Optimierungsaufgabe < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:23 Di 24.04.2007 | | Autor: | luigi92 |
| Aufgabe | | Ein unterirdischer Abwasserkanal hat einen Querschnitt von der Form eines Rechtecks mit unten angesetztem Halbkreis. Der Umfang des Querschnitts ist mit Rücksicht auf das Baumaterial durch U=7,14 m fest gegeben. Wie groß ist der Radius des Halbkreises zu wählen, damit der Querschnitt möglichst groß wird? [mm] (\pi [/mm] = 3,14) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
irgendwie kapiere ich nicht wie man dieses Aufgabe lösen kann. Kann mir vielleicht jemand helfen?
danke luigi92
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:18 Di 24.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo luigi,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Du musst hier aus einer Haupt- und Nebenbedingung eine Zielfunktion ermitteln, für welche Du dann eine Extremwertberechung (= Nullstellen der 1. Ableitung etc.) durchführst.
Gesucht ist ja die Querschnittsfläche, welche maximal werden soll.
Diese beträgt für die Querschnittsfläche:
$A(r,h) \ = \ [mm] A_{\text{Rechteck}}+A_{\text{Halbkreis}} [/mm] \ = \ [mm] h*(2r)+\bruch{1}{2}*\pi*r^2$
[/mm]
Dies ist die Hauptbedingung ...
Vorgegeben ist die sogenannte "Nebenbedingung" mit einem festen Umfang:
$u \ = \ 7.14 \ = \ [mm] 2r+2*h+\bruch{1}{2}*2*\pi*r [/mm] \ = \ [mm] 2*h+(2+\pi)*r$
[/mm]
Wenn Du diese Gleichung nun umstellst nach $h \ = \ ...$ und in die Flächenformel einsetzt, hast Du eine Funktion $A(r)_$ mit nur noch einer Variablen.
Damit nun die Extremwertberechnung durchführen ...
Gruß
Loddar
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