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| Aufgabe | | Sei X eine Menge. Finden Sie eine geeignete Addition und eine Multiplikation mit Skalaren, so dass die Potenzmenge von X zu einem Vektorraum über [mm]\IZ/2\IZ[/mm] wird. |
Hallo Leute,
ich weiß nicht, ob mein Ansatz hier richtig ist. Außerdem bin ich mir nicht ganz sicher, wie ich die Skalarmultiplikation definieren soll. Bitte gebt mir eure Rückmeldung.
Da [mm]\IZ/2\IZ[/mm] nur aus der 0 und der 1 besteht, lassen sich hier[mm]2^2[/mm] Teilmengen bilden [mm]\IP ( X ) := \{ \emptyset, \{ 1 \},\{ 0\}, \{ 1,0 \} \} [/mm]. Dann habe ich mir folgende Verknüpfungen überlegt:
Addition:
Assoziativität:
Für [mm]\emptyset, \{ 1 \},\{ 0\} \in \IP ( X ) [/mm] gilt,
[mm] (\emptyset \cup \{ 1 \}) \cup \{ 0\} = \emptyset \cup (\{ 1 \} \cup \{ 0\})[/mm]
Neutrales Element:
Für [mm]\emptyset, \{ 1 \}, \in \IP ( X ) [/mm] gilt,
[mm]\emptyset \cup \{ 1 \} = \{ 1 \} [/mm]
Inverses Element:
Für [mm] \emptyset, \{ 1 \},\{ 0\}, \{ 1,0 \} \in \IP ( X ) [/mm] gilt,
[mm]\{ 1,0 \}[/mm]\[mm]\{ 1,0 \}[/mm]\[mm] \{ 1\}[/mm]\[mm]\{ 0 \}=\emptyset[/mm]
Kommutativität:
Für [mm] \{ 1 \},\{ 0\}} \in \IP ( X ) [/mm] gilt,
[mm]\{ 1 \} \cup \{ 0\} = \{ 0 \} \cup \{ 1\}[/mm]
Vielen Dank schon mal im Voraus für eure Hilfe.
Christoph
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:32 Do 16.12.2010 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Sei X eine Menge. Finden Sie eine geeignete Addition und
> eine Multiplikation mit Skalaren, so dass die Potenzmenge
> von X zu einem Vektorraum über [mm]\IZ/2\IZ[/mm] wird.
> Hallo Leute,
>
> ich weiß nicht, ob mein Ansatz hier richtig ist. Außerdem
> bin ich mir nicht ganz sicher, wie ich die
> Skalarmultiplikation definieren soll. Bitte gebt mir eure
> Rückmeldung.
>
> Da [mm]\IZ/2\IZ[/mm] nur aus der 0 und der 1 besteht, lassen sich
> hier[mm]2^2[/mm] Teilmengen bilden [mm]\IP ( X ) := \{ \emptyset, \{ 1 \},\{ 0\}, \{ 1,0 \} \} [/mm].
> Dann habe ich mir folgende Verknüpfungen überlegt:
>
> Addition:
>
> Assoziativität:
>
> Für [mm]\emptyset, \{ 1 \},\{ 0\} \in \IP ( X )[/mm] gilt,
>
> [mm](\emptyset \cup \{ 1 \}) \cup \{ 0\} = \emptyset \cup (\{ 1 \} \cup \{ 0\})[/mm]
>
> Neutrales Element:
>
> Für [mm]\emptyset, \{ 1 \}, \in \IP ( X )[/mm] gilt,
>
> [mm]\emptyset \cup \{ 1 \} = \{ 1 \}[/mm]
>
> Inverses Element:
>
> Für [mm]\emptyset, \{ 1 \},\{ 0\}, \{ 1,0 \} \in \IP ( X )[/mm]
> gilt,
>
> [mm]\{ 1,0 \}[/mm]\[mm]\{ 1,0 \}[/mm]\[mm] \{ 1\}[/mm]\[mm]\{ 0 \}=\emptyset[/mm]
>
> Kommutativität:
>
> Für [mm]\{ 1 \},\{ 0\}} \in \IP ( X )[/mm] gilt,
>
> [mm]\{ 1 \} \cup \{ 0\} = \{ 0 \} \cup \{ 1\}[/mm]
>
>
Du machst leider einen recht grundsätzlichen Fehler. Du sollst keine Vektorraumstruktur auf [mm] $\IZ/2\IZ$ [/mm] durch geeignete Abbildungen definieren, sondern auf der Potenzmenge $P(X)$ einer beliebigen Menge X. Diese soll ein [mm] $\IZ/2\IZ$-Vektorraum [/mm] werden, d.h. [mm] $\IZ/2\IZ$ [/mm] ist dein zugrunde liegender Körper.
Du suchst also zwei Abbildungen:
$+: P(X) [mm] \times [/mm] P(X) [mm] \to [/mm] P(X)$
$*: [mm] $\IZ/2\IZ$ \times [/mm] P(x) [mm] \to [/mm] P(X)$
sodass die Vektorraumaxiome erfüllt sind.
Ich gebe dir mal einen Tipp, welche Abbildungen du zu betrachten hast:
Für $A,B [mm] \in [/mm] P(X)$ definiere:
$A+B = [mm] (A\backslash [/mm] B) [mm] \cup (B\backslash [/mm] A)$
sowie $1*A = A, 0*A = [mm] \{\}$
[/mm]
Die Multiplikation ist also sehr übersichtlich, da du ja auch nur zwei Körperelemente zur Verfügung hast.
Hoffe das hilft dir weiter,
viele Grüße, Lippel
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Hallo Lippel,
deinen Ansatz verstehe ich soweit. Muss aber nicht entweder A oder B die leere Menge sein? Sie ist schließlich in jeder Potenzmenge.
Gruß
Christoph
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:21 Do 16.12.2010 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Hallo Lippel,
>
> deinen Ansatz verstehe ich soweit. Muss aber nicht entweder
> A oder B die leere Menge sein? Sie ist schließlich in
> jeder Potenzmenge.
A und B sind BELIEBIGE Elemente der Potenzmenge. Natürlich KANN eine der beiden, oder sogar beide, die leere Menge sein. Das ist allerdinge ein Spezialfall.
Du musst allerdings wirklich mit den beliebigen Mengen A und B arbeiten und nicht mit dem Spezialfall, dass eine die leere Menge ist.
Die leere Menge spielt trotzdem eine wichtige Rolle. Du musst ja zeigen, dass $(P(M),+)$ eine abelche Gruppe ist, dazu gehört eine neutrales Element, welches genau die leere Menge ist (warum?).
Darüber hinaus musst die Kommutativität und Assoziativität nachrechnen und zu jedem beliebigen Element, z.B. A, das Inverse bestimmen (was könnte das sein? Du suchtst eine Menge C [mm] $\in [/mm] P(M)$ so, dass [mm] $A+C=\{\}$).
[/mm]
Danach musst du noch die Verträglichkeiten mit der skalaren Multiplikation nachrechnen, so wie ich sie aufgeschrieben habe.
Weißt du wie du nun weiter vorgehst?
Viele Grüße, Lippel
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Danke für die Antwort. Morgen treffe ich mich mit meinen Kommilitonen. Danach fahre ich über das Wochende zu meiner Familie. Ab Montag kannst du wieder mit mir rechnen.
Gruß
Christoph
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Hallo Lippel,
ich hoffe du bist gut ins neue Jahr gekommen. Ich wollte mich nochmal für deine Hilfe bedanken. Mittlerweile habe ich die Aufgabe lösen können.
Gruß
Christoph
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