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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:04 Mo 22.06.2015 | | Autor: | Emma23 |
| Aufgabe | | Sei V ein [mm] \IR [/mm] -Vektorraum der stetigen Funktionen [mm] f:[-1,1]\to\IR [/mm] mit [mm] ||f||_\infty [/mm] = [mm] sup\{|f(x)|:x\in[-1,1]\}. [/mm] Berechnen Sie [mm] ||\phi|| [/mm] für [mm] \phi:V\to\IR, \phi(f)(x)= \integral_{-1}^{1}{f(x) dx}. [/mm] |
Hallo! Wir haben zu der Aufgabe folgende Lösung bekommen:
- [mm] |\phi|= sup_{|x|_{v}\le1}|\phi(x)|_{W}
[/mm]
-Bedingung [mm] |f|_{\infty}=1
[/mm]
-Supremum von [mm] |\phi(f)|_{\IR}=|\integral_{-1}^{1}{f(x) dx}| [/mm] über alle Funktionen mit [mm] max_{x\in [-1,1]}\{f\in V\}=1
[/mm]
Kann mir das vielleicht jemand erklären? Ich verstehe die Lösung nicht...
LG Emma
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:17 Mo 22.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Sei V ein [mm]\IR[/mm] -Vektorraum der stetigen Funktionen
> [mm]f:[-1,1]\to\IR[/mm] mit [mm]||f||_\infty[/mm] = [mm]sup\{|f(x)|:x\in[-1,1]\}.[/mm]
> Berechnen Sie [mm]||\phi||[/mm] für [mm]\phi:V\to\IR, \phi(f)(x)= \integral_{-1}^{1}{f(x) dx}.[/mm]
>
> Hallo! Wir haben zu der Aufgabe folgende Lösung bekommen:
Was für ein Durcheinander !!!
> - [mm]|\phi|= sup_{|x|_{v}\le1}|\phi(x)|_{W}[/mm]
Das soll wohl die allgemeine Definition der Norm eine stetigen linearen Abbildung $ [mm] \phi:V \to [/mm] W $ sein, wobei [mm] (V,||*||_V) [/mm] und [mm] (W,||*||_W) [/mm] normierte Raäume sind.
Es ist
[mm]||\phi||:= sup_{||x||_{V}\le1}||\phi(x)||_{W}[/mm].
> -Bedingung
> [mm]|f|_{\infty}=1[/mm]
> -Supremum von [mm]|\phi(f)|_{\IR}=|\integral_{-1}^{1}{f(x) dx}|[/mm]
> über alle Funktionen mit [mm]max_{x\in [-1,1]}\{f\in V\}=1[/mm]
???? Das letzte max .... ist völlig sinnlos !
>
> Kann mir das vielleicht jemand erklären? Ich verstehe die
> Lösung nicht...
So wie das oben aufgeschrieben wurde, versteht das kein Mensch !
In obiger Aufgabe ist V=C[-1,1] mit der Maximumsnorm [mm] ||*||_{\infty} [/mm] und [mm] W=\IR [/mm] mit dem Betrag|*| als Norm.
Sei nun f [mm] \in [/mm] V mit [mm] ||f||_{\infty} \le [/mm] 1. Dann haben wir
[mm] |\phi(f)|= |\integral_{-1}^{1}{f(x) dx}| \le \integral_{-1}^{1}{|f(x)| dx} \le \integral_{-1}^{1}{ ||f||_{\infty} dx}\le \integral_{-1}^{1}{1 dx}=2.
[/mm]
Damit ist [mm] ||\phi|| \le [/mm] 2.
Nun ist [mm] ||\phi||=2. [/mm] Das zeigst Du, indem Du ein konkretes f [mm] \in [/mm] V mit [mm] ||f||_{\infty}\le1 [/mm] und [mm] |\phi(f)|=2 [/mm] angibst.
FRED
>
> LG Emma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:28 Mo 22.06.2015 | | Autor: | Emma23 |
Super! Vielen Dank für die Erklärung :)
Grüße
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