Optimierung mittels Lagrange < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmen Sie Minimum und Maximum der Funktion f : [mm] R^2 [/mm] → R, definiert durch f(x, y) = 3x + 4y auf dem Rand des Kreises mit Mittelpunkt in (1,−2) und Radius 1. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe zu oben genannter Aufgabe ein Problem. und zwar kann ich zwar das Maximum der Funktion auf dem Kreis berechnen, jedoch habe ich keinen Ansatz wie ihc das Minimum berechnen soll. Zur berechnung des Maximum gehe ich wie folgt vor:
1) Aufstellen der Kreisgleichung: [mm] 1^2= (x-1)^2+y+2)^2
[/mm]
2) Aufstellen der Lösungsgleichung mittels Lagrange-Multiplikator:
[mm] h(x,y,\lambda) [/mm] = [mm] x^2 [/mm] -2x [mm] +y^2+2y [/mm] +4 + [mm] \lambda(3x+4y)
[/mm]
Aufstellen der partiellen Ableitungen nach [mm] x,y,\lambda:
[/mm]
[mm] dh/dx=2x-2+3\lambda
[/mm]
[mm] dh/dy=2y+2+4\lambda
[/mm]
[mm] dh/d\lambda=3x+4y
[/mm]
3) Nullsetzen der partiellen Ableitungen und berechnung der Variablen mittels Einsetzungsverfahren (3 Gleichungen 3 Unbekannte)
Lösung: x=28/25 , y= -21/25, [mm] \lambda [/mm] = -2/25
Mit x und y habe ich also die koordinaten des Maximums.. aber wie bekomme ich nun das Minimum? Und hat [mm] \lambda [/mm] irgendeine Veranschaulichung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:23 Do 02.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie Minimum und Maximum der Funktion f : [mm]R^2[/mm]
> → R, definiert durch f(x, y) = 3x + 4y auf dem Rand
> des Kreises mit Mittelpunkt in (1,−2) und Radius 1.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> Hallo,
> ich habe zu oben genannter Aufgabe ein Problem. und zwar
> kann ich zwar das Maximum der Funktion auf dem Kreis
> berechnen, jedoch habe ich keinen Ansatz wie ihc das
> Minimum berechnen soll. Zur berechnung des Maximum gehe ich
> wie folgt vor:
>
> 1) Aufstellen der Kreisgleichung: [mm]1^2= (x-1)^2+y+2)^2[/mm]
>
> 2) Aufstellen der Lösungsgleichung mittels
> Lagrange-Multiplikator:
> [mm]h(x,y,\lambda)[/mm] = [mm]x^2[/mm] -2x [mm]+y^2+2y[/mm] +4 + [mm]\lambda(3x+4y)[/mm]
Das ist nicht richtig !!
Richtig lautet es so:
[mm] h(x,y,\lambda) [/mm] = [mm] 3x+4y+\lambda((x-1)^2+(y+2)^2-1)
[/mm]
FRED
>
> Aufstellen der partiellen Ableitungen nach [mm]x,y,\lambda:[/mm]
> [mm]dh/dx=2x-2+3\lambda[/mm]
> [mm]dh/dy=2y+2+4\lambda[/mm]
> [mm]dh/d\lambda=3x+4y[/mm]
>
> 3) Nullsetzen der partiellen Ableitungen und berechnung der
> Variablen mittels Einsetzungsverfahren (3 Gleichungen 3
> Unbekannte)
> Lösung: x=28/25 , y= -21/25, [mm]\lambda[/mm] = -2/25
> Mit x und y habe ich also die koordinaten des Maximums..
> aber wie bekomme ich nun das Minimum? Und hat [mm]\lambda[/mm]
> irgendeine Veranschaulichung?
>
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Hallo,
nun führt mein oben angegebener Lösungsweg zu einer komplexen Lösung für x,y, [mm] \lambda [/mm] . Daher ist mein Weg offensichtlich falsch. wie muss ich nun weitermachen um aus der Gleichung [mm] h(x,y,\lambda) [/mm] die Maxima und Minima herauszufinden? Ich denke mal, dass das Ableiten und Nullsetzen nicht falsch war, aber wie geht es dann weiter?
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> Hallo,
> nun führt mein oben angegebener Lösungsweg zu einer
> komplexen Lösung für x,y, [mm]\lambda[/mm] . Daher ist mein Weg
> offensichtlich falsch.
> Ich denke mal, dass das Ableiten und
> Nullsetzen nicht falsch war, aber wie geht es dann weiter?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Der Plan, den Du verfolgst, ist jedenfalls gut, ob Du richtig oder falsch gerechnet hast, kann man ohne die Rechnung zu sehen natürlich schlecht sagen.
Auf jeden Fall mußt Du ein Min und ein Max bekommen, denn der Kreis ist ja eine Kompakte Menge und Deine Funktion stetig.
Ich könnte mir sehr gut vorstellen, daß Du unterwegs Nullstellen verloren hast, z.B. weil Du unbemerkt durch 0 dividiert hast. (z.B, durch (x-1) ohne den Fall x=1 auszuschließen.) Prüfe das mal, wenn Du keinen Fehler findest, poste Deine Rechnung.
> wie muss ich nun weitermachen um aus
> der Gleichung [mm]h(x,y,\lambda)[/mm] die Maxima und Minima
> herauszufinden? Ich denke mal, dass das Ableiten und
> Nullsetzen nicht falsch war, aber wie geht es dann weiter?
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ich habe nun mit folgender Formel gerechnet [mm] h(x,y,\lambda) [/mm] = [mm] 3x+4y+\lambda((x-1)^2+(y+2)^2-1) [/mm]
die Ableitungen lauten
(1) dh/dx = [mm] 3+2\lambda x-2\lambda [/mm]
(2) dh/dy = [mm] 4+2\lambda y+2\lambda [/mm]
(3) [mm] dh/d\lambda [/mm] = [mm] 4+x^2-2x+y^2+2y+4
[/mm]
mit Nullsetzen folgt
aus (1) folgt [mm] \lambda= [/mm] -3/(x-2)
das in (2) eingesetzt ergibt: 4- 6y/(x-2)+6/(x-2) = 0
=> y=(4x-7)/3
in (3) eingesetzt ergibt: [mm] (25x^2 [/mm] - 50·x + 7)/9 = -8
[mm] =>x^2-2x= [/mm] -79/25 => x = 1 - j3·√6·/5 oder x = 1 + j3·√6·/5
ich finde keinen fehler in meiner Rechnung, also ist wahrscheinlich irgendein Ansatz falsch oder ich habe die Gleichungen falsch aufgestellt
sieht vielleicht jemand den Fehler?
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Hallo,
ich habe nun die (hoffentlich) richtigen Lösungen.
x=2/5 , y= -14/5 , [mm] \lambda [/mm] = 5/2 bzw. x=8/5 , y=-6/5 , [mm] \lambda [/mm] = -5/2
wie bekomme ich nun heraus welches ein Minimum und welches ein Maximum ist? ist das hierbei genauso wie in der klassischen Analysis? also einfach die 2. Ableitung an der Extremstelle bilden und das Vorzeichen betrachten?
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Hallo becksbiertrinker,
> Hallo,
> ich habe nun die (hoffentlich) richtigen Lösungen.
>
>
> x=2/5 , y= -14/5 , [mm]\lambda[/mm] = 5/2 bzw. x=8/5 , y=-6/5 ,
> [mm]\lambda[/mm] = -5/2
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> wie bekomme ich nun heraus welches ein Minimum und welches
> ein Maximum ist? ist das hierbei genauso wie in der
> klassischen Analysis? also einfach die 2. Ableitung an der
> Extremstelle bilden und das Vorzeichen betrachten?
>
>
Ganz so einfach ist das nicht, im mehrdimensionalen verwendet man die ![[]](/images/popup.gif) Hessematrix.
Gruß
MathePower
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
