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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:48 Mo 05.04.2010 | | Autor: | csak1162 |
| Aufgabe | Bestimme die Operatornorm der Matrix
A:= [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 3 }
[/mm]
bezüglich der Norm [mm] \parallel .\parallel_{D} [/mm] im Definitionsbereich und der Norm [mm] \parallel .\parallel_{B} [/mm] im Bildbereich.
a) [mm] \parallel .\parallel_{D} \parallel .\parallel_{1}
[/mm]
[mm] \parallel .\parallel_{B} \parallel .\parallel_{\infty} [/mm] |
hallo also wie man die unendlichnorm oder einsnorm einer matrix ausrechnet.
aber wie ändert sich das, wenn bildbereich und defbereich verschieden sind???
weiß nicht was ich da jetzt machen soll!!!
danke lg
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> Bestimme die Operatornorm der Matrix
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> A:= [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 3 }[/mm]
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> bezüglich der Norm [mm]\parallel .\parallel_{D}[/mm] im
> Definitionsbereich und der Norm [mm]\parallel .\parallel_{B}[/mm] im
> Bildbereich.
>
> a) [mm]\parallel .\parallel_{D} \parallel .\parallel_{1}[/mm]
>
> [mm]\parallel .\parallel_{B} \parallel .\parallel_{\infty}[/mm]
> hallo also wie man die unendlichnorm oder einsnorm einer
> matrix ausrechnet.
Hallo,
ich kann Deinem Satz nicht folgen - was u.U. daran liegt, daß es kein Satz ist.
Weißt Du nun, wie man diese Normen ausrechnet, oder weißt Du es nicht?
> aber wie ändert sich das, wenn bildbereich und defbereich
> verschieden sind???
> weiß nicht was ich da jetzt machen soll!!!
Du sollst als erstes die Definition der Operatornorm eines Operators f: [mm] V\to [/mm] W aufschreiben.
Und wenn das dasteht, kann man sich weiter unterhalten, weil dann eine Gesprächsgrundlage vorhanden ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:24 Mo 05.04.2010 | | Autor: | csak1162 |
okay nochmal, jetzt hoffentlich vollständig
also wie man die unendlichnorm beziehungsweise einsnorm einer matrix berechnet weiß ich.
und als definition der operatornorm habe ich
Def: Die kleinste Konstante a, für welche
[mm] \parallel [/mm] Ax [mm] \parallel \le [/mm] a für [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel=1 \gdw \parallel [/mm] Ax [mm] \parallel \le [/mm] a [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] für x [mm] \in \IR^{n}
[/mm]
gilt, bezeichnet man mit
[mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel [/mm] = sup [mm] \{{\parallel Ax \parallel;\parallel x \parallel =1}\} [/mm] .
Man nennt [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel [/mm] Operatornorm von A.
Das ist die Definition der Operatornorm
So etwas mit einer FUnktion f: V [mm] \to [/mm] W
aber vielleicht steht es anderst angeschrieben und ich verstehe es nicht!!
danke lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:25 Mo 05.04.2010 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
Aufgabe : Bestimme für den linearen Operator
[mm] $T:(\IR^2,\Vert{\bullet}\Vert_{1})\rightarrow(\IR^2,\Vert{\bullet}\Vert_{\infty})$ [/mm] mit [mm] $x\mapsto [/mm] Tx:=Ax$
die Operatornorm, wobei die Matrix [mm] $A\in\IR^{2\times 2}$ [/mm] durch
[mm] $A:=\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 3 }$
[/mm]
gegeben ist.
Lösung :
Per Definition gilt für [mm] $x,y\in\IR^2$:
[/mm]
[mm] $\Vert{x}\Vert_1=\vert{x_1}\vert+\vert{x_2}\vert$
[/mm]
[mm] $\Vert{y}\Vert_{\infty}=\max\{\vert{y_1}\vert,\vert{y_2}\vert\}$
[/mm]
Wegen
[mm] $\Vert{Ax}\Vert_{\infty}=\max\{\vert{x_1+2x_2}\vert,\vert{3x_2}\vert\}$
[/mm]
und
[mm] $\Vert{x}\Vert_{1}=\vert{x_1}\vert+\vert{x_2}\vert\overset{!}{=}1\Longleftrightarrow\vert{x_1}\vert=1-\vert{x_2}\vert$
[/mm]
erhalten wir aus der Definition der Operatornorm
[mm] $\Vert{T}\Vert_{L(\IR^2,\IR^2)}:=\sup_{\Vert{x}\Vert_{1}=1, x\in\IR^2}\Vert{Tx}\Vert_{\infty}=\sup_{\Vert{x}\Vert_{1}=1, x\in\IR^2}\Vert{Ax}\Vert_{\infty}=\sup_{\Vert{x}\Vert_{1}=1, x\in\IR^2}\max\{\vert{x_1+2x_2}\vert,\vert{3x_2}\vert\}$
[/mm]
[mm] $\leqslant\sup_{|x_1|+|x_2|=1}\max\{\vert{x_1}\vert+2\vert{x_2}\vert,3\vert{x_2}\vert\}=\sup_{x_2\in[0,1]}\max\{1-\vert{x_2}\vert+2\vert{x_2}\vert,3\vert{x_2}\vert\}=\sup_{x_2\in[0,1]}\max\{1+\vert{x_2}\vert,3\vert{x_2}\vert\}=3$
[/mm]
Damit haben wir [mm] $\Vert{T}\Vert_{L(\IR^2,\IR^2)}\leqslant [/mm] 3$. Es bleibt zu zeigen, dass [mm] $\Vert{T}\Vert_{L(\IR^2,\IR^2)}\geqslant [/mm] 3$ gilt. Dies überlasse ich jedoch Dir (siehe unten: Hinweis). Insgesamt erhälst Du [mm] $\Vert{T}\Vert_{L(\IR^2,\IR^2)}=3$.
[/mm]
Hinweis : Die andere Richtung erhälst Du aus der umgekehrten Dreiecksungleichung.
Besten Gruß
Denny
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Mi 07.04.2010 | | Autor: | csak1162 |
vielen dank
das war sehr sehr sehr hilfreich!!!
ich habe dieses Beispiel jetzt auch noch für
die [mm] \infty [/mm] und 1 norm und
2 und [mm] \infty [/mm] norm
jeweils Definitions und bildbereich
gerechnet
bekomme
6 und 3 heraus!!
stimmt das???
danke lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:32 Mi 07.04.2010 | | Autor: | csak1162 |
an alle die geholfen haben
danke vielmals für die hilfe !!!!
lg
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Könnte man hier nicht gleich sagen:
[mm]\sup \max\{|x_{1} + 2x_{2}| , 3|x_{2}|\} = 3[/mm]
da doch durch [mm]||x||_{1} = |x_{1}| + |x_{2}| = 1[/mm]
gelten sollte [mm]x_{1}, x_{2} \in [-1,1][/mm]
und die beiden Beträge so höchstens den Wert 3 annehmen können?
mfg tomi
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