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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:57 Do 08.04.2010 | | Autor: | alina00 |
| Aufgabe | Sei (M; d) ein metrischer Raum und d* : MxM ! R→d*(x,y) := d(x; y)/(1 + d*(x,y))
. Man zeige, dass auch (M, d*)
ein metrischer Raum ist und in beiden Fällen die gleichen o ffenen Mengen induziert werden. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also wie man zeigt dass es ein metrischer Raum ist kriege ich glaub ich hin, dafür gibt es ja diese drei Punkte, aber wie ich zeige dass die gleichen offenen Mengen induziert werden habe ich gar keine Ahnung. Ich verstehe auch nicht wirklich den Unterschied zwischen einer offenen Kugel und einer offenen Menge.
Eine offene Kugen ist ja [mm] B_{r}(x)=Die [/mm] Menge der y aus X mit d(x,y)<r
und eine offene Menge ist ja wenn sie nur innere Punkte enthält und innere Punkte sind die Punkte die eine epsilon-Umgebung haben, die ganz in der Menge liegt
Danke für die Antworten.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:01 Fr 09.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Sei (M; d) ein metrischer Raum und d* : MxM ! R→d*(x,y)
> := d(x; y)/(1 + d*(x,y))
Mache dich doch bitte mit dem Formeleditor vertraut, das wäre gut! Das zweite [m]d^\star[/m] ist sicherlich ein d, oder?
Und: ist die Frage wirklich für die Oberstufe? Wo ist die aufgetreten?
> Also wie man zeigt dass es ein metrischer Raum ist kriege
> ich glaub ich hin, dafür gibt es ja diese drei Punkte,
> aber wie ich zeige dass die gleichen offenen Mengen
> induziert werden habe ich gar keine Ahnung.
Tip: Fixiere [m]x,\varepsilon[/m]. Finde nun ein [m]\delta[/m], so dass für alle y mit [m]d(x,y)<\varepsilon[/m] dann [m]d^\star(x,y)<\delta[/m] gilt. Und andersrum. Warum reicht das dann?
> Ich verstehe
> auch nicht wirklich den Unterschied zwischen einer offenen
> Kugel und einer offenen Menge.
Eine offene Menge ist Vereinigung offener Kugeln, aber nicht andersherum.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 Sa 10.04.2010 | | Autor: | alina00 |
Hallo, danke für die schnelle Antwort, den Unrerschied habe ich jetzt verstanden, aber wie finde ich denn so ein [mm] \delta?? [/mm] Ich hab leider wirklich gar keine Ahnung wie ich das machen soll
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 So 11.04.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo, danke für die schnelle Antwort, den Unrerschied
> habe ich jetzt verstanden, aber wie finde ich denn so ein
> [mm]\delta??[/mm] Ich hab leider wirklich gar keine Ahnung wie ich
> das machen soll
Du weisst doch aus der Definition des Abstandes [mm] $\d^\ast$, [/mm] dass
[mm] d^\ast(x,y) = \bruch{d(x,y)}{1+d(x,y)} [/mm]
ist.
Jetzt nimm an, dass [mm] $d(x,y)<\varepsilon$ [/mm] ist.
Dann musst du noch das Umgekehrte nachweisen, also [mm] $d^\ast(x,y)<\varepsilon$ [/mm] annehmen, und eine Abschätzung für $d(x,y)$ angeben.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Mo 12.04.2010 | | Autor: | alina00 |
Danke für die Hilfe, aber ich verstehe das irgendwie nicht. Wie kann ich das denn abschätzen, ich weiß doch gar nichts darüber??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:35 Di 13.04.2010 | | Autor: | statler |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Danke für die Hilfe, aber ich verstehe das irgendwie
> nicht. Wie kann ich das denn abschätzen, ich weiß doch
> gar nichts darüber??
Doch, das weißt du, du kennst deine Voraussetzung. Also wenn d < [mm] \varepsilon [/mm] ist, dann ist 1 + d > 1 (das gilt sowieso, weil d eine Metrik und folglich d > 0 ist) und damit d/(1+d) < d < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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