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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:47 Do 28.10.2004 | | Autor: | Muffy |
hallo,
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt.
am dienstag schreibe ich eine matheklausur und muss bis dahin noch ein paar wichtige fragen klären.
folgendes:
Es muss ein Rechteck in einen Kreis eingefügt werden. Die Diagonale ist gegeben.
d=20cm
Zielfunktion: T(x;y) = x * y²
Nebenbedingung: d² = x² + y²
wenn man nun die nebenfunktion umstellt und in die zielfunktion einsetzt, erhält man für x=11,54 und für y = 16,33
soweit ist auch alles klar, doch ich muss jetzt die formel verallgemeinern.
d.h. dass der durchmesser beliebig ist.
meine überlegung:
d² = x² + y² einmal nach x und einmal nach y² umstellen und dass dann wieder in die zielfunktion einsetzen.
T(x;y) = ( [mm] \wurzel{d²-y²})*(d²-x²)
[/mm]
stimmt meine überlegung und kann man diese formel weiter vereinfachen?
könnt ihr mir nicht noch nebenbei ein paar tipps geben, wie ich mit einer wurzel umgehen soll?
ein beispiel:
U = 2 ( a + [mm] \wurzel{16² - a²} [/mm]
ich hab keine ahnung, wie ich mit dieser wurzel umgehen soll. bzw wie ich auf das a komme.
ich hoffe, dass ihr mir bei den 2 fragen helfen könnt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:55 Do 28.10.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Martin
Stelle die 2. Aufgabe bitte nochmals als einzelner Strang, aber bitte gerade auch noch etwas verständlicher. Wisst du nach a umstellen, oder was?
>
> folgendes:
> Es muss ein Rechteck in einen Kreis eingefügt werden. Die
> Diagonale ist gegeben.
> d=20cm
>
> Zielfunktion: T(x;y) = x * y²
> Nebenbedingung: d² = x² + y²
>
> wenn man nun die nebenfunktion umstellt und in die
> zielfunktion einsetzt, erhält man für x=11,54 und für y =
> 16,33
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") $x_$ habe ich nachgerechnet, es stimmt. $y_$ habe ich dann aber nicht mehr überprüft.
> soweit ist auch alles klar, doch ich muss jetzt die formel
> verallgemeinern.
> d.h. dass der durchmesser beliebig ist.
>
> meine überlegung:
> d² = x² + y² einmal nach x und einmal nach y² umstellen
> und dass dann wieder in die zielfunktion einsetzen.
>
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Nein, das Vorgehen ist falsch! Richtig ist: stelle in der Nebenbedingung nur nach einer Variablen um, und setze das in der Zielfunktion ein. Nach welcher Variablen du auflöst ist egal, die richtige Wahl kann aber die Rechnung schon etwas vereinfachen! Deshalb immer zuerst grob überlegen, nach welcher Variablen aufgelost werden soll.
Weil in der Zielfunktion das $y_$ bereits im Quadrat vorkommt, würde ich die Nebenbedingung nach [mm] $y^{2}$ [/mm] auflösen. Es kommen dann keine Wurzeln vor! Also:
[mm] $y^{2}=d^{2}-x^{2}$
[/mm]
Das in der Zielfunktion eingesetzt:
[mm] $T(x,y)=x*(d^{2}-x^{2})=d^{2}x-x^{3}$
[/mm]
Jetzt hängt T nur noch von $x_$ ab, und du kannst einfach differenzieren und Null setzen:
[mm] $d^{2}-3x^{2}=0$
[/mm]
ergibt:
[mm] $x=\bruch{d}{\wurzel{3}}$
[/mm]
Wenn dir Wurzeln im Nenner nicht passen (Geschmacksache), dann erweiterst du noch mit [mm] $\wurzel{3}$:
[/mm]
[mm] $x=\bruch{\wurzel{3}d}{3}$
[/mm]
Alles klar?
Mit lieben Grüssen
Paul
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