Operator abgeschlossen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:22 Mo 20.07.2009 | | Autor: | valaida |
| Aufgabe | Sei X = Y = [mm] l^2
[/mm]
Sei D = d = [mm] \{ (a_j)_j : a_j \in \IK \forall j \in \IN a_j\not= 0 \mbox{ für höchstens endlich viele n } \}
[/mm]
Es ist T : D -> Y definiert durch [mm] T((a_j)_{j=1}^\infty) [/mm] := [mm] (ja_j)_{j=1}^\infty [/mm]
Ist der Operator T von X nach Y abgeschlossen?
Lösung:
T ist nicht abgeschlossen, denn
[mm] a^{(n)} [/mm] = (1, 1/2 , 1/4 , 1/8 , [mm] 1/2^n [/mm] , 0 , ... , 0) [mm] \in [/mm] d
[mm] Ta^{(n)} [/mm] = (1, 2/2 , 3/4 , 4/8 , ... , [mm] n/2^n [/mm] , 0, ... , 0)
[mm] a^{(n)} \to [/mm] (1, 1/2 , 1/4 , 1/8 , [mm] 1/2^n [/mm] , ... [mm] ,1/2^N [/mm] , ....) [mm] \notin [/mm] d (N > n)
Ich verstehe nicht, warum [mm] a^{(n)} [/mm] gegen die Folge a konvergiert, die nicht in d liegt
[mm] Ta^{(n)} \to [/mm] b mit [mm] b_j [/mm] = [mm] 1/2^j [/mm] , j [mm] \in \IN
[/mm]
Also gilt [mm] (a^{(n)} [/mm] , [mm] Ta^{(n)}) \o [/mm] (a,b) , aber a [mm] \not= [/mm] d = D(T)
Ehrlich gesagt, verstehe ich hier nicht einmal, was b sein soll. So wie es in der Lösung steht, vermute ich [mm] $a^{(n)} [/mm] = b = (1, 1/2 , 1/4 , 1/8 , [mm] 1/2^n [/mm] , 0 , ... , 0)$ , das würde gut zu [mm] b_j [/mm] = [mm] 1/2^j [/mm] passen. Aber irgendwie ist das nicht [mm] Ta^{(n)}. [/mm] ICh hätte aus meinem Bauchgefühl vermutet, dass $b = Ta = (1,2/2 , [mm] 3/4,....,n/2^n,...,N/2^N,...)$ [/mm] |
Hallo
Ich habe Probleme, die obige Lösung nachzuvollziehen und finde, dass sie in der Notation auch ein bisschen komisch ist.
Vielleicht kann mir ja jemand meine Fragen beantworten.
Viele Grüße
valaida
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Di 21.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Es gilt:
T ist abgeschlossen
[mm] \gdw [/mm] der Graph [mm] G_A [/mm] = { (a,Ta): a [mm] \in [/mm] D(T) } ist abgeschlossen in XxX
[mm] \gdw [/mm] für jede konvergente Folge [mm] (a^{(n)}, Ta^{(n)}) [/mm] in [mm] G_A [/mm] liegt auch deren grenzwert in [mm] G_A
[/mm]
In obigem Beweis wurde gezeigt: es gibt eine konvergente Folge [mm] (a^{(n)}, Ta^{(n)}) [/mm] in [mm] G_A [/mm] deren grenzwert nicht in [mm] G_A [/mm] liegt.
Diese Folge wurde konkret angegeben:
$ [mm] a^{(n)} [/mm] = (1, 1/2 , 1/4 , 1/8 , [mm] 1/2^n [/mm] , 0 , ... , 0)$
Jetzt rechne nach (mit obigem a und b):
[mm] $||a^{(n)}-a|| \to [/mm] 0$ und [mm] $||Ta^{(n)}-b|| \to [/mm] 0$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:43 Do 23.07.2009 | | Autor: | valaida |
| Aufgabe | Sei X = Y = $ [mm] l^2 [/mm] $
Sei D = d = $ [mm] \{ (a_j)_j : a_j \in \IK \forall j \in \IN a_j\not= 0 \mbox{ für höchstens endlich viele n } \} [/mm] $
Es ist T : D -> Y definiert durch $ [mm] T((a_j)_{j=1}^\infty) [/mm] $ := $ [mm] (ja_j)_{j=1}^\infty [/mm] $
Ist der Operator T von X nach Y abgeschlossen?
Lösung:
T ist nicht abgeschlossen, denn
$ [mm] a^{(n)} [/mm] $ = (1, 1/2 , 1/4 , 1/8 , $ [mm] 1/2^n [/mm] $ , 0 , ... , 0) $ [mm] \in [/mm] $ d
$ [mm] Ta^{(n)} [/mm] $ = (1, 2/2 , 3/4 , 4/8 , ... , $ [mm] n/2^n [/mm] $ , 0, ... , 0)
$ [mm] a^{(n)} \to [/mm] $ (1, 1/2 , 1/4 , 1/8 , $ [mm] 1/2^n [/mm] $ , ... $ [mm] ,1/2^N [/mm] $ , ....) $ [mm] \notin [/mm] $ d (N > n)
$ [mm] Ta^{(n)} \to [/mm] $ b mit $ [mm] b_j [/mm] $ = $ [mm] 1/2^j [/mm] $ , j $ [mm] \in \IN [/mm] $
Also gilt $ [mm] (a^{(n)} [/mm] $ , $ [mm] Ta^{(n)}) \o [/mm] $ (a,b) , aber a $ [mm] \not= [/mm] $ d = D(T)
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Hallo FRED
> Es gilt:
>
> T ist abgeschlossen
> [mm]\gdw[/mm] der Graph [mm]G_A[/mm] = (a,Ta): a [mm]\in[/mm] D(T) ist
> abgeschlossen in XxX
> [mm]\gdw[/mm] für jede konvergente Folge [mm](a^{(n)}, Ta^{(n)})[/mm] in
> [mm]G_A[/mm] liegt auch deren grenzwert in [mm]G_A[/mm]
>
>
> In obigem Beweis wurde gezeigt: es gibt eine konvergente
> Folge [mm](a^{(n)}, Ta^{(n)})[/mm] in [mm]G_A[/mm] deren grenzwert nicht in
> [mm]G_A[/mm] liegt.
>
> Diese Folge wurde konkret angegeben:
>
>
> [mm]a^{(n)} = (1, 1/2 , 1/4 , 1/8 , 1/2^n , 0 , ... , 0)[/mm]
Moment! Ich verstehe nur die Hälfte
$ [mm] a^{(n)} [/mm] $ = (1, 1/2 , 1/4 , 1/8 , $ [mm] 1/2^n [/mm] $ , 0 , ... , 0) $ [mm] \in [/mm] $ d
Das ist mir klar, das ist nach Definition von d
$ [mm] Ta^{(n)} [/mm] $ = (1, 2/2 , 3/4 , 4/8 , ... , $ [mm] n/2^n [/mm] $ , 0, ... , 0)
Das ist mir auch klar, weil ja $ [mm] T((a_j)_{j=1}^\infty) [/mm] $ := $ [mm] (ja_j)_{j=1}^\infty [/mm] $
Aber jetzt soll angeblich
[mm] a^{(n)}\to [/mm] für n $ (1, 1/2 , 1/4 , 1/8 , $ [mm] 1/2^n [/mm] $ , ... $ [mm] ,1/2^N [/mm] $ , ....) $ [mm] \to \infty
[/mm]
Das kann ich mir noch zusammenreimen
Aber jetzt kommt der Trick
$ [mm] Ta^{(n)} \to [/mm] $ b mit $ [mm] b_j [/mm] $ = $ [mm] 1/2^j [/mm] $ , j $ [mm] \in \IN [/mm] $
[mm] Ta^{(n)} [/mm] = (1, 2/2 , 3/4 , 4/8 , ... , $ [mm] n/2^n [/mm] $ , 0, ... , 0)
steht oben
b = Ta = j*a = (1, 2/2 , 3/4 , 4/8 , ... , $ [mm] j/2^j [/mm] $ , 0, ... , 0)
[mm] Ta^{(n)} [/mm] = (1, 2/2 , 3/4 , 4/8 , ... , $ [mm] n/2^n [/mm] $ , 0, ... , 0) [mm] \to [/mm] ?? für n [mm] \tp \infty
[/mm]
IRgendwie komme ich mit dem n und den j durcheinander und weiß einfach nicht, was b überhaupt sein soll
ES stand da ja [mm] b_j [/mm] = [mm] 1/2^j
[/mm]
d. h. b = (1, 1/2, [mm] 1/4,....,1/2^j,0,0,....,0)
[/mm]
Jetzt soll angeblich gelten [mm] Ta^{(n)} \to [/mm] b
also konkret (1, 2/2 , 3/4 , 4/8 , ... , $ [mm] n/2^n [/mm] $ , 0, ... , 0) [mm] \to [/mm] (1, 1/2, [mm] 1/4,....,1/2^j,0,0,....,0)
[/mm]
für n gegen unendlich
Verstehe ich nicht. Verstehst du zufällig, wo mein Problem liegt :)
Viele Grüße
valaida
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:03 Do 23.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sei X = Y = [mm]l^2[/mm]
>
> Sei D = d = [mm]\{ (a_j)_j : a_j \in \IK \forall j \in \IN a_j\not= 0 \mbox{ für höchstens endlich viele n } \}[/mm]
>
> Es ist T : D -> Y definiert durch [mm]T((a_j)_{j=1}^\infty)[/mm] :=
> [mm](ja_j)_{j=1}^\infty[/mm]
> Ist der Operator T von X nach Y abgeschlossen?
>
> Lösung:
> T ist nicht abgeschlossen, denn
>
> [mm]a^{(n)}[/mm] = (1, 1/2 , 1/4 , 1/8 , [mm]1/2^n[/mm] , 0 , ... , 0) [mm]\in[/mm] d
>
> [mm]Ta^{(n)}[/mm] = (1, 2/2 , 3/4 , 4/8 , ... , [mm]n/2^n[/mm] , 0, ... , 0)
>
> [mm]a^{(n)} \to[/mm] (1, 1/2 , 1/4 , 1/8 , [mm]1/2^n[/mm] , ... [mm],1/2^N[/mm] ,
> ....) [mm]\notin[/mm] d (N > n)
>
> [mm]Ta^{(n)} \to[/mm] b mit [mm]b_j[/mm] = [mm]1/2^j[/mm] , j [mm]\in \IN[/mm]
>
> Also gilt [mm](a^{(n)}[/mm] , [mm]Ta^{(n)}) \o[/mm] (a,b) , aber a [mm]\not=[/mm] d =
> D(T)
>
> Hallo FRED
>
> > Es gilt:
> >
> > T ist abgeschlossen
> > [mm]\gdw[/mm] der Graph [mm]G_A[/mm] = (a,Ta): a [mm]\in[/mm] D(T) ist
> > abgeschlossen in XxX
> > [mm]\gdw[/mm] für jede konvergente Folge [mm](a^{(n)}, Ta^{(n)})[/mm]
> in
> > [mm]G_A[/mm] liegt auch deren grenzwert in [mm]G_A[/mm]
> >
> >
> > In obigem Beweis wurde gezeigt: es gibt eine konvergente
> > Folge [mm](a^{(n)}, Ta^{(n)})[/mm] in [mm]G_A[/mm] deren grenzwert nicht in
> > [mm]G_A[/mm] liegt.
> >
> > Diese Folge wurde konkret angegeben:
> >
> >
> > [mm]a^{(n)} = (1, 1/2 , 1/4 , 1/8 , 1/2^n , 0 , ... , 0)[/mm]
>
> Moment! Ich verstehe nur die Hälfte
>
> [mm]a^{(n)}[/mm] = (1, 1/2 , 1/4 , 1/8 , [mm]1/2^n[/mm] , 0 , ... , 0) [mm]\in[/mm] d
>
> Das ist mir klar, das ist nach Definition von d
>
> [mm]Ta^{(n)}[/mm] = (1, 2/2 , 3/4 , 4/8 , ... , [mm]n/2^n[/mm] , 0, ... , 0)
>
> Das ist mir auch klar, weil ja [mm]T((a_j)_{j=1}^\infty)[/mm] :=
> [mm](ja_j)_{j=1}^\infty[/mm]
>
> Aber jetzt soll angeblich
>
> [mm]a^{(n)}\to[/mm] für n [mm](1, 1/2 , 1/4 , 1/8 ,[/mm] [mm]1/2^n[/mm] [mm], ...[/mm]
> [mm],1/2^N[/mm] [mm], ....)[/mm] [mm]\to \infty[/mm]
>
> Das kann ich mir noch zusammenreimen
>
> Aber jetzt kommt der Trick
>
> [mm]Ta^{(n)} \to[/mm] b mit [mm]b_j[/mm] = [mm]1/2^j[/mm] , j [mm]\in \IN[/mm]
>
>
> [mm]Ta^{(n)}[/mm] = (1, 2/2 , 3/4 , 4/8 , ... , [mm]n/2^n[/mm] , 0, ... , 0)
>
> steht oben
>
> b = Ta = j*a = (1, 2/2 , 3/4 , 4/8 , ... , [mm]j/2^j[/mm] , 0, ...
> , 0)
>
> [mm]Ta^{(n)}[/mm] = (1, 2/2 , 3/4 , 4/8 , ... , [mm]n/2^n[/mm] , 0, ... , 0)
> [mm]\to[/mm] ?? für n [mm]\tp \infty[/mm]
>
> IRgendwie komme ich mit dem n und den j durcheinander und
> weiß einfach nicht, was b überhaupt sein soll
> ES stand da ja [mm]b_j[/mm] = [mm]1/2^j[/mm]
>
> d. h. b = (1, 1/2, [mm]1/4,....,1/2^j,0,0,....,0)[/mm]
>
> Jetzt soll angeblich gelten [mm]Ta^{(n)} \to[/mm] b
>
> also konkret (1, 2/2 , 3/4 , 4/8 , ... , [mm]n/2^n[/mm] , 0, ... ,
> 0) [mm]\to[/mm] (1, 1/2, [mm]1/4,....,1/2^j,0,0,....,0)[/mm]
> für n gegen unendlich
>
> Verstehe ich nicht. Verstehst du zufällig, wo mein Problem
> liegt :)
Ja. Da hat sich jemand verschrieben. Es muß lauten:
$ [mm] b_j [/mm] $ = $ [mm] j/2^j [/mm] $
FRED
>
> Viele Grüße
> valaida
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:43 Fr 24.07.2009 | | Autor: | valaida |
Danke.
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