(c,r)}. [/mm] Diese Schnittpunkte haben jeweils einen Abstand >0 vom Rand von [mm] \overline{B(c,r)}. [/mm] Davon nehme ich das Minimum. Sei das etwa D>0. Dann leistet r':=r+D/2 das Gewünschte.
Ok so?
Gruß,
Diary
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:48 Mo 24.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo FRED,
>
>
> ... ich habe also durch die Kügelchen eine offene
> Überdeckung für den Rand. Dieser ist kompakt, ich kann
> also eine endliche Teilüberdeckung auswählen. Weiter
> haben diese Kugeln nur endlich viele Schnittpunkte
> außerhalb von [mm]\overline{B(c,r)}.[/mm] Diese Schnittpunkte haben
> jeweils einen Abstand >0 vom Rand von [mm]\overline{B(c,r)}.[/mm]
> Davon nehme ich das Minimum. Sei das etwa D>0. Dann leistet
> r':=r+D/2 das Gewünschte.
>
> Ok so?
Ja
FRED
>
> Gruß,
> Diary
>
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