Optimierungsaufgabe < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hi,
leider habe ich zu dieser Aufgabe keine wirkliche Ahnung, wie ich sie angehen soll um sie lösen zu können. Ich habe mir überlegt, dass das Minima/Maxima auf den Randpunkten des Kreises liegt! Aber wie ich das lösen könnte weiß ich nicht!
Könnt ihr mir evtl. helfen und sagen was ich jetzt als erstes machen muss?
Wäre echt nett.
Danke
Grüße Thomas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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Hallo,
dies ist so eine Aufgabe, welche ich im Grunde mit meinem Hausfrauenverstand zu lösen versuchen würde - sprich:
den Schnittpunkt der Geraden durch den Ursprung und den Mittelpunkt mit dem Kreisrand bestimmen.
Allerdings habe ich den Verdacht, daß dies hier nicht erwünscht ist, sondern daß Du so tun sollst, als hättest Du keinerlei Ahnung, wo die Punkte liegen. Die angegebene Abstandsfunktion (sie liefert das Quadrat des Abstandes) spricht dafür.
Möglichkeit 1:
Du löst die Nebenbedingung nach y auf, setzt das in f ein und erhältst f in Abhängigkeit von x. Jetzt bestimmst Du die Extrema, wie aus der Schule bekannt.
Möglichkeit 2 - ich vermute, dies ist gemeint:
Lagrangeansatz.
![[]](/images/popup.gif) Hieran kannst Du Dich entlanghangeln: zunächst Lagrangefunktion aufstellen, Ableitungen nach [mm] x,y,\lambda [/mm] berechnen, =Null setzen, Gleichungssystem lösen.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hi Angela,
danke für deine Antwort. Ich werde beide Möglichkeiten mal durchtesten. Zuerst werde ich die 1. Möglichkeit versuchen :)
Also wir haben in der Vorlesung mal den "Trick" aufgeschrieben, dass man die Nebenbedingung nach einer Variablen umstellt und in die Funktion einsetzt um nur noch eine Funktion die von einer Variable abhängt zu erhalten. Diese kann man dann wieder ganz normal wie in der Schule optimieren. Das ganze werde ich jetzt weiter unten mal versuchen.
> Hallo,
>
> dies ist so eine Aufgabe, welche ich im Grunde mit meinem
> Hausfrauenverstand zu lösen versuchen würde - sprich:
>
> den Schnittpunkt der Geraden durch den Ursprung und den
> Mittelpunkt mit dem Kreisrand bestimmen.
>
> Allerdings habe ich den Verdacht, daß dies hier nicht
> erwünscht ist, sondern daß Du so tun sollst, als hättest Du
> keinerlei Ahnung, wo die Punkte liegen. Die angegebene
> Abstandsfunktion (sie liefert das Quadrat des Abstandes)
> spricht dafür.
>
> Möglichkeit 1:
> Du löst die Nebenbedingung nach y auf, setzt das in f ein
> und erhältst f in Abhängigkeit von x. Jetzt bestimmst Du
> die Extrema, wie aus der Schule bekannt.
>
> Möglichkeit 2 - ich vermute, dies ist gemeint:
> Lagrangeansatz.
>
> Hieran
> kannst Du Dich entlanghangeln: zunächst Lagrangefunktion
> aufstellen, Ableitungen nach [mm]x,y,\lambda[/mm] berechnen, =Null
> setzen, Gleichungssystem lösen.
>
> Gruß v. Angela
So hier gehts dann los:
Funktion: [mm] $f(x,y):=x^2+y^2$ [/mm]
[mm] Nebenbedingung:$(x-3)^2+(y-4)^2=1$ [/mm] Diese Stelle ich jetzt nach x um
01. [mm] $(x-3)^2+(y-4)^2=1$
[/mm]
02. [mm] $(y-4)^2=1-(x-3)^2$ [/mm] Hier könnte ich die bin. Formel ausklammern, mach ich aber mal nicht.
03. [mm] $y-4=\wurzel{1-(x-3)^2}$ [/mm] Hier müsste ich doch "theoretisch" eine Fallunterscheidung machen, aber da mein Kreis nur im positiven ist, muss ich das nicht machen oder?
04. [mm] $y=\wurzel{1-(x-3)^2}+4$
[/mm]
Nun setze ich sie ein:
05. [mm] $f(x,y):=x^2+(\wurzel{1-(x-3)^2}+4)^2$ [/mm]
06. [mm] $f(x,y):=x^2+1-(x-3)^2+16$
[/mm]
07. [mm] $f(x,y):=x^2+17-(x-3)^2$
[/mm]
08. [mm] $f(x,y):=x^2+17-\red{(}x-3\red{)}^2$
[/mm]
09. [mm] $f(x,y):=x^2+17-\red{(} x^2-6x+9 \red{)}$
[/mm]
10. [mm] $f(x,y):=x^2+17-x^2+6x-9$
[/mm]
11. $f(x,y):=17+6x-9$
12. $f(x,y):=8+6x$
Stimmt das so? Wenn ja, als nächstes muss ich das ganze nach x Ableiten, die Nullstellen finden und dann auf den gefunden Nullstellen ob es sich um Minima oder Maxima handelt oder?
Danke
Grüße Thomas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:47 Do 05.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Thomas!
Beim Umstellen / Zusammenfassen musst Du natürlich auch die  binomische Formeln berücksichtigen:
> 05. [mm]f(x,y):=x^2+(\wurzel{1-(x-3)^2}+4)^2[/mm]
>
> 06. [mm]f(x,y):=x^2+1-(x-3)^2+16[/mm]
Und hier wendet es mich mit Grausen ... Du musst schon gemäß [mm] $(a+b)^2 [/mm] \ = \ [mm] a^2+2ab+b^2$ [/mm] ausmultiplizieren!
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:50 Do 05.07.2007 | | Autor: | KnockDown |
Hi Loddar,
jetzt grauts mir auch. Ich hab in dem Moment nicht das 1-... gesehen, deshalb kann ich das nicht einfach machen!
Wenn da jetzt nur gestanden hätte [mm]f(x,y):=\wurzel{(x-3)^2}[/mm] dann wäre da [mm]f(x,y):=(x-3)[/mm] rausgekommen!
Hab ich echt übersehen, ich mach das jetzt nochmal!
Danke!
Grüße Thomas
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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
So hier gehts dann los:
Funktion: [mm] $f(x,y):=x^2+y^2$
[/mm]
[mm] Nebenbedingung:$(x-3)^2+(y-4)^2=1$ [/mm] Diese Stelle ich jetzt nach x um
01. [mm] $(x-3)^2+(y-4)^2=1$
[/mm]
02. [mm] $(y-4)^2=1-(x-3)^2$
[/mm]
03. [mm] $(y-4)^2=1-(x^2-6x+9)$
[/mm]
04. [mm] $(y-4)^2=1-x^2+6x-9$
[/mm]
05. [mm] $(y-4)^2=1-x^2+6x-9$
[/mm]
06. [mm] $(y-4)^2=-x^2+6x-8$
[/mm]
Fall I
07. [mm] $y-4=\wurzel{-x^2+6x-8}$
[/mm]
08. [mm] $y=\wurzel{-x^2+6x-8}+4$
[/mm]
Nun setze ich Fall I in [mm] $f(x,y):=x^2+y^2$ [/mm] ein:
09. [mm] $f(x,y):=x^2+(\wurzel{-x^2+6x-8}+4)^2$
[/mm]
10. [mm] $f(x,y):=x^2+(\wurzel{-x^2+6x-8}^2+8*\wurzel{-x^2+6x-8}+16)$
[/mm]
11. [mm] $f(x,y):=x^2+(-x^2+6x-8+8*\wurzel{-x^2+6x-8}+16)$
[/mm]
12. [mm] $f(x,y):=x^2-x^2+6x-8+8*\wurzel{-x^2+6x-8}+16$
[/mm]
13. [mm] $f(x,y):=6x-8+8*\wurzel{-x^2+6x-8}+16$
[/mm]
14. [mm] $f(x,y):=6x+8*\wurzel{-x^2+6x-8}+8$
[/mm]
Jetzt 14. Ableiten nach x:
15. [mm] $f'(x,y):=6+\bruch{1}{2}*8*\bruch{1}{\wurzel{-x^2+6x-8}}*(-2x+6)$
[/mm]
16. [mm] $f'(x,y):=6+4*\bruch{(-2x+6)}{\wurzel{-x^2+6x-8}}$
[/mm]
17. [mm] $\blue{f'(x,y):=}6+\bruch{(-8x+24)}{\wurzel{-x^2+6x-8}}$
[/mm]
Muss ich jetzt 17. Null setzen und die Nullstellen bestimmen?
Fall II
18. [mm] $y-4=-\wurzel{-x^2+6x-8}$
[/mm]
19. [mm] $y=-\wurzel{-x^2+6x-8}+4$
[/mm]
Nun setze ich Fall II in [mm] $f(x,y):=x^2+y^2$ [/mm] ein:
20. [mm] $f(x,y):=x^2+(-\wurzel{-x^2+6x-8}+4)^2$
[/mm]
21. [mm] $f(x,y):=x^2+(\wurzel{-x^2+6x-8}^2-8*\wurzel{-x^2+6x-8}+16)$
[/mm]
22. [mm] $f(x,y):=x^2+(-x^2+6x-8-8*\wurzel{-x^2+6x-8}+16)$
[/mm]
23. [mm] $f(x,y):=x^2-x^2+6x-8-8*\wurzel{-x^2+6x-8}+16$
[/mm]
24. [mm] $f(x,y):=6x-8-8*\wurzel{-x^2+6x-8}+16$
[/mm]
25. [mm] $f(x,y):=6x-8*\wurzel{-x^2+6x-8}+8$
[/mm]
Jetzt 25. Ableiten nach x:
26. [mm] $\blue{f'(x,y):=}6+\bruch{(8x-24)}{\wurzel{-x^2+6x-8}}$
[/mm]
Muss ich jetzt 26. Null setzen und die Nullstellen bestimmen?
Stimmt das soweit, bevor ich jetzt weitermache und es nicht stimmt.
Danke Grüße Thomas
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
> So hier gehts dann los:
>
> Funktion: [mm]f(x,y):=x^2+y^2[/mm]
>
> Nebenbedingung:[mm](x-3)^2+(y-4)^2=1[/mm] Diese Stelle ich jetzt
> nach x um
>
> 01. [mm](x-3)^2+(y-4)^2=1[/mm]
>
> 02. [mm](y-4)^2=1-(x-3)^2[/mm]
>
> 03. [mm](y-4)^2=1-(x^2-6x+9)[/mm]
>
> 04. [mm](y-4)^2=1-x^2+6x-9[/mm]
>
> 05. [mm](y-4)^2=1-x^2+6x-9[/mm]
>
> 06. [mm](y-4)^2=-x^2+6x-8[/mm]
>
> 07. [mm]y-4=\wurzel{-x^2+6x-8}[/mm] Müsste ich jetzt hier eine
> Fallunterscheidung machen und muss sie deshalb nicht
> machen, da der Kreis nur im I. Quadranten ist --> also x
> nur positive Werte hat?
Hallo,
Du mußt hier doch die Fallunterscheidung machen, also die negative Wurzel auch betrachten:
der Kreis ist ja keine Funktion, fast jedem x-Wert werden zwei y-Werte zugeordnet - unabhängig vom Quadranten.
>
> 08. [mm]y=\wurzel{-x^2+6x-8}+4[/mm]
>
>
>
> Nun setze ich sie ein in [mm]f(x,y):=x^2+y^2[/mm]:
>
> 09. [mm]f(x,y):=x^2+(\wurzel{-x^2+6x-8}+4)^2[/mm]
>
> Jetzt wieder bin. Formel:
>
> 10.
> [mm]f(x,y):=x^2+(\wurzel{-x^2+6x-8}^2+8*\wurzel{-x^2+6x-8}+16)[/mm]
>
> 11. [mm]f(x,y):=x^2+(-x^2+6x-8+8*\wurzel{-x^2+6x-8}+16)[/mm]
>
> 12. [mm]f(x,y):=x^2-x^2+6x-8+8*\wurzel{-x^2+6x-8}+16[/mm]
>
> 13. [mm]f(x,y):=6x-8+8*\wurzel{-x^2+6x-8}+16[/mm]
>
> 14. [mm]f(x,y):=6x+8*\wurzel{-x^2+6x-8}+8[/mm]
Von 13. zu 14. hast Du einen kl. Flüchtigkeitsfehler, die 8 hinten.
Gruß v. Angela
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Hi Angela,
ich hab jetzt die Fallunterscheidung noch eingebaut.
> >
> > 13. [mm]f(x,y):=6x\red{-8}+8*\wurzel{-x^2+6x-8}\red{+16}[/mm]
> >
> > 14. [mm]f(x,y):=6x+8*\wurzel{-x^2+6x-8}\green{+8}[/mm]
>
> Von 13. zu 14. hast Du einen kl. Flüchtigkeitsfehler, die 8
> hinten.
>
> Gruß v. Angela
Warum das +8 falsch sein soll verstehe ich nicht. Ich habe es noch mehrmals durchgerechnet/gelesen.
Ich habs mal farbig markiert.
So ab hier ist das fast das selbe nur die Fallunterscheidung eingebaut und noch Abgeleitet. Stimmt das so?
| Aufgabe | [Dateianhang nicht öffentlich]
Ich sollte vielleicht noch erwähnen, dass das eine Altklausuraufgabe ist, bei der ich KEIN TASCHENRECHNER verwenden darf.
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So hier gehts dann los:
Funktion: [mm] $f(x,y):=x^2+y^2$
[/mm]
[mm] Nebenbedingung:$(x-3)^2+(y-4)^2=1$ [/mm] Diese Stelle ich jetzt nach x um
01. [mm] $(x-3)^2+(y-4)^2=1$
[/mm]
02. [mm] $(y-4)^2=1-(x-3)^2$
[/mm]
03. [mm] $(y-4)^2=1-(x^2-6x+9)$
[/mm]
04. [mm] $(y-4)^2=1-x^2+6x-9$
[/mm]
05. [mm] $(y-4)^2=1-x^2+6x-9$
[/mm]
06. [mm] $(y-4)^2=-x^2+6x-8$
[/mm]
Fall I
07. [mm] $y-4=\wurzel{-x^2+6x-8}$
[/mm]
08. [mm] $y=\wurzel{-x^2+6x-8}+4$
[/mm]
Nun setze ich Fall I in [mm] $f(x,y):=x^2+y^2$ [/mm] ein:
09. [mm] $f(x,y):=x^2+(\wurzel{-x^2+6x-8}+4)^2$
[/mm]
10. [mm] $f(x,y):=x^2+(\wurzel{-x^2+6x-8}^2+8*\wurzel{-x^2+6x-8}+16)$
[/mm]
11. [mm] $f(x,y):=x^2+(-x^2+6x-8+8*\wurzel{-x^2+6x-8}+16)$
[/mm]
12. [mm] $f(x,y):=x^2-x^2+6x-8+8*\wurzel{-x^2+6x-8}+16$
[/mm]
13. [mm] $f(x,y):=6x-8+8*\wurzel{-x^2+6x-8}+16$
[/mm]
14. [mm] $f(x,y):=6x+8*\wurzel{-x^2+6x-8}+8$
[/mm]
Jetzt 14. Ableiten nach x:
15. [mm] $f'(x,y):=6+\bruch{1}{2}*8*\bruch{1}{\wurzel{-x^2+6x-8}}*(-2x+6)$
[/mm]
16. [mm] $f'(x,y):=6+4*\bruch{(-2x+6)}{\wurzel{-x^2+6x-8}}$
[/mm]
17. [mm] $\blue{f'(x,y):=}6+\bruch{(-8x+24)}{\wurzel{-x^2+6x-8}}$
[/mm]
Muss ich jetzt 17. Null setzen und die Nullstellen bestimmen?
Ich hab es mal mit nem Matheprogramm kontrolliert. Es stimmt bis hier hin.
Fall II
18. [mm] $y-4=-\wurzel{-x^2+6x-8}$
[/mm]
19. [mm] $y=-\wurzel{-x^2+6x-8}+4$
[/mm]
Nun setze ich Fall II in [mm] $f(x,y):=x^2+y^2$ [/mm] ein:
20. [mm] $f(x,y):=x^2+(-\wurzel{-x^2+6x-8}+4)^2$
[/mm]
21. [mm] $f(x,y):=x^2+(\wurzel{-x^2+6x-8}^2-8*\wurzel{-x^2+6x-8}+16)$
[/mm]
22. [mm] $f(x,y):=x^2+(-x^2+6x-8-8*\wurzel{-x^2+6x-8}+16)$
[/mm]
23. [mm] $f(x,y):=x^2-x^2+6x-8-8*\wurzel{-x^2+6x-8}+16$
[/mm]
24. [mm] $f(x,y):=6x-8-8*\wurzel{-x^2+6x-8}+16$
[/mm]
25. [mm] $f(x,y):=6x-8*\wurzel{-x^2+6x-8}+8$
[/mm]
Jetzt 25. Ableiten nach x:
26. [mm] $\blue{f'(x,y):=}6+\bruch{(8x-24)}{\wurzel{-x^2+6x-8}}$
[/mm]
Muss ich jetzt 26. Null setzen und die Nullstellen bestimmen?
Ich hab es mal mit nem Matheprogramm kontrolliert. Es stimmt bis hier hin.
Stimmt das soweit, bevor ich jetzt weitermache und es nicht stimmt.
Danke Grüße Thomas
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Hallo,
wg. der +8, die ich beanstandet hatte:
ich hatte da zu flüchtig geguckt, als ich den Flüchtigkeitsfehler anmerkte; ich hatte den den Faktor 8 vor der Wurzel alls Summand gelesen... Entschuldigung.
Offensichtlich hast Du Dich nicht allzusehr verwirren lassen.
Da Dein Mathematikprogramm und Du bzgl. der Ableitungen übereinstimmen, können wir die getrost als richtig betrachten, ohne daß ich mich mit meinen Künsten einbringe.
Ja, jetzt geht es mit dem Bestimmen der Extrema weiter, also =0 setzen, wie Du schon schriebst.
Eine Anmerkung noch: ab dem Zeitpunkt, zu welchem Du y=... in f(x,y) eingesetzt hast, würde ich nicht mehr f(x,y) schreiben, denn die Funktion hängt ja gar nicht mehr von y ab. Ich würde da dann f(x) schreiben, aber guck mal in Deinen Unterlagen nach, wie Ihr das handhabt.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | [Dateianhang nicht öffentlich]
Ich sollte vielleicht noch erwähnen, dass das eine Altklausuraufgabe ist, bei der ich KEIN TASCHENRECHNER verwenden darf.
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So hier gehts dann los:
Funktion: [mm] $f(x,y):=x^2+y^2$
[/mm]
[mm] Nebenbedingung:$(x-3)^2+(y-4)^2=1$ [/mm] Diese Stelle ich jetzt nach x um
01. [mm] $(x-3)^2+(y-4)^2=1$
[/mm]
02. [mm] $(y-4)^2=1-(x-3)^2$
[/mm]
03. [mm] $(y-4)^2=1-(x^2-6x+9)$
[/mm]
04. [mm] $(y-4)^2=1-x^2+6x-9$
[/mm]
05. [mm] $(y-4)^2=1-x^2+6x-9$
[/mm]
06. [mm] $(y-4)^2=-x^2+6x-8$
[/mm]
Fall I
07. [mm] $y-4=\wurzel{-x^2+6x-8}$
[/mm]
08. [mm] $y=\wurzel{-x^2+6x-8}+4$
[/mm]
Nun setze ich Fall I in [mm] $f(x,y):=x^2+y^2$ [/mm] ein:
09. [mm] $f(x,y):=x^2+(\wurzel{-x^2+6x-8}+4)^2$
[/mm]
10. [mm] $f(x,y):=x^2+(\wurzel{-x^2+6x-8}^2+8*\wurzel{-x^2+6x-8}+16)$
[/mm]
11. [mm] $f(x,y):=x^2+(-x^2+6x-8+8*\wurzel{-x^2+6x-8}+16)$
[/mm]
12. [mm] $f(x,y):=x^2-x^2+6x-8+8*\wurzel{-x^2+6x-8}+16$
[/mm]
13. [mm] $f(x,y):=6x-8+8*\wurzel{-x^2+6x-8}+16$
[/mm]
14. [mm] $f(x,y):=6x+8*\wurzel{-x^2+6x-8}+8$
[/mm]
15. [mm] $f'(x,y):=6+\bruch{1}{2}*8*\bruch{1}{\wurzel{-x^2+6x-8}}*(-2x+6)$
[/mm]
16. [mm] $f'(x,y):=6+4*\bruch{(-2x+6)}{\wurzel{-x^2+6x-8}}$
[/mm]
17. [mm] $\blue{f'(x,y):=}6+\bruch{(-8x+24)}{\wurzel{-x^2+6x-8}}$
[/mm]
Ab hier ist es neu:
17.1 [mm] $6+\bruch{(-8x+24)}{\wurzel{-x^2+6x-8}}$
[/mm]
17.2 [mm] $(24-8)^2=(-6*\wurzel{-x^2+6x-8})^2$
[/mm]
17.3 [mm] $576-384x+64x^2=36*(-x^2+6x-8)$
[/mm]
17.4 Umformen.
17.5 [mm] $x^2-6x+8,64=0$ [/mm] So ab hier wäre in der Klausur sende, da wir keinen Taschenrechner verwenden dürfen und somit solche Wurzeln ziehen ausgeschlossen ist.
17.5 [mm] $x_1=\bruch{18}{5}$ [/mm] und [mm] $x_2=\bruch{12}{5}$
[/mm]
Ich hab es mal mit nem Matheprogramm kontrolliert. Es stimmt bis hier hin.
Bis hier hin war es neu
Fall II
18. [mm] $y-4=-\wurzel{-x^2+6x-8}$
[/mm]
19. [mm] $y=-\wurzel{-x^2+6x-8}+4$
[/mm]
Nun setze ich Fall II in [mm] $f(x,y):=x^2+y^2$ [/mm] ein:
20. [mm] $f(x,y):=x^2+(-\wurzel{-x^2+6x-8}+4)^2$
[/mm]
21. [mm] $f(x,y):=x^2+(\wurzel{-x^2+6x-8}^2-8*\wurzel{-x^2+6x-8}+16)$
[/mm]
22. [mm] $f(x,y):=x^2+(-x^2+6x-8-8*\wurzel{-x^2+6x-8}+16)$
[/mm]
23. [mm] $f(x,y):=x^2-x^2+6x-8-8*\wurzel{-x^2+6x-8}+16$
[/mm]
24. [mm] $f(x,y):=6x-8-8*\wurzel{-x^2+6x-8}+16$
[/mm]
25. [mm] $f(x,y):=6x-8*\wurzel{-x^2+6x-8}+8$
[/mm]
Jetzt 25. Ableiten nach x:
26. [mm] $\blue{f'(x,y):=}6+\bruch{(8x-24)}{\wurzel{-x^2+6x-8}}$
[/mm]
Ab hier ist es neu:
26.1 Diese habe ich mit dem PC gelöst, da ich oben eh nicht mehr die Wurzel hätte ziehen können.
26.2 [mm] $x_1=\bruch{12}{5}$
[/mm]
Bis hier hin war es neu
Muss ich jetzt diese Ergebnisse in die Funktion einsetzen oder?
Danke
Grüße Thomas
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Jetzt macht mich eine Sache stutzig:
Du bekommst jetzt etwas anderes heraus als mit Lagrange.
Das dürfte ja nicht sein.
Hier oder da muß sich ein übersehener Rechenfehler eingeschlichen haben, ich werde gleich versuchen, der Sache auf den Grund zu gehen.
Es ist nicht schlimm. Das Prinzip stimmt, darauf kommt es an.
Gruß v. angela
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> 17.3 [mm]576-384x+64x^2=36*(-x^2+6x-8)[/mm]
>
> 17.4 Umformen.
ergibt [mm] 576-384x+64x^2=-36x^2+216x-288
[/mm]
<==> [mm] 100x^2-600x+864=0
[/mm]
<==> [mm] x^2-6x=-8.64
[/mm]
Und das kriegst Du ohne Taschenrechner hin.
Nicht verrückt machen lassen. Es ist lediglich ein winziger Rechenfehler.
Gruß v. Angela
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Hi Angela,
ich hab nochmal nachgesehen auf meinem Blatt hatte ich das richtig stehen habs falsch abgeschrieben!
Danke aber fürs nachsehen!
Was ich meine was ich nicht rechnen kann ist, dass ich nicht die p/q-formel auf [mm]x^2-6x=-8.64[/mm] anwenden kann,
da ich keine Wurlezn aus solchen "schießen" Zahlen im Kopf ziehen kann.
Oder habe ich mich bei der Aufgabe verrechnet und es kommt normalerweise etwas gerades heraus und nur aufgrund eines
Rechenfehlers den ich doch nicht gesehen habe, kommt dieses "schiefe" heraus?
Danke
Grüße Thomas
> > 17.3 [mm]576-384x+64x^2=36*(-x^2+6x-8)[/mm]
> >
> > 17.4 Umformen.
>
> ergibt [mm]576-384x+64x^2=-36x^2+216x-288[/mm]
>
> <==> [mm]100x^2-600x+864=0[/mm]
>
> <==> [mm]x^2-6x=-8.64[/mm]
>
> Und das kriegst Du ohne Taschenrechner hin.
>
> Nicht verrückt machen lassen. Es ist lediglich ein winziger
> Rechenfehler.
>
> Gruß v. Angela
>
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> Hi Angela,
>
> ich hab nochmal nachgesehen auf meinem Blatt hatte ich das
> richtig stehen habs falsch abgeschrieben!
>
> Danke aber fürs nachsehen!
>
>
> Was ich meine was ich nicht rechnen kann ist, dass ich
> nicht die p/q-formel auf [mm]x^2-6x=-8.64[/mm] anwenden kann,
> da ich keine Wurlezn aus solchen "schießen" Zahlen im Kopf
> ziehen kann.
So schief ist das nicht.
Ich löse solche Aufgaben immer mit quadratischer Ergänzung (weil ich mir die Formel nicht merken kann), da bekomme ich
[mm] x^2-6x=-8.64 [/mm]
<==> [mm] (x-3)^2=x^2-6x+9=0.36=\bruch{36}{100}
[/mm]
Daraus kann man doch gut die Wurzel ziehen!
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | [Dateianhang nicht öffentlich]
Diese Aufgabe möchte ich jetzt mit der 2.ten Möglichkeit "Lagrange" lösen.
Informiert habe ich mich hier |
Hi,
ich hab Lagrange noch nie gemacht (zumindest nicht wissentlich). Ich habe mich jetzt einmal "belesen" im Internet, in unseren Büchern "Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler" steht da nichts drin. In unseren Vorlesungsmitschriften hat er das nur erwähnt in 2 Sätzen aber nicht wirklich gemacht.
Ich möchte es trozdem versuchen, wenn das mich schneller oder sicherer zum Ergebnis führt, werde ich es zukünftig Anwenden.
Funktion: [mm] $f(x,y):=x^2+y^2$
[/mm]
[mm] Nebenbedingung:$(x-3)^2+(y-4)^2=1$ \Rightarrow $1-(x-3)^2-(y-4)^2$
[/mm]
Aufstellen der Lagrange-Funktion:
$L(x, y, [mm] \lambda)=(x^2+y^2)+(\lambda*(1-(x-3)^2-(y-4)^2))$
[/mm]
Jetzt leite ich partiell nach jeder Variablen ab und setze diese 0:
[mm] $L'(x)=2x-2*\lambda(x-3)\green{=0}$
[/mm]
[mm] $L'(y)=2y-2*\lambda(y-4)\green{=0}$
[/mm]
[mm] $L'(\lambda)=1-(x-3)^2-(y-4)^2\green{=0}$ [/mm] "ausmultipliziert" und zusammengefasst [mm] $\Rightarrow$ $L'(\lambda)=-x^2+6x-y^2+8y-24\green{=0}$
[/mm]
Ich hab die Lösungen nachgesehen mit nem Programm. Die stimmen. Auch die Ableitungen.
Stimmt das soweit mit Lagrange?
Grüße Thomas
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> ich hab Lagrange noch nie gemacht (zumindest nicht
> wissentlich).
Hallo,
ich glaube, "ausversehen" macht man das nicht...
Da in Deinem Profil WiWi steht, bin ich mir aber ziemlich sicher, daß Ihr das bald so tun sollt.
>
> Ich möchte es trozdem versuchen, wenn das mich schneller
> oder sicherer zum Ergebnis führt, werde ich es zukünftig
> Anwenden.
>
>
>
>
> Funktion: [mm]f(x,y):=x^2+y^2[/mm]
>
> Nebenbedingung:[mm](x-3)^2+(y-4)^2=1[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]1-(x-3)^2-(y-4)^2[/mm]
g(x,y)= [mm] (x-3)^2+(y-4)^2=1
[/mm]
>
>
> Aufstellen der Lagrange-Funktion:
>
> [mm]L(x, y, \lambda)=(x^2+y^2)+(\lambda*(1-(x-3)^2-(y-4)^2))[/mm]
>
>
>
>
> Jetzt leite ich partiell nach jeder Variablen ab und setze
> diese 0:
Ja, so geht das.
Da Dein Programm Dir zustimmt, rechne ich die Ableitungen nicht nach.
Jetzt mußt Du das entstandene GS lösen.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | [Dateianhang nicht öffentlich]
Diese Aufgabe möchte ich jetzt mit der 2.ten Möglichkeit "Lagrange" lösen.
Informiert habe ich mich hier |
Hi,
ich hab Lagrange noch nie gemacht (zumindest nicht wissentlich). Ich habe mich jetzt einmal "belesen" im Internet, in unseren Büchern "Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler" steht da nichts drin. In unseren Vorlesungsmitschriften hat er das nur erwähnt in 2 Sätzen aber nicht wirklich gemacht.
Ich möchte es trozdem versuchen, wenn das mich schneller oder sicherer zum Ergebnis führt, werde ich es zukünftig Anwenden.
Funktion: [mm] $f(x,y):=x^2+y^2$
[/mm]
[mm] Nebenbedingung:$(x-3)^2+(y-4)^2=1$ \Rightarrow $1-(x-3)^2-(y-4)^2$
[/mm]
Aufstellen der Lagrange-Funktion:
$L(x, y, [mm] \lambda)=(x^2+y^2)+(\lambda*(1-(x-3)^2-(y-4)^2))$
[/mm]
Jetzt leite ich partiell nach jeder Variablen ab und setze diese 0:
[mm] $L'(x)=2x-2*\lambda(x-3)\green{=0}$
[/mm]
[mm] $L'(y)=2y-2*\lambda(y-4)\green{=0}$
[/mm]
[mm] $L'(\lambda)=1-(x-3)^2-(y-4)^2\green{=0}$ [/mm] "ausmultipliziert" und zusammengefasst [mm] $\Rightarrow$ $L'(\lambda)=-x^2+6x-y^2+8y-24\green{=0}$
[/mm]
Ich hab die Lösungen nachgesehen mit nem Programm. Die stimmen. Auch die Ableitungen.
Ab hier gehts neu weiter
Ich poste die alten Beiträge immer noch mit in den neuen, so bleibt die Übersicht erhalten.
[mm] $2x-2*\lambda(x-3)\green{=0}$ $\Rightarrow$ $\red{x=}\bruch{3\lambda}{\lambda-1}$ [/mm] selbst geprüft mit Programm
[mm] $2y-2*\lambda(y-4)\green{=0}$ $\Rightarrow$ $\red{y=}\bruch{4\lambda}{\lambda-1}$ [/mm] selbst geprüft mit Programm
Jetzt setze ich [mm] $\red{x=}\bruch{3\lambda}{\lambda-1}$ [/mm] & [mm] $\red{y=}\bruch{4\lambda}{\lambda-1}$ [/mm] in [mm] $L'(\lambda)=-x^2+6x-y^2+8y-24\green{=0}$ [/mm] ein.
[mm] $-(\bruch{3\lambda}{\lambda-1})^2+6*(\bruch{3\lambda}{\lambda-1})-(\bruch{4\lambda}{\lambda-1})^2+8*(\bruch{4\lambda}{\lambda-1})-24\green{=0}$
[/mm]
[mm] $-\bruch{9\lambda^2}{(\lambda-1)^2}+\bruch{18\lambda}{(\lambda-1)}-\bruch{16\lambda^2}{(\lambda-1)^2}+\bruch{32\lambda}{\lambda-1}-24\green{=0}$
[/mm]
[mm] $-\bruch{25\lambda^2}{(\lambda-1)^2}+\bruch{18\lambda}{(\lambda-1)}+\bruch{32\lambda}{\lambda-1}-24\green{=0}$
[/mm]
[mm] $-\bruch{25\lambda^2}{(\lambda-1)^2}+\bruch{50\lambda}{(\lambda-1)}-24\green{=0}$
[/mm]
Ab hier hab ich es auf einem Blatt Papier weitergerechnet. Ich vermute mal nicht dass das stimmt was ich getan habe.
Die Vermutung erwies sich als richtig. Das was ich auf dem Blatt gerechnet habe ist absoluter misst! Unter dem Blatt geht es mit der richtigen Lösung weiter!
Ich würde aber gerne wissen, warum das absoluter Misst ist was ich da auf dem Blatt gemacht habe? Also ob es an einem Rechnenfehler liegt oder daran, dass ich nicht einfach um die Nenner der beiden Brüche anzugleichen mit [mm] $(\lambda-1)$ [/mm] multiplizieren kann (beide Brüche) um dann weiterrechnen zu können.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich habe mir doch nochmal gedanken gemacht, weil es mir keine Ruhe gelassen hat und ich habe folgendes gemacht:
[mm] $-\bruch{25\lambda^2}{(\lambda-1)^2}+\bruch{50\lambda}{(\lambda-1)}-24\green{=0}$
[/mm]
[mm] $\bruch{-25\lambda^2}{(\lambda-1)^2}+\bruch{50\lambda}{(\lambda-1)}-24\green{=0}$
[/mm]
[mm] $\bruch{-25\lambda^2}{(\lambda-1)^2}+\bruch{50\lambda*(\lambda-1)}{(\lambda-1)*(\lambda-1)}-24\green{=0}$
[/mm]
[mm] $\bruch{-25\lambda^2}{(\lambda-1)^2}+\bruch{50\lambda*(\lambda-1)}{(\lambda-1)^2}-24\green{=0}$
[/mm]
[mm] $\bruch{-25\lambda^2+50*\lambda^2-50\lambda}{(\lambda-1)^2}-24\green{=0}$
[/mm]
[mm] $25\lambda^2-50\lambda-24\lambda^2+48\lambda-24\green{=0}$
[/mm]
[mm] $\lambda^2-2\lambda-24\green{=0}$ [/mm] Habs mit Programm überprüft und stimmt.
Jetzt p/q Formel anwenden und dann komme ich auf die richtigen Ergebnisse:
[mm] $\lambda_1=-4$
[/mm]
[mm] $\lambda_2=6$
[/mm]
Was muss ich jetzt machen???
Danke
Grüße Thomas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Aufstellen der Lagrange-Funktion:
>
> [mm]L(x, y, \lambda)=(x^2+y^2)+(\lambda*(1-(x-3)^2-(y-4)^2))[/mm]
>
> [mm]L'(x)=2x-2*\lambda(x-3)\green{=0}[/mm]
>
> [mm]L'(y)=2y-2*\lambda(y-4)\green{=0}[/mm]
>
> [mm]L'(\lambda)=1-(x-3)^2-(y-4)^2\green{=0}[/mm] "ausmultipliziert"
> und zusammengefasst [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]L'(\lambda)=-x^2+6x-y^2+8y-24\green{=0}[/mm]
>
>
>
> Ab hier gehts neu weiter
>
> Ich poste die alten Beiträge immer noch mit in den neuen,
> so bleibt die Übersicht erhalten.
Das ist weise - und erleichtert Helfern, die nicht von Anfang an dabei sind, den Einstieg.
>
>
> [mm]2x-2*\lambda(x-3)\green{=0}[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]\red{x=}\bruch{3\lambda}{\lambda-1}[/mm] selbst geprüft mit
> Programm
>
> [mm]2y-2*\lambda(y-4)\green{=0}[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]\red{y=}\bruch{4\lambda}{\lambda-1}[/mm] selbst geprüft mit
> Programm
>
>
> Jetzt setze ich [mm]\red{x=}\bruch{3\lambda}{\lambda-1}[/mm] &
> [mm]\red{y=}\bruch{4\lambda}{\lambda-1}[/mm] in
> [mm]L'(\lambda)=-x^2+6x-y^2+8y-24\green{=0}[/mm] ein.
>
>
> [mm]-(\bruch{3\lambda}{\lambda-1})^2+6*(\bruch{3\lambda}{\lambda-1})-(\bruch{4\lambda}{\lambda-1})^2+8*(\bruch{4\lambda}{\lambda-1})-24\green{=0}[/mm]
>
>
> [mm]-\bruch{9\lambda^2}{(\lambda-1)^2}+\bruch{18\lambda}{(\lambda-1)}-\bruch{16\lambda^2}{(\lambda-1)^2}+\bruch{32\lambda}{\lambda-1}-24\green{=0}[/mm]
>
>
> [mm]-\bruch{25\lambda^2}{(\lambda-1)^2}+\bruch{18\lambda}{(\lambda-1)}+\bruch{32\lambda}{\lambda-1}-24\green{=0}[/mm]
>
>
> [mm]-\bruch{25\lambda^2}{(\lambda-1)^2}+\bruch{50\lambda}{(\lambda-1)}-24\green{=0}[/mm]
Bis hierher ist es richtig.
[
> [mm]\lambda^2-2\lambda-24\green{=0}[/mm] Habs mit Programm überprüft
> und stimmt.
>
>
> Jetzt p/q Formel anwenden und dann komme ich auf die
> richtigen Ergebnisse:
>
> [mm]\lambda_1=4[/mm]
> [mm]\lambda_2=6[/mm]
Genau.
Als nächstes brauchst Du wieder Deine partiellen Ableitungen.
Denn Dein Ziel ist ja, die stationären Punkte (x/y) auszurechnen.
Nimm Dir zunächst [mm] \lambda_1=4 [/mm] vor.
Hiermit gehst Du in
> [mm]L'(x)=2x-2*\lambda(x-3)\green{=0}[/mm]
>
> [mm]L'(y)=2y-2*\lambda(y-4)\green{=0}[/mm],
also einsetzen.
Du erhältst zwei Gleichungen mit zwei Variablen x, y, deren mögliche Lösung(en) Du nun ermitteln mußt.
Ebenso dann mit [mm] \lambda_2.
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | [Dateianhang nicht öffentlich]
Diese Aufgabe möchte ich jetzt mit der 2.ten Möglichkeit "Lagrange" lösen.
Informiert habe ich mich hier |
Hi,
ich hab Lagrange noch nie gemacht (zumindest nicht wissentlich). Ich habe mich jetzt einmal "belesen" im Internet, in unseren Büchern "Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler" steht da nichts drin. In unseren Vorlesungsmitschriften hat er das nur erwähnt in 2 Sätzen aber nicht wirklich gemacht.
Ich möchte es trozdem versuchen, wenn das mich schneller oder sicherer zum Ergebnis führt, werde ich es zukünftig Anwenden.
Funktion: [mm] $f(x,y):=x^2+y^2$
[/mm]
[mm] Nebenbedingung:$(x-3)^2+(y-4)^2=1$ \Rightarrow $1-(x-3)^2-(y-4)^2$
[/mm]
Aufstellen der Lagrange-Funktion:
$L(x, y, [mm] \lambda)=(x^2+y^2)+(\lambda*(1-(x-3)^2-(y-4)^2))$
[/mm]
Jetzt leite ich partiell nach jeder Variablen ab und setze diese 0:
[mm] $L'(x)=2x-2*\lambda(x-3)\green{=0}$
[/mm]
[mm] $L'(y)=2y-2*\lambda(y-4)\green{=0}$
[/mm]
[mm] $L'(\lambda)=1-(x-3)^2-(y-4)^2\green{=0}$ [/mm] "ausmultipliziert" und zusammengefasst [mm] $\Rightarrow$ $L'(\lambda)=-x^2+6x-y^2+8y-24\green{=0}$
[/mm]
Ich hab die Lösungen nachgesehen mit nem Programm. Die stimmen. Auch die Ableitungen.
[mm] $2x-2*\lambda(x-3)\green{=0}$ $\Rightarrow$ $\red{x=}\bruch{3\lambda}{\lambda-1}$ [/mm] selbst geprüft mit Programm
[mm] $2y-2*\lambda(y-4)\green{=0}$ $\Rightarrow$ $\red{y=}\bruch{4\lambda}{\lambda-1}$ [/mm] selbst geprüft mit Programm
Jetzt setze ich [mm] $\red{x=}\bruch{3\lambda}{\lambda-1}$ [/mm] & [mm] $\red{y=}\bruch{4\lambda}{\lambda-1}$ [/mm] in [mm] $L'(\lambda)=-x^2+6x-y^2+8y-24\green{=0}$ [/mm] ein.
[mm] $-(\bruch{3\lambda}{\lambda-1})^2+6*(\bruch{3\lambda}{\lambda-1})-(\bruch{4\lambda}{\lambda-1})^2+8*(\bruch{4\lambda}{\lambda-1})-24\green{=0}$
[/mm]
[mm] $-\bruch{9\lambda^2}{(\lambda-1)^2}+\bruch{18\lambda}{(\lambda-1)}-\bruch{16\lambda^2}{(\lambda-1)^2}+\bruch{32\lambda}{\lambda-1}-24\green{=0}$
[/mm]
[mm] $-\bruch{25\lambda^2}{(\lambda-1)^2}+\bruch{18\lambda}{(\lambda-1)}+\bruch{32\lambda}{\lambda-1}-24\green{=0}$
[/mm]
[mm] $-\bruch{25\lambda^2}{(\lambda-1)^2}+\bruch{50\lambda}{(\lambda-1)}-24\green{=0}$
[/mm]
[mm] $-\bruch{25\lambda^2}{(\lambda-1)^2}+\bruch{50\lambda}{(\lambda-1)}-24\green{=0}$
[/mm]
[mm] $\bruch{-25\lambda^2}{(\lambda-1)^2}+\bruch{50\lambda}{(\lambda-1)}-24\green{=0}$
[/mm]
[mm] $\bruch{-25\lambda^2}{(\lambda-1)^2}+\bruch{50\lambda*(\lambda-1)}{(\lambda-1)*(\lambda-1)}-24\green{=0}$
[/mm]
[mm] $\bruch{-25\lambda^2}{(\lambda-1)^2}+\bruch{50\lambda*(\lambda-1)}{(\lambda-1)^2}-24\green{=0}$
[/mm]
[mm] $\bruch{-25\lambda^2+50*\lambda^2-50\lambda}{(\lambda-1)^2}-24\green{=0}$
[/mm]
[mm] $25\lambda^2-50\lambda-24\lambda^2+48\lambda-24\green{=0}$
[/mm]
[mm] $\lambda^2-2\lambda-24\green{=0}$ [/mm] Habs mit Programm überprüft und stimmt.
Jetzt p/q Formel anwenden und dann komme ich auf die richtigen Ergebnisse:
[mm] $\lambda_1=-4$
[/mm]
[mm] $\lambda_2=6$
[/mm]
Ab hier gehts neu weiter
Ich setze jetzt zuerst [mm] $\lambda_1=-4$ [/mm] in [mm] $\red{x=}\bruch{3\lambda}{\lambda-1}$ [/mm] und [mm] $\red{y=}\bruch{4\lambda}{\lambda-1}$ [/mm] ein.
Lösung: [mm] $x=\bruch{12}{5}$, $y=\bruch{16}{5}$ [/mm] (neu errechnet)
Ich setze jetzt zuerst [mm] $\lambda_2=6$ [/mm] in [mm] $\red{x=}\bruch{3\lambda}{\lambda-1}$ [/mm] und [mm] $\red{y=}\bruch{4\lambda}{\lambda-1}$ [/mm] ein.
Lösung: [mm] $x=\bruch{18}{5}$, $y=\bruch{24}{5}$ [/mm]
Was muss ich jetzt machen??? Ich muss doch jetzt mithilfe der zweiten Ableitung auf Minima oder Maxima prüfen. Aber ich weiß nicht, wo ich jetzt die beiden Ergebnisse einsetzen muss. In die normale Funktion [mm] $f(x,y):=x^2+y^2$ [/mm] und dann bis zur zweiten Ableitung ableiten?
Danke
Grüße Thomas
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> Ich setze jetzt zuerst [mm]\lambda_1=4[/mm] in
> [mm]2x-2*\lambda(x-3)\green{=0}[/mm] und [mm]2y-2*\lambda(y-4)\green{=0}[/mm]
> ein.
>
> Lösung: [mm]x=4[/mm], [mm]y=\bruch{16}{3}[/mm] (Kontrolliert mit PC)
>
>
> Ich setze jetzt zuerst [mm]\lambda_2=6[/mm] in
> [mm]2x-2*\lambda(x-3)\green{=0}[/mm] und [mm]2y-2*\lambda(y-4)\green{=0}[/mm]
> ein.
>
> Lösung: [mm]x=\bruch{18}{5}[/mm], [mm]y=\bruch{24}{5}[/mm] (Kontrolliert mit
> PC)
>
>
>
>
> Was muss ich jetzt machen???
Kommt drauf an...
2.Ableitung, das würde hier ja auf die Hessematrix und deren Definitheit hinauslaufen. Müßt Ihr das? Die WiWis im Forum müssen es meist nicht!
Ich würde jetzt die beiden errechneten Punkte in f(x,y) einsetzen und kurzerhand nachgucken, wo der Wert groß ist und wo klein.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:26 Sa 07.07.2007 | | Autor: | KnockDown |
Hi Angela,
ja also wir hatten die Hessematrix und deren Definitheit. Dann werde ich das mal machen :)
Also ich werde beide Lösungen mal durchgehen :)
Danke!
Grüße Thomas
>
> > Ich setze jetzt zuerst [mm]\lambda_1=4[/mm] in
> > [mm]2x-2*\lambda(x-3)\green{=0}[/mm] und [mm]2y-2*\lambda(y-4)\green{=0}[/mm]
> > ein.
> >
> > Lösung: [mm]x=4[/mm], [mm]y=\bruch{16}{3}[/mm] (Kontrolliert mit PC)
> >
> >
> > Ich setze jetzt zuerst [mm]\lambda_2=6[/mm] in
> > [mm]2x-2*\lambda(x-3)\green{=0}[/mm] und [mm]2y-2*\lambda(y-4)\green{=0}[/mm]
> > ein.
> >
> > Lösung: [mm]x=\bruch{18}{5}[/mm], [mm]y=\bruch{24}{5}[/mm] (Kontrolliert mit
> > PC)
> >
> >
> >
> >
> > Was muss ich jetzt machen???
>
> Kommt drauf an...
>
> 2.Ableitung, das würde hier ja auf die Hessematrix und
> deren Definitheit hinauslaufen. Müßt Ihr das? Die WiWis im
> Forum müssen es meist nicht!
>
> Ich würde jetzt die beiden errechneten Punkte in f(x,y)
> einsetzen und kurzerhand nachgucken, wo der Wert groß ist
> und wo klein.
>
> Gruß v. Angela
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> Hi Angela,
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> ja also wir hatten die Hessematrix und deren Definitheit.
> Dann werde ich das mal machen :)
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> Also ich werde beide Lösungen mal durchgehen :)
Zur Übung und Beruhigung kannst Du das machen, und unter diesem Aspekt ist es sinnvoll.
Aber ansonsten es ist verrückt, das zu tun. Denn durch Einsetzen hast Du die Frage sofort beantwortet. Klausurtauglich beantwortet.
Wenn in der Klausur nicht ausdrücklich die Hessematrix gefordert ist, reicht der einfache Weg. Er liefert genau die Erkenntnisse, die Du willst - und er ist nicht zeitaufwendig.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | [Dateianhang nicht öffentlich]
Diese Aufgabe möchte ich jetzt mit der 2.ten Möglichkeit "Lagrange" lösen.
Informiert habe ich mich hier |
Hi,
ich hab Lagrange noch nie gemacht (zumindest nicht wissentlich). Ich habe mich jetzt einmal "belesen" im Internet, in unseren Büchern "Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler" steht da nichts drin. In unseren Vorlesungsmitschriften hat er das nur erwähnt in 2 Sätzen aber nicht wirklich gemacht.
Ich möchte es trozdem versuchen, wenn das mich schneller oder sicherer zum Ergebnis führt, werde ich es zukünftig Anwenden.
Funktion: [mm] $f(x,y):=x^2+y^2$
[/mm]
[mm] Nebenbedingung:$(x-3)^2+(y-4)^2=1$ \Rightarrow $1-(x-3)^2-(y-4)^2$
[/mm]
Aufstellen der Lagrange-Funktion:
$L(x, y, [mm] \lambda)=(x^2+y^2)+(\lambda*(1-(x-3)^2-(y-4)^2))$
[/mm]
Jetzt leite ich partiell nach jeder Variablen ab und setze diese 0:
[mm] $L'(x)=2x-2*\lambda(x-3)\green{=0}$
[/mm]
[mm] $L'(y)=2y-2*\lambda(y-4)\green{=0}$
[/mm]
[mm] $L'(\lambda)=1-(x-3)^2-(y-4)^2\green{=0}$ [/mm] "ausmultipliziert" und zusammengefasst [mm] $\Rightarrow$ $L'(\lambda)=-x^2+6x-y^2+8y-24\green{=0}$
[/mm]
Ich hab die Lösungen nachgesehen mit nem Programm. Die stimmen. Auch die Ableitungen.
[mm] $2x-2*\lambda(x-3)\green{=0}$ $\Rightarrow$ $\red{x=}\bruch{3\lambda}{\lambda-1}$ [/mm] selbst geprüft mit Programm
[mm] $2y-2*\lambda(y-4)\green{=0}$ $\Rightarrow$ $\red{y=}\bruch{4\lambda}{\lambda-1}$ [/mm] selbst geprüft mit Programm
Jetzt setze ich [mm] $\red{x=}\bruch{3\lambda}{\lambda-1}$ [/mm] & [mm] $\red{y=}\bruch{4\lambda}{\lambda-1}$ [/mm] in [mm] $L'(\lambda)=-x^2+6x-y^2+8y-24\green{=0}$ [/mm] ein.
[mm] $-(\bruch{3\lambda}{\lambda-1})^2+6*(\bruch{3\lambda}{\lambda-1})-(\bruch{4\lambda}{\lambda-1})^2+8*(\bruch{4\lambda}{\lambda-1})-24\green{=0}$
[/mm]
[mm] $-\bruch{9\lambda^2}{(\lambda-1)^2}+\bruch{18\lambda}{(\lambda-1)}-\bruch{16\lambda^2}{(\lambda-1)^2}+\bruch{32\lambda}{\lambda-1}-24\green{=0}$
[/mm]
[mm] $-\bruch{25\lambda^2}{(\lambda-1)^2}+\bruch{18\lambda}{(\lambda-1)}+\bruch{32\lambda}{\lambda-1}-24\green{=0}$
[/mm]
[mm] $-\bruch{25\lambda^2}{(\lambda-1)^2}+\bruch{50\lambda}{(\lambda-1)}-24\green{=0}$
[/mm]
[mm] $-\bruch{25\lambda^2}{(\lambda-1)^2}+\bruch{50\lambda}{(\lambda-1)}-24\green{=0}$
[/mm]
[mm] $\bruch{-25\lambda^2}{(\lambda-1)^2}+\bruch{50\lambda}{(\lambda-1)}-24\green{=0}$
[/mm]
[mm] $\bruch{-25\lambda^2}{(\lambda-1)^2}+\bruch{50\lambda*(\lambda-1)}{(\lambda-1)*(\lambda-1)}-24\green{=0}$
[/mm]
[mm] $\bruch{-25\lambda^2}{(\lambda-1)^2}+\bruch{50\lambda*(\lambda-1)}{(\lambda-1)^2}-24\green{=0}$
[/mm]
[mm] $\bruch{-25\lambda^2+50*\lambda^2-50\lambda}{(\lambda-1)^2}-24\green{=0}$
[/mm]
[mm] $25\lambda^2-50\lambda-24\lambda^2+48\lambda-24\green{=0}$
[/mm]
[mm] $\lambda^2-2\lambda-24\green{=0}$ [/mm] Habs mit Programm überprüft und stimmt.
Jetzt p/q Formel anwenden und dann komme ich auf die richtigen Ergebnisse:
[mm] $\lambda_1=-4$
[/mm]
[mm] $\lambda_2=6$
[/mm]
Ich setze jetzt zuerst [mm] $\lambda_1=-4$ [/mm] in [mm] $\red{x=}\bruch{3\lambda}{\lambda-1}$ [/mm] und [mm] $\red{y=}\bruch{4\lambda}{\lambda-1}$ [/mm] ein.
Lösung: [mm] $x=\bruch{12}{5}$, $y=\bruch{16}{5}$ [/mm] (neu errechnet)
Ich setze jetzt zuerst [mm] $\lambda_2=6$ [/mm] in [mm] $\red{x=}\bruch{3\lambda}{\lambda-1}$ [/mm] und [mm] $\red{y=}\bruch{4\lambda}{\lambda-1}$ [/mm] ein.
Lösung: [mm] $x=\bruch{18}{5}$, $y=\bruch{24}{5}$
[/mm]
Ab hier gehts neu weiter
Ich möchte jetzt bestimmen welche der Puntke Maxima / Minima darstellen:
1. Möglichkeit, einfach in die Funktion [mm] $f(x,y):=x^2+y^2$ [/mm] einsetzen:
a) [mm] $x=\bruch{12}{5}$, $y=\bruch{16}{5}$ \Rightarrow $f(x,y):=(\bruch{12}{5})^2+(\bruch{16}{5})^2=16$ [/mm] Minima
b) [mm] $x=\bruch{18}{5}$, $y=\bruch{24}{5}$ \Rightarrow $f(x,y):=(\bruch{18}{5})^2+(\bruch{24}{5})^2=36$ [/mm] Maxima
2. Möglichkeit, jetzt möchte ich das über die Hesse-Matrix machen, da das unser Dozent so wünscht:
Wir haben in der Vorlesung ein einziges Beispiel zu eine Funktion gemacht, bei der wir die Maxima/Minima bestimmen sollten.
Dort haben wir zuerst den Gradienten gebildet (sozusagen das selbe wie die erste Ableitung), dann haben wir die "kritschen Stellen", also die Nullstellen bestimmt (was ich oben auch gemacht habe). Dann haben wir die Hessematrix aufgestellt (sozusagen die zweite Ableitung) und haben nachgesehen ob sie positiv oder negativ definit ist um sagen zu können, ob es sich um ein Maxima oder Minima handelt. Ich werde unten mal das gescannte Beispiel posten, dass ihr euch mal ansehen könnt, was wir genau gemacht haben, falls ich mich unverständlich / falsch ausgedrückt habe. Ich habe weiter unten auch 2 Fragen, bei denen ich "Verständnisprobleme" habe.
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Jetzt habe ich noch zwei Fragen dazu:
Ich habe die Frage "Wie findet man Maxima von f" grün umrandet. Die Antwort dazu lautet "Man bestimmt das Minimum von -f". Genau hier verstehe ich das nicht so wirklich. Ich weiß was wir gemacht haben. Wenn man sich die Folgeseite ansieht, haben wir die Funktion mit (-1) multipliziert, davon den Gradient (1. Ableitung), dann die kritischen Punkte bestimmt (Nullstellen) und im Anschluss die Hessematrix aufgestellt. 1. Wenn ich die Minima der Funktion in dem Beispiel hätte bestimmen wollen, hätte ich dann die Funktion NICHT mit (-1) multilpiziert? Warum muss man bei den Maxima die Funktion mit (-1) multiplizieren?
Die entscheidende Frage: Ich habe jetzt irgendwie keine Ahnung wie ich das ganze auf meine Aufgabe anwenden kann. Bei mir würde die Hesse-Matrix genauso aussehen wie in dem Beispiel. Jedoch verstehe ich nicht, wie ich auf meine Punkte prüfe. Da bräuchte ich hilfe.
Danke
Grüße Thomas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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Hallo,
wenden wir uns also jetzt vorsichtig der Hessematrix zu.
Deiner Vorlesungsmitschrift entnehme ich, daß Ihr nur Funktionen mit max. zwei Variablen behandelt, so daß wir uns auf die Betrachtug dieses Falls beschränken können.
Über die Sache mit dem -f brauchst Du Dir im Moment keine weiteren Gedanken mache.
Das Rezept für die Bestimmung der Extremwerte von Funktionen ohne Nebenbedingung:
1.zunächst die kritischen Punkte bestimmen.
Das macht man, indem man den Gradienten =0 setzt.
2. Dann die Matrix der zweiten partiellen Ableitungen, die Hessematrix, aufstellen.
Wenn man es richtig gemacht hat, ist das eine symmetrische Matrix.
3. Die Koordinaten des kritischen Punktes einsetzen und die Matrix auf Definitheit prüfen.
Ist sie positiv definit, so hat man ein Minimum.
Ist sie negativ definit, so hat man ein Maximum.
4. Die Definitheit einer symmetrischen 2x2 Matrix kann man so prüfen (Hurwitz-Kriterium):
Ist die Determinante > 0 (echt größer!) UND das Element links oben auch, so ist sie positiv definit.
Ist die Determinante >0 und das Element links oben < 0, so ist sie negativ definit.
Bem.: es gibt Matrizen, die weder pos. noch neg. definit sind. Aber höchstwahrscheinlich nicht in Deiner Klausur...
Zu der in diesem Thread bearbeiteten Aufgabe:
Ich war etwas gedankenlos: die Hessematrix können wir hier NICHT gebrauchen, denn es handelt sich um die Bestimmung von Extremwerten unter einer Nebenbedingung.
Wenn Du mit Lagrange gearbeitet hast, prüfst Du durch Einsetzen, welches das Minimum und welches das Maximum ist.
Hast Du den Ansatz gewählt, in welchem Du das Problem zurückführst auf die Untersuchung einer Funktion, die nur von einer Variablen abhängt, kannst Du es mit der 2. Ableitung machen wie aus der Schule bekannt.
Wenn Du die Hessesache gerne üben möchtest, schau nach einer anderen Aufgabe - mach dafür aber ggf. einen anderen Thread auf.
Gruß v. Angela
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Diese Aufgabe möchte ich jetzt mit der 2.ten Möglichkeit
> "Lagrange" lösen.
>
>
> Informiert habe ich mich
> hier
>
> Hi,
>
> ich hab Lagrange noch nie gemacht (zumindest nicht
> wissentlich). Ich habe mich jetzt einmal "belesen" im
> Internet, in unseren Büchern "Mathematik für
> Wirtschaftswissenschaftler" steht da nichts drin. In
> unseren Vorlesungsmitschriften hat er das nur erwähnt in 2
> Sätzen aber nicht wirklich gemacht.
>
> Ich möchte es trozdem versuchen, wenn das mich schneller
> oder sicherer zum Ergebnis führt, werde ich es zukünftig
> Anwenden.
>
>
>
>
> Funktion: [mm]f(x,y):=x^2+y^2[/mm]
>
> Nebenbedingung:[mm](x-3)^2+(y-4)^2=1[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]1-(x-3)^2-(y-4)^2[/mm]
>
>
>
>
> Aufstellen der Lagrange-Funktion:
>
> [mm]L(x, y, \lambda)=(x^2+y^2)+(\lambda*(1-(x-3)^2-(y-4)^2))[/mm]
>
>
>
>
> Jetzt leite ich partiell nach jeder Variablen ab und setze
> diese 0:
>
> [mm]L'(x)=2x-2*\lambda(x-3)\green{=0}[/mm]
>
> [mm]L'(y)=2y-2*\lambda(y-4)\green{=0}[/mm]
>
> [mm]L'(\lambda)=1-(x-3)^2-(y-4)^2\green{=0}[/mm] "ausmultipliziert"
> und zusammengefasst [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]L'(\lambda)=-x^2+6x-y^2+8y-24\green{=0}[/mm]
>
>
> Ich hab die Lösungen nachgesehen mit nem Programm. Die
> stimmen. Auch die Ableitungen.
>
>
>
>
>
> [mm]2x-2*\lambda(x-3)\green{=0}[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]\red{x=}\bruch{3\lambda}{\lambda-1}[/mm] selbst geprüft mit
> Programm
>
> [mm]2y-2*\lambda(y-4)\green{=0}[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]\red{y=}\bruch{4\lambda}{\lambda-1}[/mm] selbst geprüft mit
> Programm
>
>
> Jetzt setze ich [mm]\red{x=}\bruch{3\lambda}{\lambda-1}[/mm] &
> [mm]\red{y=}\bruch{4\lambda}{\lambda-1}[/mm] in
> [mm]L'(\lambda)=-x^2+6x-y^2+8y-24\green{=0}[/mm] ein.
>
>
> [mm]-(\bruch{3\lambda}{\lambda-1})^2+6*(\bruch{3\lambda}{\lambda-1})-(\bruch{4\lambda}{\lambda-1})^2+8*(\bruch{4\lambda}{\lambda-1})-24\green{=0}[/mm]
>
>
> [mm]-\bruch{9\lambda^2}{(\lambda-1)^2}+\bruch{18\lambda}{(\lambda-1)}-\bruch{16\lambda^2}{(\lambda-1)^2}+\bruch{32\lambda}{\lambda-1}-24\green{=0}[/mm]
>
>
> [mm]-\bruch{25\lambda^2}{(\lambda-1)^2}+\bruch{18\lambda}{(\lambda-1)}+\bruch{32\lambda}{\lambda-1}-24\green{=0}[/mm]
>
>
> [mm]-\bruch{25\lambda^2}{(\lambda-1)^2}+\bruch{50\lambda}{(\lambda-1)}-24\green{=0}[/mm]
>
>
>
> [mm]-\bruch{25\lambda^2}{(\lambda-1)^2}+\bruch{50\lambda}{(\lambda-1)}-24\green{=0}[/mm]
>
> [mm]\bruch{-25\lambda^2}{(\lambda-1)^2}+\bruch{50\lambda}{(\lambda-1)}-24\green{=0}[/mm]
>
> [mm]\bruch{-25\lambda^2}{(\lambda-1)^2}+\bruch{50\lambda*(\lambda-1)}{(\lambda-1)*(\lambda-1)}-24\green{=0}[/mm]
>
> [mm]\bruch{-25\lambda^2}{(\lambda-1)^2}+\bruch{50\lambda*(\lambda-1)}{(\lambda-1)^2}-24\green{=0}[/mm]
>
> [mm]\bruch{-25\lambda^2+50*\lambda^2-50\lambda}{(\lambda-1)^2}-24\green{=0}[/mm]
>
> [mm]25\lambda^2-50\lambda-24\lambda^2+48\lambda-24\green{=0}[/mm]
>
> [mm]\lambda^2-2\lambda-24\green{=0}[/mm] Habs mit Programm überprüft
> und stimmt.
>
>
> Jetzt p/q Formel anwenden und dann komme ich auf die
> richtigen Ergebnisse:
>
> [mm]\lambda_1=-4[/mm]
> [mm]\lambda_2=6[/mm]
>
>
>
>
> Ich setze jetzt zuerst [mm]\lambda_1=-4[/mm] in
> [mm]\red{x=}\bruch{3\lambda}{\lambda-1}[/mm] und
> [mm]\red{y=}\bruch{4\lambda}{\lambda-1}[/mm] ein.
>
> Lösung: [mm]x=\bruch{12}{5}[/mm], [mm]y=\bruch{16}{5}[/mm] (neu errechnet)
>
>
> Ich setze jetzt zuerst [mm]\lambda_2=6[/mm] in
> [mm]\red{x=}\bruch{3\lambda}{\lambda-1}[/mm] und
> [mm]\red{y=}\bruch{4\lambda}{\lambda-1}[/mm] ein.
>
> Lösung: [mm]x=\bruch{18}{5}[/mm], [mm]y=\bruch{24}{5}[/mm]
>
>
>
>
>
>
>
>
>
> Ich möchte jetzt bestimmen welche der Puntke Maxima /
> Minima darstellen:
>
> 1. Möglichkeit, einfach in die Funktion [mm]f(x,y):=x^2+y^2[/mm]
> einsetzen:
>
> a) [mm]x=\bruch{12}{5}[/mm], [mm]y=\bruch{16}{5}[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]f(x,y):=(\bruch{12}{5})^2+(\bruch{16}{5})^2=16[/mm] Minima
>
>
> b) [mm]x=\bruch{18}{5}[/mm], [mm]y=\bruch{24}{5}[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]f(x,y):=(\bruch{18}{5})^2+(\bruch{24}{5})^2=36[/mm] Maxima
>
Was hätte ich gemacht wenn ich 3 Extrempunkte gefunden hätte wie z. B. 16, 20, 36. Dann wäre 16 minima, 36 maxima und was wäre dann 20?
Danke
Grüße Thomas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:51 Sa 28.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Thomas!
Dann wäre es mal wieder Zeit für die Hesse-Matrix gewesen, um über die Art der Extrema zu entscheiden.
Gruß
Loddar
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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hi Loddar,
also würde ich den Gradienten der Funktion $ [mm] f(x,y):=x^2+y^2 [/mm] $ bilden. Aus diesem würde ich dann die Hesse-Matrix aufstellen.
Dort würde ich dann nach und nach die Paare der gefunden Extrema einsetzen und mithilfe der Determinante auf ihre Definitheit prüfen.
Stimmt das vorgehen?
Was wäre, wenn von den "3 gedachten Extrempunkten" bei 20 und 36 ein negative Definitheit feststellen würde? Also wenn beides Maxima wären? Was wäre dann?
Danke
Grüße Thomas
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
Hallo,
ich würde das etwas anders machen.
Dein Rand, den Du untersuchst, ist ja ein Kreis, eine geschlossene Linie.
Jetzt stell Dir die Funktionswerte über dem Kreis aufgetragen vor.
Es kann nicht sein, daß es da zwei isolierte Maxima gibt und nur ein Minimum. Wie sollte das gehen?
Deshalb würde ich zu den drei Kandidaten die Funktionwerte berechnen und einfach gucken, wo der größte und wo der kleinste ist.
Ich bin nicht der Meinung, daß Du mit der Hessematrix [mm] H_f(x,y) [/mm] die globalen Extrema auf dem Rand findest. Lediglich lokale Extrema, welche zufällig auf diesem Rand liegen, bekommst Du so.
Wenn Du es mit Hessematrix etc. unbedingt bis zum Äußersten treiben wolltest, müßtest Du wohl die Hessematrix für L aufstellen.
Das wäre dann aber eine 3x3-Matrix, und nicht jedes Deiner Definitheitskriterien für 2x2-Matrizen könntest Du 1:1 umsetzen.
Gehen wir jetzt mal in die Realität:
keine Deiner Aufgaben, an die ich mich erinnere, war so, daß Du so etwas benötigt hättest.
Ich würde mich an Deiner Stelle damit jetzt nicht belasten. Ich glaube nicht, daß so etwas in Deiner Klausur vorkommt.
Wenn Du nach Deiner Klausur plötzlich ein Wahnsinnsinteresse an der Definitheit von 3x3- oder nxn-Matrizen entwickeltst, kannst Du Dich ja immer noch damit befassen...
Gruß v. Angela
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> > [mm]\lambda^2-2\lambda-24\green{=0}[/mm]
> >
> >
> > Jetzt p/q Formel anwenden und dann komme ich auf die
> > richtigen Ergebnisse:
> >
> > [mm]\lambda_1=4[/mm]
> > [mm]\lambda_2=6[/mm]
>
> Genau.
Überhaupt nicht genau!
Es muß hier heißen -4. Tut mir leid, daß ich das übersehen habe.
Rechne nur neu, wenn Du genügend Zeit hast.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:52 Sa 07.07.2007 | | Autor: | KnockDown |
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> > > [mm]\lambda^2-2\lambda-24\green{=0}[/mm]
> > >
> > >
> > > Jetzt p/q Formel anwenden und dann komme ich auf die
> > > richtigen Ergebnisse:
> > >
> > > [mm]\lambda_1=4[/mm]
> > > [mm]\lambda_2=6[/mm]
> >
> > Genau.
>
> Überhaupt nicht genau!
> Es muß hier heißen -4. Tut mir leid, daß ich das übersehen
> habe.
>
> Rechne nur neu, wenn Du genügend Zeit hast.
>
> Gruß v. Angela
>
Hi Angela,
es braucht dir nicht leid zu tun, ich hab den Fehler gemacht :)
Ich werde jetzt die Aufgabe "falsch" zuende Rechnen mit Hesse-Matrix und wenn das dann alles "stimmt" dann werde ich es nochmal nachrechnen.
Da ich so eine Aufgabe eh min. noch einmal rechnen muss, dass sich das verinnerlicht.
Danke Grüße Thomas
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Hi Angela,
danke! ich hab den Fehler korrigiert, das ging ja schnell.
Trozdem weichen jetzt noch die Werte von dem einen zu dem anderen Rechenweg ab.
Ich glaube erste Rechenweg ohne Lagrance stimmt nicht ganz. Kann das sein?
Grüße Thomas
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Was hast Du HIER - mit monsieur Lagrange - denn jetzt als Endergebnisse?
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:53 So 08.07.2007 | | Autor: | KnockDown |
Hi Angela,
ich hab die Ergebnisse bereits in allen Thread korrigiert gehabt. Weiter unten in diesem Thread habe ich nochmal die korrigierten Ergebnisse gepostet:
Das hier ist der letzte Beitrag, ab dem es weiter geht.
Ich setze jetzt zuerst [mm] $\lambda_1=-4$ [/mm] in [mm] $\red{x=}\bruch{3\lambda}{\lambda-1}$ [/mm] und [mm] $\red{y=}\bruch{4\lambda}{\lambda-1}$ [/mm] ein.
Lösung: [mm] $x=\bruch{12}{5}$, $y=\bruch{16}{5}$ [/mm] (neu errechnet)
Ich setze jetzt zuerst [mm] $\lambda_2=6$ [/mm] in [mm] $\red{x=}\bruch{3\lambda}{\lambda-1}$ [/mm] und [mm] $\red{y=}\bruch{4\lambda}{\lambda-1}$ [/mm] ein.
Lösung: [mm] $x=\bruch{18}{5}$, $y=\bruch{24}{5}$
[/mm]
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> Trozdem weichen jetzt noch die Werte von dem einen zu dem
> anderen Rechenweg ab.
Jetzt, am Sonntagabend, stimmen die Ergebnisse überein, wir können uns beruhigt zurücklehnen.
Man kann die Aufgabe ja sehr einfach aufzeichnen, den Kreis und die Gerade. hieran könntest Du die Plausibilität Deiner Ergebnisse prüfen.
Gruß v. Angela
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Angela hatte doch schon zu Anfang geschrieben: "Dies ist so eine Aufgabe, welche ich im Grunde mit meinem Hausfrauenverstand zu lösen versuchen würde"
Wieso ist denn da nun ein soooo langer Thread draus entstanden? Ich würde es auch ganz einfach lösen (oder ist da ein Denkfehler drin?).
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Zeichnung ist nicht maßstabsgetreu
Da wo die Gerade durch den Ursprung und den Kreismittelpunkt den Kreisrand schneidet, das sind doch die gesuchten Punkte !!
Die Katheten des gelben Dreiecks sind im Verhältnis 3:4 und die Hypothenuse ist ein 1 cm lang (Radius des Kreises). Dann wäre nach Pythagoras:
[mm] (3a)^{2}+(4a)^{2}=1^{2} [/mm] ==> [mm] a=\bruch{1}{5}
[/mm]
Das heißt: In dem gelben Dreieck ist [mm] x=\bruch{3}{5} [/mm] und [mm] y=\bruch{4}{5} [/mm] lang. Und das kann man dann zum Mittelpunkt (3/4) hinzuzählen bzw. abziehen.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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> Hausfrauenverstand
> Wieso ist denn da nun ein soooo langer Thread draus
> entstanden?
Hallo,
es liegt daran, daß KnockDown keine Hausfrauenausbildung macht...
Er tut das, was von ihm erwartet wird und was er in der Klausur können muß: er übt die Berechnung von Extremwerten per Differentialrechnung.
Den Schwarzen Peter muß man eher den Aufgabenstellern zuschieben...
Schau'n wir mal, ob er dasselbe ausrechnet.
Strenggenommen müßte man bei Deiner Lösung ja zuvor noch eine Begründung dafür angeben, daß die beiden Schnittpunkte wirklich die Punkte mit dem größten/kleinsten Abstand sind.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:08 Sa 07.07.2007 | | Autor: | rabilein1 |
> es liegt daran, daß KnockDown keine Hausfrauenausbildung macht...
Ich sage immer: Das Lösen einer Mathe-Aufgabe ist so, als stehst du in Berlin am Bahnof Zoo und willst zum Brandenburger Tor. Es ist völlig egal wie du da hin kommst - geh zu Fuß oder nimm ein Taxi oder den Bus der Linie 100 oder fahr mit dem Rad - Hauptsache, du kommst in angemessener Zeit an.
Da nimmt der arme Student sicherlich an anderes Vehikel als der Bundestags-Abgeordnete. Aber das ist ja egal.
> Strenggenommen müßte man bei Deiner Lösung ja zuvor noch
> eine Begründung dafür angeben, daß die beiden Schnittpunkte
> wirklich die Punkte mit dem größten/kleinsten Abstand sind.
Da schlage ich mit dem Zirkel zwei Kreise um den Ursprung. Dann sehe ich, wo der größte und der kleinste Abstand ist.
Der Kreis mit dem Mittelpunkt (3/4) muss diese beiden Kreise jeweils berühren.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:38 Sa 07.07.2007 | | Autor: | KnockDown |
> Angela hatte doch schon zu Anfang geschrieben: "Dies ist so
> eine Aufgabe, welche ich im Grunde mit meinem
> Hausfrauenverstand zu lösen versuchen würde"
>
> Wieso ist denn da nun ein soooo langer Thread draus
> entstanden? Ich würde es auch ganz einfach lösen (oder ist
> da ein Denkfehler drin?).
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Die Zeichnung ist nicht maßstabsgetreu
>
> Da wo die Gerade durch den Ursprung und den
> Kreismittelpunkt den Kreisrand schneidet, das sind doch die
> gesuchten Punkte !!
>
> Die Katheten des gelben Dreiecks sind im Verhältnis 3:4 und
> die Hypothenuse ist ein 1 cm lang (Radius des Kreises).
> Dann wäre nach Pythagoras:
>
> [mm](3a)^{2}+(4a)^{2}=1^{2}[/mm] ==> [mm]a=\bruch{1}{5}[/mm]
>
> Das heißt: In dem gelben Dreieck ist [mm]x=\bruch{3}{5}[/mm] und
> [mm]y=\bruch{4}{5}[/mm] lang. Und das kann man dann zum Mittelpunkt
> (3/4) hinzuzählen bzw. abziehen.
>
>
Hi,
ist ein guter Ansatz und war auch meine erste Überlegung.
Aber so ein "netter" Mensch wie unser Dozent ist, wird er das sicher nicht gelten lassen und mir von 10 Punkte evtl. 1 Punkt geben wenn er einen guten Tag hat.
Aber es ist eine gute grafische Verdeutlichung des Problems!
Danke
Grüße Thomas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:38 Sa 07.07.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Tut mir leid.
Mir wäre es piep-egal, wie jemand auf die (richtige) Lösung kommt. Aber die Dozenten sind da wohl anderer Meinung, und man muss genau ihren Weg gehen.
Naja, solange man Student ist, muss man sich wohl oder übel solche Regeln halten. Später fragt dann kein Mensch mehr danach, wie du dieses und jenes schaffst. Dafür / andererseits zeigt einem dann aber auch niemand mehr, wie es (richtig) geht.
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> Mir wäre es piep-egal, wie jemand auf die (richtige) Lösung
> kommt.
Hallo,
ich glaube, man muß hier unterscheiden:
geht es um die Lösung eines Problems, oder geht es um das Einüben gewisser Techniken?
In der Aufgabe hier geht es um zweiteres. Der eigentliche Sachverhalt interessiert im Grunde nicht besonders. Er kleidet die Aufgabe, die im realen Leben wohl kein Mensch mit Lagrangeansatz lösen würde.
Mit einer Diskussion über die Sinnhaftigkeit solcher Aufgaben könnte man sicher Seiten füllen...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:10 Sa 07.07.2007 | | Autor: | rabilein1 |
> Mit einer Diskussion über die Sinnhaftigkeit solcher
> Aufgaben könnte man sicher Seiten füllen...
Ich weiß: Eine meiner schlechten Eigenschaften ist es, zunächst einmal die Sinnhaftigkeit von "Gott und der Welt" in Frage zustellen.
Der Satz des Pythagoras lebt immer noch; aber wenn die Menshen alles immer so ungeprüft hingenommen hätten, dann wäre auch heute noch die Erde eine Scheibe, um die sich das Weltall dreht.
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