Operator Exponent < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:40 Mo 17.10.2016 | | Autor: | Jellal |
Guten Abend,
ich frage mich gerade, wie ich eine bestimmte Sache rechnen kann:
Seien A und B Operatoren und v ein Vektor:
Wenn gilt A*v=a*v und B*v=b*v (v ist Eigenwert von beiden Operatoren zu a,b [mm] \in \IC).
[/mm]
Dann gilt doch [mm] e^{A+B}*v=e^{a+b}*v. [/mm] Das folgt unmittelbar aus der Reihendarstellung der e-Funktion.
Was aber passiert, wenn v kein Eigenvektor von beiden ist?
Selbst, wenn A und B kommutieren, das heißt, wenn gilt [mm] e^{A+B}=e^{A}*e^{B}, [/mm] dann passiert doch etwas ziemlich chaotisches, oder?
Gruß
Jellal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:22 Mo 17.10.2016 | | Autor: | hippias |
Ich vermute Du liegst richtig, dass im allgemeinen Fall vermutlich wenig zu sagen ist. Aber ich vermute auch, dass es sich um eine Fragestellung aus der Quantenmechanik handelt, sodass die Operatoren hermitisch sind, also diagonalisierbar, und in dem Fall, dass sie kommutieren, gemeinsam diagonalisierbar. Daher ist die von Dir beschriebene Situation für diese Anwendung die Regel.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:28 Mo 17.10.2016 | | Autor: | Jellal |
Hallo hippias,
du hast Recht, es kommt aus der Quantenmechanik, genauer Quantenoptik.
A und B sind jeweils nicht hermitesch, aber A+B dagegen schon.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:44 Di 18.10.2016 | | Autor: | hippias |
Ich glaube, dass ich Dir nicht weiterhelfen kann - wobei mir aber auch nicht klar ist, worin das Problem genau besteht. Wenn also $A$, $B$ kommutierende Operatoren sind, sodass $C= A+B$ hermitisch ist, so besitzt $C$ einen Eigenvektor $v$ mit z.B. $Cv= [mm] \lambda [/mm] v$. Dann gilt [mm] $e^{B}v= e^{\lambda}e^{-A}v$.
[/mm]
Jedoch ist $A$ mehr oder weniger willkürlich, denn die Situation lässt sich im Grunde allgemein so modellieren: Sei $A$ ein beliebiger Operator und [mm] $\lambda\in \IR$. [/mm] Setze $B= [mm] \lambda-A$ [/mm] und $C= A+B$.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:31 Mi 19.10.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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