Offene und abgeschlossen Menge < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:15 Mi 12.01.2005 | | Autor: | fridolin |
Hallo Ihr!
Hab noch erhebliche Verständnisprobleme mit den Begriffen "offene und abgeschlossene Mengen".
Bin deshalb auf der Suche nach Literatur- bzw Linktips.
Vielleicht habt ihr eine Idee?
Danke. 
Grüße, frido
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 21:38 Mi 12.01.2005 | | Autor: | volta |
Ist eigentlich ein recht simples Problem, was bei streng mathematischer Betrachung schwer erscheint (siehe Walter: Analysis I, 7. Auflage, S. 13; Dort wird das ganze mit der Definition von "innerer Punkt" und "Randpunkt" aufgezogen. Im Königsberger, Analysis I wird das ganze mit Hilfe von konvergierenden Folgen definiert.)
Hier mal mein Erklärungsversuch:
Ich beziehe mich jetzt nur auf Teilmengen von [mm] \IR, [/mm] weil dort die Ordnungsaxiome gelten (->Trichotomiegesetz).
a, b, x seien irgendwelche reellen Zahlen und a > b:
Eine Menge heißt offen, wenn gilt a > x > b, d.h. a und b liegen nicht in der Menge; das ist äquvalent zur Aussage in Intervallschreibweise (a,b).
Eine Menge heißt abgeschlossen, wenn gilt a [mm] \ge [/mm] x [mm] \ge [/mm] b, d.h. a und b sind Elemente der Menge. <-> die Menge ist ein abgeschlossenes Intervall [a,b].
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:38 Mi 12.01.2005 | | Autor: | SEcki |
> Ist eigentlich ein recht simples Problem, was bei streng
> mathematischer Betrachung schwer erscheint (siehe Walter:
> Analysis I, 7. Auflage, S. 13; Dort wird das ganze mit der
> Definition von "innerer Punkt" und "Randpunkt" aufgezogen.
> Im Königsberger, Analysis I wird das ganze mit Hilfe von
> konvergierenden Folgen definiert.)
Man kann das ganze auch rein axiomatisch auffassen, so dass zB alle abgeschlossenen Mengen die Komplemente der offenenen sind, beliebige Vereinigungen offener Mengen sind offen, endliche Durchscnitte auch.
> Hier mal mein Erklärungsversuch:
> Ich beziehe mich jetzt nur auf Teilmengen von [mm]\IR,[/mm] weil
> dort die Ordnungsaxiome gelten (->Trichotomiegesetz).
Das ist aber nicht wirklich relevant für diesen Begriff.
> a, b, x seien irgendwelche reellen Zahlen und a > b:
> Eine Menge heißt offen, wenn gilt a > x > b, d.h. a und b
> liegen nicht in der Menge; das ist äquvalent zur Aussage in
> Intervallschreibweise (a,b).
Sicher nicht - eine Menge ist offen, falls es zu jedem Punkt in dieser Menge ein offenes Intervall gibt, so dass dieses auch in dieser Menge liegt. Du beschreibst lediglich Intervalle - das ist (viel) zu wenig, zB ist [mm](0;1)\cup (8;10)\cup (10;\infty)[/mm] offen. Offen sagt also: wenn ich nahe bei einem Elementin der Menge bin - dannbin ich schon in ihr.
> Eine Menge heißt abgeschlossen, wenn gilt a [mm]\ge[/mm] x [mm]\ge[/mm] b,
> d.h. a und b sind Elemente der Menge. <-> die Menge ist ein
> abgeschlossenes Intervall [a,b].
Sicher auch falsch - eine Menge ist abgeschlossen, falls ihr Komplement offen ist. Die bessere Charakterisierung finde ich: alle konvergenten Folgen, dessen Folgenglieder ganz in der Menge liegen, haben ihren Grenzwert dann auch in ihr. Sie ist bzgl Konvergenz also abgeschlossen - man kommt nicht heraus. Abgeschlossene Mengenin [mm]\IR[/mm] sind zB endliche Punktemengen, oder wenn man was ganz wildes haben will, die Cantormenge.
Speziell an den OP: folge doch den Links beiKompakheit - ein bisschen Topologie schadte nie. 
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:31 Mi 19.01.2005 | | Autor: | fridolin |
Stecke im Streß, deshalb erst jetzt ein herzliches Danke!!!
frido
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