Offenheit einer Menge < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei M eine Teilmenge des euklidischen Raumes [mm] \IR^m, m\in \IN. [/mm] Zeigen Sie:
M ist genau dann offen, wenn das Komplement abgeschlossen ist. |
Hallo zusammen,
Zuerst einmal die [mm] „\Rightarrow“ [/mm] Richtung:
Voraussetzung: M sei offen, d.h. jeder Punkt von M ist innerer Punkt.
Und ich möchte daraus folgern, dass das Komplement abgeschlossen ist. Zuerst mal meine Frage: Das Komplement ist doch „anschaulich“ der (hier) euklidische Raum [mm] \IR^m [/mm] OHNE die Menge M oder. Was bedeutet es denn jetzt genau, dass diese Komplement abgeschlossen ist? Abgeschlossenheit bedeutet doch, dass jeder Häufungspunkt in der Menge liegt.
Ich verstehe nicht so recht, warum diese Äquivalenz gilt:
offen [mm] \gdw [/mm] Komplement abgeschlossen.
Wäre schön, wenn mir das mal eben jemand anschaulich erklären könnte!
Gruß
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Hallo Theoretix,
Deine Anschauung des Komplements ist soweit richtig, überleg dir aber noch wie die "Ränder" aussehen.
Als Beispiel:
Betrachte die reellen Zahlen und die darin liegende offene Menge $] 1, 2[ $.
Das Komplement wäre dann $ ] - [mm] \infty [/mm] , 1 ] [mm] \cup [/mm] [2, [mm] \infty [/mm] [$, dies ist abgeschlossen.
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Ok, dann habe ich das soweit verstanden, danke!
Wie fange ich in [mm] „\Rightarrow“ [/mm] jetzt an, mit der Voraussertzung, dass M offen ist, um zu zeigen, dass dann das Komplement abgeschlossen ist?
Ich würde zunächst den Rand von M betrachten bzw. einen Punkt des Randes x [mm] \subset \partial [/mm] M. Da nach Voraussetzung jeder Punkt von M innerer Punkt ist (M ist offen), ist x kein Element aus M. Also muss x doch dann igrendwie ein Element des Komplements sein...?
Das ist alles noch sehr schwammig- wie gehe ich richtig (und v.a. mathematisch korrekt) vor?
Wäre sehr, nett, wenn eben jemand helfen könnte!
Gruß,
Theoretix
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:39 Do 13.01.2011 | | Autor: | gfm |
> Ok, dann habe ich das soweit verstanden, danke!
> Wie fange ich in [mm]„\Rightarrow“[/mm] jetzt an, mit der
> Voraussertzung, dass M offen ist, um zu zeigen, dass dann
> das Komplement abgeschlossen ist?
> Ich würde zunächst den Rand von M betrachten bzw. einen
> Punkt des Randes x [mm]\subset \partial[/mm] M. Da nach
> Voraussetzung jeder Punkt von M innerer Punkt ist (M ist
> offen), ist x kein Element aus M. Also muss x doch dann
> igrendwie ein Element des Komplements sein...?
>
> Das ist alles noch sehr schwammig- wie gehe ich richtig
> (und v.a. mathematisch korrekt) vor?
> Wäre sehr, nett, wenn eben jemand helfen könnte!
Wie habt Ihr in diesem Zusammenhang folgende Eigenschaften/Begriffe exakt definiert:
- Innerer Punkt:
- Häufungspunkt:
- Offen:
- Abgeschlossen:
LG
gfm
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Innerer Punkt:
Es gibt eine Umgebung [mm] B_{\varepsilon}_{x_{0}})\subset [/mm] M
Häufungspunkt a von M:
Es gibt eine Teilfolge [mm] (a_{n})_{n} [/mm] von M, die gegen a konvergiert
Offene Menge, wenn jeder Punkt von M innerer Punkt ist
Abgeschlossen, wenn jeder Häufungspunkt von M in M liegt.
Wie kommen wir damit hinsichtlich des Beweises weiter?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:57 Do 13.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Innerer Punkt:
> Es gibt eine Umgebung [mm]B_{\varepsilon}_{x_{0}})\subset[/mm] M
>
> Häufungspunkt a von M:
> Es gibt eine Teilfolge [mm](a_{n})_{n}[/mm] von M, die gegen a
> konvergiert
Das ist Unsinn ! Was soll den eine Teilfolge von M sein ???? Ist es so schwierig, Definitionen abzuschreiben ?
a ist Häufungspunkt von M [mm] \gdw [/mm] es gibt eine Folge [mm] (a_n) [/mm] in M mit:
[mm] a_n \ne [/mm] a für jedes n und [mm] a_n \to [/mm] a.
>
> Offene Menge, wenn jeder Punkt von M innerer Punkt ist
>
> Abgeschlossen, wenn jeder Häufungspunkt von M in M liegt.
>
> Wie kommen wir damit hinsichtlich des Beweises weiter?
Jetzt überlege Dir:
M ist abgeschlossen [mm] \gdw [/mm] der Limes jeder konvergenten Folge aus M gehört zu M.
FRED
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Ja ok, aber wenn gilt: der Limes jeder konvergenten Folge aus M gehört zu M äquivalent ist zu: M ist abgeschlossen, wie bringt mich das in dem Beweis
[mm] „\Rightarrow“ [/mm] weiter, mit Voraussetzung: M ist offen.
Ich möchte daraus folgern, dass dann das Komplement abgeschlossen ist.
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:22 Sa 15.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:19 Do 13.01.2011 | | Autor: | gfm |
> Innerer Punkt:
> Es gibt eine Umgebung [mm]B_{\varepsilon}_{x_{0}})\subset[/mm] M
>
> Häufungspunkt a von M:
> Es gibt eine Teilfolge [mm](a_{n})_{n}[/mm] von M, die gegen a
> konvergiert
>
> Offene Menge, wenn jeder Punkt von M innerer Punkt ist
>
> Abgeschlossen, wenn jeder Häufungspunkt von M in M liegt.
>
> Wie kommen wir damit hinsichtlich des Beweises weiter?
Wenn eine Menge offen ist, ist jeder Punkt von Ihr in einer in ihr enthaltenen Umgebung enthalten. Wenn es einen Häufungspunkt des Komplement gäbe, der nicht im Komplement der Menge enthalten ist, müßte er in der Menge selber liegen. Dann gäbe es eine Umgebung um diesen Punkt, die gleichzeitig ganz in der Menge liegt und in das Komplement hinein ragt, was ein Widerspruch ist.
Wenn eine Menge abgeschlossen ist, dann ist jeder ihrer Häufungspunkte in ihr enthalten. Wenn es nun einen Punkt im Komplement gäbe, der nicht innerer Punkt des Komplement wäre, dann läge keine Umgebung um ihn herum gamz im Komplement. Dann ragen also alle Umgebungen um ihn herum in die Menge hinein, somit wäre er ein Häufungspunkt der Menge, was ein Widerspruch ist.
So etwa.
LG
gfm
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> > Innerer Punkt:
> > Es gibt eine Umgebung [mm]B_{\varepsilon}_{x_{0}})\subset[/mm]
> M
> >
> > Häufungspunkt a von M:
> > Es gibt eine Teilfolge [mm](a_{n})_{n}[/mm] von M, die gegen a
> > konvergiert
> >
> > Offene Menge, wenn jeder Punkt von M innerer Punkt ist
> >
> > Abgeschlossen, wenn jeder Häufungspunkt von M in M liegt.
> >
> > Wie kommen wir damit hinsichtlich des Beweises weiter?
>
> Wenn eine Menge offen ist, ist jeder Punkt von Ihr in einer
> in ihr enthaltenen Umgebung enthalten. Wenn es einen
> Häufungspunkt des Komplement gäbe, der nicht im
> Komplement der Menge enthalten ist, müßte er in der Menge
> selber liegen. Dann gäbe es eine Umgebung um diesen Punkt,
> die gleichzeitig ganz in der Menge liegt und in das
> Komplement hinein ragt, was ein Widerspruch ist.
Wieso nehmen wir an, dass es einen Häufungspunkt des Komplements gebe, der nicht im Komplement liegt?...Wenn dem so wäre, ist mir der Rest der Schlussfolgerung eig klar, aber wieso nehmen wir sowas an, meiner Auffassung nach kann ein Häufungspunkt des Komplements, welcher bei einem offenen Komplement nicht zum Komplement gehört, doch nur Randpunkt von M sein und nicht ganz in M liegen, oder?
> Wenn eine Menge abgeschlossen ist, dann ist jeder ihrer
> Häufungspunkte in ihr enthalten. Wenn es nun einen Punkt
> im Komplement gäbe, der nicht innerer Punkt des Komplement
> wäre, dann läge keine Umgebung um ihn herum gamz im
> Komplement. Dann ragen also alle Umgebungen um ihn herum in
> die Menge hinein, somit wäre er ein Häufungspunkt der
> Menge, was ein Widerspruch ist.
>
> So etwa.
>
> LG
>
> gfm
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:25 Fr 14.01.2011 | | Autor: | gfm |
> > > Innerer Punkt:
> > > Es gibt eine Umgebung
> [mm]B_{\varepsilon}_{x_{0}})\subset[/mm]
> > M
> > >
> > > Häufungspunkt a von M:
> > > Es gibt eine Teilfolge [mm](a_{n})_{n}[/mm] von M, die gegen
> a
> > > konvergiert
> > >
> > > Offene Menge, wenn jeder Punkt von M innerer Punkt ist
> > >
> > > Abgeschlossen, wenn jeder Häufungspunkt von M in M liegt.
> > >
> > > Wie kommen wir damit hinsichtlich des Beweises weiter?
> >
> > Wenn eine Menge offen ist, ist jeder Punkt von Ihr in einer
> > in ihr enthaltenen Umgebung enthalten. Wenn es einen
> > Häufungspunkt des Komplement gäbe, der nicht im
> > Komplement der Menge enthalten ist, müßte er in der Menge
> > selber liegen. Dann gäbe es eine Umgebung um diesen Punkt,
> > die gleichzeitig ganz in der Menge liegt und in das
> > Komplement hinein ragt, was ein Widerspruch ist.
>
> Wieso nehmen wir an, dass es einen Häufungspunkt des
> Komplements gebe, der nicht im Komplement liegt?...Wenn dem
Satz vom Widerspruch.
LG
gfm
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:22 Sa 15.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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