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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:08 Di 24.04.2007 | | Autor: | Sitzy |
| Aufgabe | Ein Torbogen wird durch eine symmetrische ganzrationale Funktion 4ten Grades abgebildet. Die Maßeaufnahme ergab die der Skizze eingetragenen Werte (Maße in Meter.
a) Bestimme die Gleichung der Funktion.
b) Wie groß ist die Toröffnung?
c) Der Torbogen soll bis auf eine rechteckige Öffnung zugemauert werden. Welche Breite und Höhe muss die Öffnung erhalten, wenn der Öffnungsquerschnitt max. werden soll? |
Hey...
Das mit dem Bild ist jetzt so ein Problem ich versuch es mal zu erklären also. Der Torbogen ist Parabelförmig und 6,4 m hoch und 8m breit. Druch die mitte geht y! Es ist auch 6m höhe und 4 m breite eingzeichnet! die viereckige öffnung liegt etwas unter der 6m grenze und höhe und Breite sind nicht angegeben nur eingezeichnet mit h und b!
a) [mm] f(x)=x^{4}+x^{2}+6,4
[/mm]
b) und c) =??
Hoffe versteht meine bildbeschreibung!! Und hoffe ihr könnt mir bei b und c weiter helfen ich verzweifel noch dran =(
danke im vorraus
Bine
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Hi, Sitzy,
> Ein Torbogen wird durch eine symmetrische ganzrationale
> Funktion 4ten Grades abgebildet. Die Maßeaufnahme ergab die
> der Skizze eingetragenen Werte (Maße in Meter.
> a) Bestimme die Gleichung der Funktion.
> b) Wie groß ist die Toröffnung?
> c) Der Torbogen soll bis auf eine rechteckige Öffnung
> zugemauert werden. Welche Breite und Höhe muss die Öffnung
> erhalten, wenn der Öffnungsquerschnitt max. werden soll?
>
> Das mit dem Bild ist jetzt so ein Problem ich versuch es
> mal zu erklären also. Der Torbogen ist Parabelförmig und
> 6,4 m hoch und 8m breit. Druch die mitte geht y! Es ist
> auch 6m höhe und 4 m breite eingzeichnet! die viereckige
> öffnung liegt etwas unter der 6m grenze und höhe und Breite
> sind nicht angegeben nur eingezeichnet mit h und b!
>
> a) [mm]f(x)=x^{4}+x^{2}+6,4[/mm]
Aus Deiner Beschreibung ergibt sich aber was Anderes:
1. muss die Parabel ja wohl NACH UNTEN geöffnet sein; d.h. die Konstante beim höchsten Grad ist auf jeden Fall NEGATIV.
2. hat - bei 8 m Breite - die Funktion ja dann bei x=4 eine Nullstelle.
3. Aus Deiner Angabe "Es ist auch 6m höhe und 4 m breite eingezeichnet!"
entnehme ich: f(2) = 6.
Also: f(x) = [mm] ax^{4} [/mm] + [mm] bx^{2} [/mm] + 6,4.
(I) 256a + 16b + 6,4 = 0
(II) 16a + 4b + 6,4 = 6
Jetzt rechne erst mal a und b aus - dann sehen wir weiter!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:42 Mi 25.04.2007 | | Autor: | Sitzy |
Hier einmal das Bild... vllt versteht man es dann besser...
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:30 Do 26.04.2007 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, sitzy,
genauso hab' ich mir's vorgestellt!
Somit ist mein Ansatz zur Lösung OK und Du brauchst - wie erwähnt - erst mal nur a und b auszurechnen!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:53 Fr 27.04.2007 | | Autor: | Sitzy |
I 256a+16b+6,4=0
II 16a+4b+6,4=6 *(-4)
---------------------------
I 256a+16b+6,4=0
II -64a-16b-25,6=-24
---------------------------
I-II 192a-19,2=-24
a=-0,025
16*(-0,025)+4b+6,4=6
b=-1,5
So richtig???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:08 Sa 28.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sitzy!
Den Wert für $a \ = \ -0.025 \ = \ [mm] -\bruch{1}{40}$ [/mm] habe ich auch erhalten.
Allerdings wird dann bei mir $b \ = \ 0$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:12 Sa 28.04.2007 | | Autor: | Sitzy |
stimmt hab ich jetzt auch^^ und wie geht es jetzt weiter???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:51 Sa 28.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
die Frage, wie groß die Toröffnung ist, lässt sich m.E. damit beantworten, indem man die Fläche dieser Toröffnung angibt.
Bei der letzten Aufgabe, soll ma dann ja eine rechteckige Öffnung auswählen, die dann einen maximalen Flächeninhalt hat.
Hier musst du dann einen variablen Eckpunkt auf dem Parabelbogen wählen, und dann mit Hilfe der Koordinaten des Punktes die Fläche angeben, und dann daraus eine Flächenfunktion in Abhängigkeit von x aufstellen.
Und dann musst du sehen, wo diese Flächenfunktion dann ein Maximum besitzt.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:01 Sa 28.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kroni!
> Bei der letzten Aufgabe, soll ma dann ja eine quadratische
> Öffnung auswählen, ...
Hier meinst Du doch mit Sicherheit rechteckig, oder?!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:11 Sa 28.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ja sicher...
Es sei die Gleichung me=idiot gegeben, die [mm] L=\IR [/mm] habe ^^
Ne, ich dachte noch an rechteckig, aber hab quadratisch geschrieben, sry
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:03 Sa 28.04.2007 | | Autor: | Sitzy |
was?? entweder es leigt an der vortgeschrittende abendzeit oder ich versteh gard wirklich nur noch bahnhof^^ sry wenn ich das so sage aber ich versteh gard wirklich nichts =( muss ich jetzt nicht mit der Optimierung arbeiten?? Ginge es vllt. die Funktion und die flächenformel zu kombienieren???
lg Bine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:16 Sa 28.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
es ist doch so, dass diese rechteckige Öffnung eine Ecke auf der Toröffnung hat.
Dann gilt, wenn man die Flächenformel mal in Abhängigkeit von x "zusammenbasteln" will:
A(x)=2*x * f(x)
2*x ist dann die Breite der Öffnung
f(x) ist dann die Höhe der Öffnung an der Stelle x.
Diese Funktion musst du dann einmal aufstellen, und nach einem Maximum suchen (da der Flächeninhalt ja maximal werden soll).
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:29 So 29.04.2007 | | Autor: | Sitzy |
Ja cool... so versteh ich endlich wieder was ;) nur das maximum was ich nehme ist das egal?? und wofür hatten wir noch a und b ausgerechnet,wahrscheinlich für die funktion dann wäre ja [mm] f(x)=-0,025x^{4}+x^{2}+6,4 [/mm] oder ist [mm] f(x)=x^{4}+x^{2}+6,4 [/mm] (die hatten wir in der schule raus)...
lg Bine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:40 So 29.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bine!
Wir hatten uns doch auf $a \ = \ -0.025 \ = \ [mm] -\bruch{1}{40}$ [/mm] und $b \ = \ [mm] \red{0}$ [/mm] "geeinigt".
Damit lautet unsere gesuchte Funktion $f(x) \ = \ [mm] -0.025*x^4+6.4$
[/mm]
Siehe auch hier die 3 Funktionen (Deine beiden Vorschläge sowie meine):
[Dateianhang nicht öffentlich]
Und Deine Bestimmungsfunktion für den Flächeninhalt lautet dann (siehe Kroni's Antwort):
$A(x) \ = \ 2x*f(x) \ = \ [mm] 2x*\left(-0.025x^4+6,4\right) [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:20 So 29.04.2007 | | Autor: | Sitzy |
Okay ;) mich hatte das jetzt nur verwirt das wir ins der schule die andere funktion erklärt bekommen haben... aber ist ja eigentlich total logisch dass das nicht ging ;) so und nu zu c) ", wenn der Öffnungsquerschnitt max. werden soll" kann ich dort eine beliebige zahl wählen? Un errechne ich dies durch Integralrechnung indem ich die toröffnung vom der funktion abziehe??
lg Bine
p.s ich bin euch wirklich super dankbar für die Hilfe allein hätte ich das nie geschafft ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:54 So 29.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bine!
Auch wenn das Reizwort "Flächeninhalt" auf Integralrechnung zu deuten scheint. Für dieses Extremwertberechnung (wir suchen ja schließlich ein maximales $A_$) müssen wir die Differentialrechnung anwenden.
Und da sind die Extremwerte ja die Nullstellen der 1. Ableitung.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:27 So 29.04.2007 | | Autor: | Sitzy |
also ich hab jetzt mal f(x) ausgerechnet und habe für x1=2,25 raus und x2=0 kann das stimmen???
lg Bine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:38 So 29.04.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Fast:
[mm] f(x)=-0,05x^{5}+12,8x
[/mm]
Und hiervon suchst du jetzt das Maximum, oder?
Also:
[mm] f'(x)=-\bruch{1}{4}x^{4}+12,8=0
[/mm]
[mm] \gdw x^{4}=51,2
[/mm]
[mm] \Rightarrow x=\pm\wurzel[4]{51,2}\approx\pm2,67
[/mm]
Und jetzt musst du noch Prüfen, wo ein Maximum oder ein Minimum vorliegt.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:44 So 29.04.2007 | | Autor: | Sitzy |
hey... zwei sachen!?
1. Warum hast du das mit der ableitung gemacht und nicht x ausgeklammer!?
und
2. wäre lieb wenn mir das jemand mit dem min. oder max. erklären könnte weil ich das noch nicht gemacht habe!?
danke
liebe grüße
Bine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:59 So 29.04.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Um ein Maximum oder Minimum einer Funktion f(x) zu bestimmen, geht man am besten wie folgt vor.
Man leitet f(x) zweimal ab.
Ich nehme als Beispiel mal diene Funktion
[mm] f(x)=-0,05x^{5}+12,8x
[/mm]
[mm] f'(x)=-0,25x^{4}+12,8
[/mm]
f''(x)=-x³
Dann berechnet man die Nullstelle(n) [mm] x_{e} [/mm] der ersten Ableitung.
Also wie gehabt.
f'(x)=0
[mm] \Rightarrow -0,25x^{4}+12,8=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{e_{1}}=\wurzel[4]{51,2} [/mm] und [mm] x_{e_{2}}=-\wurzel[4]{51,2}
[/mm]
Dann setzt du diese Werte in die zweite Ableitung ein.
Gilt jetzt: [mm] f''(x_{e})>0, [/mm] so ist der Punkt [mm] T(x_{e};f(x_{e})) [/mm] ein Tiefpunkt (Minimum),
gilt dagegen [mm] f''(x_{e})<0, [/mm] so ist der Punkt [mm] H(x_{e};f(x_{e})) [/mm] ein Hochpunkt (Maximum)
Du musst natürlich [mm] f(x_{e}) [/mm] noch berechnen.
Also in deinem Fall.
[mm] f''(\wurzel[4]{51,2})=-(\wurzel[4]{51,2})³<0
[/mm]
[mm] f(\wurzel[4]{51,2})=-0,05(\wurzel[4]{51,2})^{5}+12,8*\wurzel[4]{51,2}\approx [/mm] 27,3
Also ist [mm] H(\wurzel[4]{51,2};27,3) [/mm] ein Hochpunkt
[mm] f''(-\wurzel[4]{51,2})=-(-\wurzel[4]{51,2})³>0
[/mm]
[mm] f(-\wurzel[4]{51,2})\approx-27,3
[/mm]
Also ist [mm] T(-\wurzel[4]{51,2};-27,3) [/mm] ein Tiefpunkt.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 So 29.04.2007 | | Autor: | Sitzy |
Ach so also ganz normal exterm punkte bestimmen ;) aber wie sieht jetzt die c) konrekt aus ich krieg kein bild im kopf hin und auf dem papier geht auch nichts =(
lg Bine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 So 29.04.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Parabel hast du ja bestimmt, ich nenne sie mal p(x)
jetzt brauchst du eine Funktion, die den Flächeninhalt des Rechteckigen Ausschnitts bestimmt.
Allgemein gilt für ein Rechteck mit den Seitenlängen a und b
A=a*b.
Jetzt liegt das Rechteck ja mit einer Seite auf der x-Achse Also hat es eine Seitenlänge von 2x, weil die Parabel ja symmetrisch zur y-Achse sein soll.
Die weite Seitenlänge ist die Verbindungsstrecke von der X-Achse zu der Parabel.
diese ist genau p(x) lang.
Also gilt:
A(x)=2x*p(x) mit deiner berechneten Parabel p(x)
Und hiervon suchst du das Maximum.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 So 29.04.2007 | | Autor: | Sitzy |
Okay verstanden und das max. haben wir ja errechnet durch die extrem stellen ja!? aber wie komme ich jetzt daruf wie groß a und b sein sollen... setze ich die extreme ein?? und brauch ich hier garkeine integralrechnung??
lg Bine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 So 29.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ja, die eine Seite muss doch dann 2x lang sein (die Seite kannste dann zb a nennen), und die andere muss p(x) lang sein.
Integralrechnung brauchste für diese Aufgabe nicht, das ist ne standard Aufgabe für die Differentialrechnung.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:23 So 29.04.2007 | | Autor: | Sitzy |
okay super danke an euch alle @->->
lg Bine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 So 29.04.2007 | | Autor: | Sitzy |
Ich hab jetzt doch noch ne frage zu b) wie komme ich jetzt genau auf die briete und höhe komme.... ich muss doch erst x ausrechnen oder nicht und wo setze ich das ein??
Ist wirklich wichtig, sitzen schon zu weit dran aber ganu raus bekommst keiner :(
lg Bine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 So 29.04.2007 | | Autor: | Sitzy |
Hey...
wir sitzen ja gard mal zu 2. und wir haben zu a) etwas anderes raus nämlich [mm] f(x)=-0,0125x^{4}-2x^{2}+6,4 [/mm] wir haben nämlcih als Punkte P1(4/0) P2(-4/0) P3(2/6) P4(-2/6)
es sieht mehr aus wie das bild aber kann das stimmen oder it das vollkommener schwachsinn??
lg Bine
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:18 So 29.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
eure Funktion ist falsch.
Setzt doch einfach mal zur Probe die vier Punkte ein, und guckt, welche Punkte nicht passen!
LG
Kroni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 So 29.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
wenn du nicht weist, was nun die Breite und was die Höhe ist, dann hast du den Ansatz für die Rechtecksflächenformel nicht verstanden:
Wir haben doch als Breite der rechteckigen Öffnung 2x definiert, und als Höhe der Öffnung f(x), da die eine Ecke auf dem Parabelbogen liegt!
Gruß,
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 So 29.04.2007 | | Autor: | Sitzy |
Also muss ich einfach x ausrechnen (x=2,25) und setzte es einfach ein.... richtig??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:20 So 29.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
wenn du herausbekommst, dass die Funktion für x=2,25 einen Hochpunkt besitzt, dann ist die Breite des Bogens entsprechend 4,5 und die Höhe f(2,25)!
Das miteinander multipliziert ergibt dir dann den Flächeninhalt des Rechtecks.
Das selbe muss auch rausbekommen, wenn du A(2,25) errechnest.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 So 29.04.2007 | | Autor: | Sitzy |
ach so ich muss x nur von f(x) errechnen! dann ist x=4 also h=4 und b=8.... weil ich hatte jetzt x von A(x) errechnet^^
lg Bine
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Hallo,
du hattest doch als Extremwert die Stellen [mm] x=\pm2,67, [/mm] hat M.Rex vorhin schon für dich berechnet, das bedeutet, du hast eine Breite von 5,34m, berechne jetzt f(2,67)=5,1m, somit hat der Ausschnitt eine Breite von 5,34m und eine Höhe von 5,1m, du erhälst eine Fläche von [mm] 27,234m^{2}, [/mm] ich hänge dir ein Bild zur besseren Vorstellung an,
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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