Optimierungsaufgabe 2 < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Die Aufgabe muss ohne Taschenrechner gelöst werden.
[Dateianhang nicht öffentlich]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") := bereits korrigiert/nachgesehen/kontrolliert
Ich mache das deshalb, da ich diesen Thread immer wieder erweitere wenn ich ein Problem gelöst habe. Sonst verteilt sich die Lösung auf so viele Beiträge!
Ich markiere nachdem ich weitergerechnet/verbessert habe den Thread wieder als "unbeantwortet", so dass alles in einem Thread bleibt. Falls das aus irgendeinem Grund stört oder irgendwelche "Nachteile" für jemand mit sich bringt, dann bitte melden und ich lasse es.
Hi,
ich möchte die Aufgabe mit Lagrange lösen.
Funktion: $f(r, h)=2 [mm] \pi r^2+2 \pi [/mm] r h$ Nebenbedinung: $330 - [mm] \pi [/mm] r^2h [mm] \le [/mm] 0$
Aufstellen der Lagrange-Funktion: $L(r, h, [mm] \lambda)=(2 \pi r^2+2 \pi [/mm] r h)+ [mm] \lambda [/mm] * (330 - [mm] \pi [/mm] r^2h)$ [mm] $\green{\Rightarrow}$ [/mm] $L(r, h, [mm] \lambda)=2 \pi r^2 [/mm] + 2 [mm] \pi [/mm] r h+ [mm] \lambda [/mm] 330 - [mm] \lambda \pi r^2 [/mm] h$
Partielle Ableitung nach den Variablen $r, h, [mm] \lambda$: $\blue{L'_r}=4 \pi [/mm] r + 2 [mm] \pi [/mm] h - 2 [mm] \lambda \pi [/mm] r h$ [mm] $\blue{L'_h}=2 \pi [/mm] r - [mm] \lambda \pi r^2$[ok] $\blue{L'_{\lambda}}=330 [/mm] - [mm] \pi r^2 [/mm] h$
Partielle Ableitung Null setzen: [mm] $\blue{L'_r}=4 \pi [/mm] r + 2 [mm] \pi [/mm] h - 2 [mm] \lambda \pi [/mm] r [mm] h=\green{0}$[ok] $\blue{L'_h}=2 \pi [/mm] r - [mm] \lambda \pi r^2=\green{0}$[ok] $\blue{L'_{\lambda}}=330 [/mm] - [mm] \pi r^2 h=\green{0}$[ok]
[/mm]
[mm] [b]$\blue{L'_h}$ [/mm] nach r umstellen:[/b]
a01. [mm] $\blue{L'_h}=2 \pi [/mm] r - [mm] \lambda \pi r^2=\green{0}$
[/mm]
a02. $2 [mm] \pi [/mm] r - [mm] \lambda \pi r^2=0$
[/mm]
a03. [mm] $\blue{r}*(2 \pi [/mm] - [mm] \lambda \pi [/mm] r)=0$
a04. [mm] $\blue{r_1}=0$
[/mm]
a05. $2 [mm] \pi [/mm] - [mm] \lambda \pi [/mm] r=0$ $|* [mm] \bruch{1}{\pi}$
[/mm]
a06. $2 - [mm] \lambda [/mm] r=0$
a07. $- [mm] \lambda [/mm] r=-2$
a08. [mm] $\lambda [/mm] r=2$
a09. [mm] $\blue{r_2}=\bruch{2}{\lambda}$
[/mm]
Ich erhalte zwei Lösungen wenn ich nach r umstelle [mm] $\red{r_1}=0$ [/mm] und [mm] $\red{r_2}=\bruch{2}{\lambda}$.
[/mm]
[mm] [b]$\blue{L'_{\lambda}}$ [/mm] nach h umstellen[/b]
b01. [mm] $\blue{L'_{\lambda}}=330 [/mm] - [mm] \pi r^2 h=\green{0}$
[/mm]
b02. $330 - [mm] \pi r^2 [/mm] h=0$
b03. $- [mm] \pi r^2 [/mm] h=-330$
b04. [mm] $\pi r^2 [/mm] h=-330$
b05. [mm] $h=\bruch{330}{\pi r^2 }$
[/mm]
Ich erhalte eine Lösung wenn ich nach h umstelle [mm] $\red{h}=\bruch{330}{\pi r^2 }$.
[/mm]
Einsetzen von [mm] $\red{r_2}=\bruch{2}{\lambda}$ [/mm] in [mm] $\red{h}=\bruch{330}{\pi r^2 }$:
[/mm]
[mm] $r_1$ [/mm] scheidet aus, da man nicht durch 0 Teilen darf!
c01. [mm] $h=\bruch{330}{\pi (\bruch{2}{\lambda})^2 }$
[/mm]
c02. [mm] $h=\bruch{330}{\pi \bruch{4}{\lambda^2} }$
[/mm]
c03. [mm] $\red{h}=\bruch{330 \lambda^2}{4 \pi}$
[/mm]
Einsetzen von [mm] $\red{h}=\bruch{330 \lambda^2}{4 \pi}$ [/mm] & [mm] $\red{r_2}=\bruch{2}{\lambda}$ [/mm] in [mm] $\blue{L'_r}=4 \pi [/mm] r + 2 [mm] \pi [/mm] h - 2 [mm] \lambda \pi [/mm] r h$
d01. $ [mm] \blue{L'_r}=4 \pi (\bruch{2}{\lambda}) [/mm] + 2 [mm] \pi (\bruch{330 \lambda^2}{4 \pi}) [/mm] - 2 [mm] \lambda \pi (\bruch{2}{\lambda}) (\bruch{330 \lambda^2}{4 \pi}) [/mm] $
d02. [mm] $\blue{L'_r}= (\bruch{8 \pi}{\lambda}) [/mm] + [mm] (\bruch{330 \lambda^2}{2}) [/mm] - 4 [mm] \pi (\bruch{330 \lambda^2}{4 \pi})$
[/mm]
d03. [mm] $\blue{L'_r}= (\bruch{8 \pi}{\lambda}) [/mm] + [mm] (\bruch{330 \lambda^2}{2}) [/mm] - 330 [mm] \lambda^2$
[/mm]
d04. [mm] $\blue{L'_r}= (\bruch{8 \pi}{\lambda}) [/mm] + (165 [mm] \lambda^2) [/mm] - 330 [mm] \lambda^2$
[/mm]
d05. [mm] $\blue{L'_r}= (\bruch{8 \pi}{\lambda}) [/mm] - 165 [mm] \lambda^2$
[/mm]
Nullsetzen von [mm] $\blue{L'_r}= (\bruch{8 \pi}{\lambda}) [/mm] - 165 [mm] \lambda^2$ [/mm] und auflösen nach [mm] $\lambda$
[/mm]
e01. [mm] $\bruch{8 \pi}{\lambda} [/mm] - 165 [mm] \lambda^2=\green{0}$
[/mm]
e02. [mm] $\bruch{8 \pi}{\lambda} [/mm] - 165 [mm] \lambda^2=0$
[/mm]
e03. $8 [mm] \pi [/mm] - 165 [mm] \lambda^3=0$
[/mm]
e04. $165 [mm] \lambda^3=8 \pi$
[/mm]
e05. [mm] $\lambda^3=\bruch{8 \pi}{165}$
[/mm]
e06. [mm] $\lambda=\wurzel[3]{\bruch{8 \pi}{165}}$
[/mm]
Jetzt setze ich [mm] $\lambda=\wurzel[3]{\bruch{8 \pi}{165}}$ [/mm] in [mm] $\blue{r_2}=\bruch{2}{\lambda}$ [/mm] ein:
f01. [mm] $\blue{r_2}=\bruch{2}{\lambda}$
[/mm]
f02. [mm] $\blue{r_2}=\bruch{2}{\wurzel[3]{\bruch{8 \pi}{165}}}$
[/mm]
f03. [mm] $\blue{r_2}=\bruch{2}{2\wurzel[3]{\bruch{\pi}{165}}}$
[/mm]
f04. [mm] $\blue{r_2}=\wurzel[3]{\bruch{\pi}{165}}$
[/mm]
Genau das selbe habe ich auch in dem Korrekturgelesenen Thread im Ergebnis "d09." heraus 
Verständnisfragen / Erkenntnisse:
Ich würde gerne nochmal meine Erkenntnisse kurz aufschreiben und bestätigt/korrigiert bekommen.
1. Vorteil von Lagrange, ich muss nicht Ableiten.
2. Ein weiterer Vorteil ist, dass ich bei dieser Funktion nur "einmal" prüfen musste um auf das Ergebnis zu kommen. Bei dem anderen Ergebnis habe ich einmal geprüft ob die Punkte auf dem Rad liegen "=" und musste dann nochmal prüfen ob sie im Bereich [mm] "\le" [/mm] liegen.
3. Ich brauche bei Lagrange keine Hessematrix und keinen Gradient.
Stimmt das soweit? Gibt es noch etwas hinzuzufügen?
Danke
Grüße Thomas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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> Die Aufgabe muss ohne Taschenrechner gelöst werden.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hi,
> ich möchte die Aufgabe mit Lagrange lösen.
>
> Funktion: [mm]f(r, h)=2 \pi r^2+2 \pi r h[/mm] Nebenbedinung:
> [mm]330 - \pi r^2h \le 0[/mm]
Hallo,
ich bin gerade auf dem Sprung, daher werde ich jetzt nichts nachrechnen, sondern ein paar allgemeinere Hinweise geben.
Diese Aufgabe unterscheidet sich etwas von der, die wir am Wochenende mit Begeisterung bearbeitet haben.
Du sollst hier die Funktion innerhalb eines bestimmten Gebietes untersuchen, nicht wie bei der anderen Aufgabe nur auf dem Rand.
Ich würde hier so vorgehen:
1. Bestimme die lokalen Extrema von f(r,V). Gradient=0, Hessematrix.
Nun mußt Du herausfinden, für welche dieser lokalen Extremwerte 330 - [mm] \pi [/mm] r^2h [mm] \le [/mm] 0 gilt. Nur diese bleiben als Kandidaten für die globalen Extrema im Rennen.
2. Nun mußt Du den "Rand" mit der Nebenbedingung 330 - [mm] \pi [/mm] r^2h = 0 auf Extremwerte untersuchen, entweder durch Rückführung auf eine Funktion mit nur einer Variablen oder mit Lagrange. Das ist das, was Du bereits begonnen hast.
Die kritischen Punkte, die Du erhältst, unterziehst Du einer genaueren Betrachtung. Guck Dir die Funktionswerte an diesen Stellen an. Welches ist die Stelle mit dem größten, und welches die mit dem kleinsten?
3. Vergleiche sie nun mit den Kandidaten, die Du in 1. übrigbehalten hast, und finde so heraus, an welchen Stellen innerhalb des
Bereiches mit 330 - [mm] \pi [/mm] r^2h [mm] \le [/mm] 0 die globalen Extremwerte liegen.
---
Bem.: das was Du hier tun mußt, kann man auf den Fall einer Funktion, die nur von einer Variablen abhängt, übertragen.
Schau Dir z.B. [mm] f(x)=x^3-x+1 [/mm] ab.
Die Aufgabe laute, die globalen Extremwerte im Bereich [mm] -1\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2 zu bestimmen.
Schau Dir die Zeichnung an. Gipfel und Talsohle ermittelst Du durch Ableiten usw.
Dann mußt Du aber noch die Werte an den Stellen -1 und 2 betrachten, und Du stellst fest, daß das globale Maximum bei 2 liegt.
Gruß v. Angela
>
>
>
> Aufstellen der Lagrange-Funktion: [mm]L(r, h, \lambda)=(2 \pi r^2+2 \pi r h)+ \lambda * (330 - \pi r^2h)[/mm]
> [mm]\green{\Rightarrow}[/mm] [mm]L(r, h, \lambda)=2 \pi r^2 + 2 \pi r h+ \lambda 330 - \lambda \pi r^2 h[/mm]
>
>
>
> Partielle Ableitung nach den Variablen [mm]r, h, \lambda[/mm]:
> [mm]\blue{L'_r}=4 \pi r + 2 \pi h - 2 \lambda \pi r h[/mm]
> [mm]\blue{L'_h}=2 \pi r - \lambda \pi r^2[/mm]
> [mm]\blue{L'_{\lambda}}=330 - \pi r^2 h[/mm]
>
>
>
> Partielle Ableitung Null setzen: [mm]\blue{L'_r}=4 \pi r + 2 \pi h - 2 \lambda \pi r h=\green{0}[/mm]
> [mm]\blue{L'_h}=2 \pi r - \lambda \pi r^2=\green{0}[/mm]
> [mm]\blue{L'_{\lambda}}=330 - \pi r^2 h=\green{0}[/mm]
>
>
> Problem:
>
> Ab hier bekomme ich ein Problem. Ich wollte die beiden
> abgeleiteten Funktionen [mm]\blue{L'_h}\ und\ \blue{L'_{\lambda}}[/mm]
> nach r umstellen und in [mm]\blue{L'_r}[/mm] einsetzen, um das LGS
> lösen zu können. Jedoch habe ich dann das Problem, dass ich
> beim Umstellen der Funktionen [mm]\blue{L'_h}\ und\ \blue{L'_{\lambda}}[/mm]
> nach r jeweils zwei Lösungen heraus bekomme. (Das habe ich
> auch mit nem Matheprogramm) überprüft. Was mache ich denn
> in solch einem Fall, wenn ich zwei Lösungen herausbekomme?
> Muss ich die Ergebnisse (4 Funktionen) alle in die Funktion
> [mm]\blue{L'_r}[/mm] einsetzen?
>
> Was kann ich jetzt tun um mit Lagrange weiter machen zu
> können?
>
>
>
> Danke
>
>
>
> Grüße Thomas
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Hi Angela,
nachdem ich diese Aufgabe auf dem anderen Weg zuende gerechnet habe, habe ich mich nochmal an Lagrange gesetzt, da es mir doch keine Ruhe lässt.
Du sagst hier:
> Ich würde hier so vorgehen:
>
> 1. Bestimme die lokalen Extrema von f(r,V). Gradient=0,
> Hessematrix.
Wenn ich die lokalen Extrame von f(r,V) bestimmen soll, muss ich doch zuerst in die Funktion f(r, h) die Funktion V einbringen durch umstellen nach einer Variablen und dann einsetzen in die Hauptfunktion (was ich bei dem anderen Lösungsweg gemacht habe). Habe ich das richtig verstanden, dass das dann im prinzip nichts anderes wäre, als das was ich bereits getan habe?
Ich habe das ganze jetzt so verstanden, dass der Lagrange-Ansatz in diesem Fall nicht die erste Wahl (oder garkeine Wahl?) ist, ist das so richtig?
Wenn diese "Aussage" stimmt, habe ich aber nicht so wirklich verstanden warum das so ist! Denn ich hatte doch bei der Aufgabe von Sonntag ebenfalls eine Nebenbedinung und dort war es so, dass ich es mit Lagrange besser lösen konnte als über das "Einsetzverfahren". Aber warum ist das so?
Wäre super wenn ich das noch wissen/verstehen würde, dann könnte ich die Aufgabe beruhigt abhaken.
Danke
Grüße Thomas
> > Die Aufgabe muss ohne Taschenrechner gelöst werden.
> >
> > [Dateianhang nicht öffentlich]
> > Hi,
> > ich möchte die Aufgabe mit Lagrange lösen.
> >
> > Funktion: [mm]f(r, h)=2 \pi r^2+2 \pi r h[/mm] Nebenbedinung:
> > [mm]330 - \pi r^2h \le 0[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich bin gerade auf dem Sprung, daher werde ich jetzt nichts
> nachrechnen, sondern ein paar allgemeinere Hinweise geben.
>
> Diese Aufgabe unterscheidet sich etwas von der, die wir am
> Wochenende mit Begeisterung bearbeitet haben.
> Du sollst hier die Funktion innerhalb eines bestimmten
> Gebietes untersuchen, nicht wie bei der anderen Aufgabe nur
> auf dem Rand.
>
> Ich würde hier so vorgehen:
>
> 1. Bestimme die lokalen Extrema von f(r,V). Gradient=0,
> Hessematrix.
> Nun mußt Du herausfinden, für welche dieser lokalen
> Extremwerte 330 - [mm]\pi[/mm] r^2h [mm]\le[/mm] 0 gilt. Nur diese bleiben
> als Kandidaten für die globalen Extrema im Rennen.
>
> 2. Nun mußt Du den "Rand" mit der Nebenbedingung 330 - [mm]\pi[/mm]
> r^2h = 0 auf Extremwerte untersuchen, entweder durch
> Rückführung auf eine Funktion mit nur einer Variablen oder
> mit Lagrange. Das ist das, was Du bereits begonnen hast.
> Die kritischen Punkte, die Du erhältst, unterziehst Du
> einer genaueren Betrachtung. Guck Dir die Funktionswerte an
> diesen Stellen an. Welches ist die Stelle mit dem größten,
> und welches die mit dem kleinsten?
>
>
> 3. Vergleiche sie nun mit den Kandidaten, die Du in 1.
> übrigbehalten hast, und finde so heraus, an welchen Stellen
> innerhalb des
> Bereiches mit 330 - [mm]\pi[/mm] r^2h [mm]\le[/mm] 0 die globalen
> Extremwerte liegen.
>
> ---
>
>
> Bem.: das was Du hier tun mußt, kann man auf den Fall einer
> Funktion, die nur von einer Variablen abhängt, übertragen.
> Schau Dir z.B. [mm]f(x)=x^3-x+1[/mm] ab.
> Die Aufgabe laute, die globalen Extremwerte im Bereich
> [mm]-1\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 2 zu bestimmen.
>
> Schau Dir die Zeichnung an. Gipfel und Talsohle ermittelst
> Du durch Ableiten usw.
> Dann mußt Du aber noch die Werte an den Stellen -1 und 2
> betrachten, und Du stellst fest, daß das globale Maximum
> bei 2 liegt.
>
> Gruß v. Angela
>
>
>
> >
> >
> >
> > Aufstellen der Lagrange-Funktion: [mm]L(r, h, \lambda)=(2 \pi r^2+2 \pi r h)+ \lambda * (330 - \pi r^2h)[/mm]
> > [mm]\green{\Rightarrow}[/mm] [mm]L(r, h, \lambda)=2 \pi r^2 + 2 \pi r h+ \lambda 330 - \lambda \pi r^2 h[/mm]
>
> >
> >
> >
> > Partielle Ableitung nach den Variablen [mm]r, h, \lambda[/mm]:
> > [mm]\blue{L'_r}=4 \pi r + 2 \pi h - 2 \lambda \pi r h[/mm]
> > [mm]\blue{L'_h}=2 \pi r - \lambda \pi r^2[/mm]
> > [mm]\blue{L'_{\lambda}}=330 - \pi r^2 h[/mm]
> >
> >
> >
> > Partielle Ableitung Null setzen: [mm]\blue{L'_r}=4 \pi r + 2 \pi h - 2 \lambda \pi r h=\green{0}[/mm]
> > [mm]\blue{L'_h}=2 \pi r - \lambda \pi r^2=\green{0}[/mm]
> > [mm]\blue{L'_{\lambda}}=330 - \pi r^2 h=\green{0}[/mm]
> >
> >
> > Problem:
> >
> > Ab hier bekomme ich ein Problem. Ich wollte die beiden
> > abgeleiteten Funktionen [mm]\blue{L'_h}\ und\ \blue{L'_{\lambda}}[/mm]
> > nach r umstellen und in [mm]\blue{L'_r}[/mm] einsetzen, um das LGS
> > lösen zu können. Jedoch habe ich dann das Problem, dass ich
> > beim Umstellen der Funktionen [mm]\blue{L'_h}\ und\ \blue{L'_{\lambda}}[/mm]
> > nach r jeweils zwei Lösungen heraus bekomme. (Das habe ich
> > auch mit nem Matheprogramm) überprüft. Was mache ich denn
> > in solch einem Fall, wenn ich zwei Lösungen herausbekomme?
> > Muss ich die Ergebnisse (4 Funktionen) alle in die Funktion
> > [mm]\blue{L'_r}[/mm] einsetzen?
> >
> > Was kann ich jetzt tun um mit Lagrange weiter machen zu
> > können?
> >
> >
> >
> > Danke
> >
> >
> >
> > Grüße Thomas
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> Du sagst hier:
>
> > Ich würde hier so vorgehen:
> >
> > 1. Bestimme die lokalen Extrema von f(r,V). Gradient=0,
> > Hessematrix.
>
> Wenn ich die lokalen Extrame von f(r,V) bestimmen soll,
> muss ich doch zuerst in die Funktion f(r, h) die Funktion V
> einbringen durch umstellen nach einer Variablen und dann
> einsetzen in die Hauptfunktion (was ich bei dem anderen
> Lösungsweg gemacht habe). Habe ich das richtig verstanden,
> dass das dann im prinzip nichts anderes wäre, als das was
> ich bereits getan habe?
Das hast Du ganz richtig verstanden.
>
>
> Ich habe das ganze jetzt so verstanden, dass der
> Lagrange-Ansatz in diesem Fall nicht die erste Wahl (oder
> garkeine Wahl?) ist, ist das so richtig?
Hier hast Du etwas falsch verstanden. 1. und 2. sind hier keine Prioritäten, sondern die abzuarbeitenden Aufträge.
Ich will Dir das, was man tun muß, nochmal versuchen, etwas anschaulich zu erklaren.
Eine Funktion, die von zwei Variablen abhängt, kannst Du Dir als eine Art Gebirge vorstellen. Jedem Punkt einer Ebene wird eine Zahl, eine "Höhe" zugeordnet. In Museen gibt's so etwas manchmal, ein dreidimensionales Abbild der Landschaft, z.B. von Deutschland.
Mit dem Verfahren Gradient=0+Hessematrix ermittelst Du Berggipfel und Talsohlen der Landschaft.
Wenn ich mit dem Fahrrad von KL in meine Heimatstadt H fahren möchte, interessieren mich nicht sämtliche Berge Deutschlands, sondern es interessiert mich das Höhenprofil des geplanten Weges. Ich lege also eine Schnur von KL nach H und betrachte die Landschaft entlang meiner Schur. Ich interessiere mich dafür, wie hoch ich hinauf muß. (in meinem Fall: lieber nicht so hoch. An Flüssen entlang.)
Hierfür muß man den Lagrangeansatz oder das Einsetzverfahren nehmen, denn ich betrachte die Landschaft lediglich entlang eines Fadens, "auf" einer Nebenbedingung.
Deine Aufgabe nun bot eine Kombination aus beidem. Du solltest die Funktion innerhalb eines Bereiches betrachten.
In unserer Landschaft können wir uns das so vorstellen, daß wir den Faden zu einem Kreis legen und feststellen, wo in diesem Bereich die größte Höhe und Tiefe liegt, oder wir teilen das Land irgendwie und suchen nach der größten Höhe und Tiefe südlich unseres Fadens.
Der Faden zeigt die Nebenbedingung an, einen Rand, eine Grenze.
Was machen wir jetzt? Nehmen wir das zweigeteilte Land. Wir bestimmen zuerst die Gipfel des gesamten Landes. Dann schauen wir nach, welche von diesen südlich unseres Fadens liegen.
Wenn die Aufgabe lautet: südlich oder auf dem Faden (so war das in Deiner Aufgabe: [mm] \le [/mm] 0), müssen wir den Faden auch noch untersuchen. Es könnte zum Beispiel sein, daß es auf dem Faden eine Stelle gibt, die zwar keine Talsohle ist, aber tiefer liegt als alles, was es im Süden sonst noch gibt. Diese Stellen sucht man mit Lagrange oder dem Einsetzen.
Welches der beiden Verfahren man für die Untersuchung unter Berücksichtigung der Nebenbedingung wählt, ist eine Frage des persönlichen Geschmackes - oder von "oben" vorgegeben.
Daß Du am Sonntag mit dem Einsetzen besser zurecht gekommen bist als mit Lagrange, hat etwas mit Deinen Fähigkeiten, Präferenzen und Vorkenntnissen zu tun, nicht mit den Verfahren an sich. Sie waren beide gleichgut geeignet.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | Die Aufgabe muss ohne Taschenrechner gelöst werden.
[Dateianhang nicht öffentlich]
:= bereits korrigiert/nachgesehen/kontrolliert
Ich mache das deshalb, da ich diesen Thread immer wieder erweitere wenn ich ein Problem gelöst habe. Sonst verteilt sich die Lösung auf so viele Beiträge!
Ich markiere nachdem ich weitergerechnet/verbessert habe den Thread wieder als "unbeantwortet", so dass alles in einem Thread bleibt. Falls das aus irgendeinem Grund stört oder irgendwelche "Nachteile" für jemand mit sich bringt, dann bitte melden und ich lasse es.
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Hi, da ich mit Lagrange hänge und es so oder so üben möchte, werde ich jetzt noch das "Einsetzverfahren" rechnen.
Funktion: $f(r, h)=2 [mm] \pi r^2+2 \pi [/mm] r h$ Nebenbedinung: $330 - [mm] \pi [/mm] r^2h [mm] \le [/mm] 0$
Ich werde die Nebenbedingung nach h umstellen, da dies einfach ist.
Umstellen der Nebenbedinung nach h:
a01. $330 - [mm] \pi [/mm] r^2h [mm] \le [/mm] 0$
a02. $- [mm] \pi [/mm] r^2h [mm] \le [/mm] - 330$ $|*(-1)$
a03. [mm] $\pi [/mm] r^2h [mm] \ge [/mm] 330$
a04. $h [mm] \ge \bruch{330}{\pi r^2}$ [/mm]
Umgestellte Nebenbedingung in Funktion einsetzen:
Umbenennung der Funktion, da Sie jetzt nur noch von einer Variablen abhängt.
b01. $g(r)=2 [mm] \pi r^2+2 \pi [/mm] r [mm] *(\bruch{330}{\pi r^2})$
[/mm]
b02. $g(r)=2 [mm] \pi r^2+\bruch{2 \pi r 330}{\pi r^2}$
[/mm]
b03. $g(r)=2 [mm] \pi r^2+\bruch{2 * 330}{ r}$
[/mm]
b04. $g(r)=2 [mm] \pi r^2+\bruch{660}{ r}$ [/mm]
Funktion g(r) einmal ableiten:
c01. $g'(r)=(2 [mm] \pi r^2+\bruch{660}{ r})'$
[/mm]
c02. $g'(r)=(2 [mm] \pi r^2+660 \bruch{1}{ r})'$
[/mm]
c03. $g'(r)=(2 [mm] \pi r^2+660 r^{-1})'$
[/mm]
c04. $g'(r)=4 [mm] \pi [/mm] r+-660 [mm] r^{-2}$
[/mm]
c05. [mm] $\blue{g'(r)}=4 \pi r-\bruch{660}{r^2}$ [/mm]
Jetzt die Nullstellen von [mm] $\blue{g'(r)}$ [/mm] bestimmen:
d01. [mm] $\blue{g'(r)}=4 \pi r-\bruch{660}{r^2}$
[/mm]
d02. $4 [mm] \pi r-\bruch{660}{r^2}=0$
[/mm]
d03. [mm] $\bruch{4 \pi r^3}{r^2}-\bruch{660}{r^2}=0$
[/mm]
d04. [mm] $\bruch{4 \pi r^3 - 660}{r^2}=0$ [/mm] $| [mm] *r^2$
[/mm]
d05. $4 [mm] \pi r^3 [/mm] - 660=0$ $| +660$
d06. $ [mm] r^3 [/mm] =660$ $| : (4 [mm] \pi)$
[/mm]
d07. [mm] $r^3 =\bruch{660}{4 \pi}$
[/mm]
d08. $r [mm] =\wurzel[3]{\bruch{660}{4 \pi}}$
[/mm]
d09. $r [mm] =\wurzel[3]{\bruch{165}{ \pi}}$ [/mm]
Jetzt leite ich [mm] $\blue{g'(r)}$ [/mm] nochmal ab:
e01. $g''(r)=(4 [mm] \pi r-\bruch{660}{r^2})'$
[/mm]
e02. $g''(r)=4 [mm] \pi +\bruch{1320}{r^3}$ [/mm]
Jetzt setze ich d09 in e02 ein:
f01. $g''(r)=4 [mm] \pi +\bruch{1320}{(\wurzel[3]{\bruch{165}{ \pi}})^3}$
[/mm]
f02. $g''(r)=4 [mm] \pi +\bruch{1320}{\bruch{165}{ \pi}}$
[/mm]
f03. $g''(r)=4 [mm] \pi +\bruch{1320 \pi}{165}$ [/mm]
Es handelt sich hier um ein Minima, da die zweite Ableitung >0 ist
Jetzt werde ich (lokalen) Extremwerte von f(r,h) ohne Nebenbedingung bestimmen.
Funktion: $f(r, h)=2 [mm] \pi r^2+2 \pi [/mm] r h$
Jetzt bestimme ich den Gradient der Funktion:
$grad(f)(r, h)=(4 [mm] \pi [/mm] r + 2 [mm] \pi [/mm] h\ \ \ [mm] \green{,}\ [/mm] \ \ 2 [mm] \pi [/mm] r )$
Wir haben irgendetwas aufgeschrieben in der Vorlesung (bei dem ich mir nicht ganz sicher bin, bzw. das nicht so wirklich verstanden habe warum das so sein soll und deswegen nicht weiß, ob es so ist und zwar: Dass wenn man ein Maximum von einer Funktion bestimmen möchte, dann muss man den "negativen" Gradient bilden. Man muss dann die Funktion mit (-1) multiplizieren und dann nach ihren Vairablen ableiten um den Gradient aufstellen zu können. Stimmt das oder hab ich da was falsch verstanden?
Jetzt bestimme die "kritischen Stellen" (indem ich den Gradient 0 setze:
01a $4 [mm] \pi [/mm] r + 2 [mm] \pi [/mm] h=0$ | Setze 02b ein
02a $4 [mm] \pi [/mm] 0 + 2 [mm] \pi [/mm] h=0$
03a $2 [mm] \pi [/mm] h=0$
04a [mm] $\green{h=0}$ [/mm]
01b $2 [mm] \pi [/mm] r=0$
02b [mm] $\green{r=0}$ [/mm]
Jetzt müste ich die Hesse-Matrix aufstellen:
Zitat von Angela: Bevor Du das tust, denke nach.
1. Du hast ausgerechnet, daß man bei einem Dosenradius von 0 und einer Dosenhöhe von 0 ein Minimum oder Maximum der Funktionvorliegen könnte. Ein Maximum ist es keinesfalls.
2. Der Punkt (0,0) erfüllt nicht die Bedingung $ 330 - [mm] \pi [/mm] r^2h [mm] \le [/mm] 0 $ - welche ein Mindestvolumen für die Dose fordert.
Daher scheidet er aus dem Rennen ums globale Minimum aus.
Wir sind fertig. Der Punkt auf dem Rand, den Du oben bestimmt hast, ist's.
Es ist hier wirklich sinnlos, die Hessematrix aufzustellen. Wir machen es trotzdem.
[mm] H(r,h)=\pmat{4\pi & 2\pi \\ 2\pi & 0}.
[/mm]
Nun H(r,h) am kritischen Punkt betrachten:
[mm] H(0,0)=\pmat{4\pi & 2\pi \\ 2\pi & 0} [/mm] (da ist ja NIX einzusetzen!).
Die Determinante ist negativ. Wir haben im Punkt (0/0) eine Sattelfläche.
- - - - - - Ab hier NEU: - - - - - -
Determinanten berechnen (was eigentl. quatsch ist):
Dies tue ich nur nochmal zur Wiederholung für mich, denn es könnte ja sein dass ich in der Klausur selbst ausrechnen muss, dann muss ich das können. Falls ich etwas falsch mache bitte korrigieren.
g01. [mm] $det(4\pi)=( 4\pi) [/mm] $ >0
h01. [mm] $det(4\pi)=\pmat{4\pi & 2\pi \\ 2\pi & 0}$
[/mm]
h02. [mm] $=4\pi*0 [/mm] - [mm] 2\pi [/mm] * [mm] 2\pi$
[/mm]
h03. $= - [mm] 4\pi^2$ [/mm] <0
Die Hessematrix ist Indefinit, da sie einmal positiv Definit und einmal negativ Definit ist. Deshalb handelt es sich um einen Sattelpunkt.
Definitionen für Definitheit der Hessematrix:
Positiv definit - Minimum.
Negativ definit - Maximum.
Indefinit - Sattelpunkt.
Frage:
Hi Angela, du schreibst in deiner einen Antwort, dass ich den negativen Gradient nicht bestimmen muss. Könnte er mir Punkte abziehen, wenn ich das so mache wie wir es jetzt gemacht haben? Ich glaube er hatte auch mal irgendetwas gemeint, dass es manche Fälle gibt in denen das dann schief läuft wenn man es nicht so macht, oder habe ich da was falsch in Errinerung/falsch zugeordnet?
Danke für die Hilfe!
Danke
Grüße Thomas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:45 Mo 09.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Thomas!
Ist doch alles richtig bis dahin ...
> d02. [mm]4 \pi r-\bruch{660}{r^2}=0[/mm]
Fasse hier nun auf einem Bruchstrich zusammen, indem Du den ersten Term mit [mm] $r^2$ [/mm] erweiterst.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:05 Mo 09.07.2007 | | Autor: | KnockDown |
> Hallo Thomas!
>
>
> Ist doch alles richtig bis dahin ...
>
>
>
> > d02. [mm]4 \pi r-\bruch{660}{r^2}=0[/mm]
>
> Fasse hier nun auf einem Bruchstrich zusammen, indem Du den
> ersten Term mit [mm]r^2[/mm] erweiterst.
>
>
> Gruß
> Loddar
>
Hi Loddar,
danke. Ich habe das gemacht, jedoch führt es mich nicht weiter. Ich hab den eigentlichen Thread verbessert und erweitert und mein Problem nochmal "besser" erläutert.
Grüße Thomas
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Nur zur Sicherheit:
Ist Dir klar, daß Du im Moment dabei bist, die Extrema auf dem "Rand" [mm] 330-\pi [/mm] r^2h=0 des zu betrachtenden Gebietes zu berechnen?
Es ist völlig richtig, daß Du das tust - aber Du mußt die Funktion f(r,h) anschließend noch auf [mm] 330-\pi [/mm] r^2h<0 untersuchen, wie ich es eingangs beschrieben hatte.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:08 Mo 09.07.2007 | | Autor: | KnockDown |
> Nur zur Sicherheit:
>
> Ist Dir klar, daß Du im Moment dabei bist, die Extrema auf
> dem "Rand" [mm]330-\pi[/mm] r^2h=0 des zu betrachtenden Gebietes zu
> berechnen?
>
> Es ist völlig richtig, daß Du das tust - aber Du mußt die
> Funktion f(r,h) anschließend noch auf [mm]330-\pi[/mm] r^2h<0
> untersuchen, wie ich es eingangs beschrieben hatte.
>
> Gruß v. Angela
Hi Angela,
ja mir ist klar, dass ich die Funktion auf "=" untersuche. Wie kann ichd ie Funktion auf "<" untersuchen? An der entscheidenden Stelle hatte ich mir auch die Frage gestellt, wusste nicht weiter und dachte mir mache ich aus [mm] "$\le$" [/mm] ein "=".
Jetzt hänge ich so oder so. Also mit Lagrange hänge ich und mit der "Einsetz-Methode"
Danke
Grüße Thomas
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> ja mir ist klar, dass ich die Funktion auf "=" untersuche.
> Wie kann ichd ie Funktion auf "<" untersuchen?
Indem Du die (lokalen) Extremwerte von f(r,h) ohne Nebenbedingung bestimmst. Die Sache mit dem Gradienten und der Hessematrix. Wenn Du welche hast, guckst Du, ob sie in dem zu betrachtenden Gebiet liegen.
Aber mach jetzt ruhig erstmal den Rand zu Ende.
Gruß v. Angela
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Hallo,
warum soll das nicht sein können???
Du mußt bloß akzeptieren, daß das von Dir errechnete [mm] r=\wurzel[3]{\bruch{165}{\pi}} [/mm] eine Lösung ist.
Niemand wird von Dir erwarten, daß Du ohne Taschenrechner eine Dezimalzahl als Näherung angibst! [mm] r=\wurzel[3]{\bruch{165}{\pi}} [/mm] ist ein exaktes Ergebnis, und man konnte es gut ohne TR errechnen.
Oder liegt das Problem woanders? Hier vielleicht:
$ [mm] \bruch{4 \pi r^3 - 660}{r^2}=0 [/mm] $
Multipliziere auf beiden Seiten mit [mm] r^2, [/mm] dann erhältst Du
4 [mm] \pi r^3 [/mm] - [mm] 660=0*r^2=0,
[/mm]
und diese Gleichung wird dann gelöst.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:27 Mo 09.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Angela!
Ich erhalte hier als Lösung allerdings [mm] $r_E [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[3]{\bruch{165}{\pi}}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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> Hallo Angela!
>
>
> Ich erhalte hier als Lösung allerdings [mm]r_E \ = \ \wurzel[3]{\bruch{165}{\pi}}[/mm]
>
>
> Gruß
> Loddar
>
Ogottogott. Ich hab's verbessert...
Gruß v. Angela
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>
> Jetzt setze ich d09 in e02 ein:
>
> f01. [mm]g''(r)=4 \pi +\bruch{1320}{(\wurzel[3]{\bruch{165}{ \pi}})^3}[/mm]
>
> f02. [mm]g''(r)=4 \pi +\bruch{1320}{\bruch{165}{ \pi}}[/mm]
>
> f03. [mm]g''(r)=4 \pi +\bruch{1320 \pi}{165}[/mm]
>
> Es handelt sich hier um ein Minima, da die zweite Ableitung
> >0 ist
Es ist bis hierher alles richtig. Nur eins nicht: im Singular heißt das Ding Minimum. Ein Minimum, mehrere Minima.
Jetzt wäre es sinnvoll, wenn Du dieses minimale Dosenvolumen auch noch angeben würdest. Wir brauchen es vielleicht gleich.
>
>
>
>
> Jetzt werde ich (lokalen) Extremwerte von f(r,h) ohne
> Nebenbedingung bestimmen.
>
> Funktion: [mm]f(r, h)=2 \pi r^2+2 \pi r h[/mm]
>
>
>
>
> Jetzt bestimme ich den Gradient der Funktion:
>
> [mm]grad(f)(r, h)=(4 \pi r + 2 \pi h\ \ \ \green{,}\ \ \ 2 \pi r )[/mm]
>
> Wir haben irgendetwas aufgeschrieben in der Vorlesung (bei
> dem ich mir nicht ganz sicher bin, bzw. das nicht so
> wirklich verstanden habe warum das so sein soll und
> deswegen nicht weiß, ob es so ist und zwar: Dass wenn man
> ein Maximum von einer Funktion bestimmen möchte, dann muss
> man den "negativen" Gradient bilden. Man muss dann die
> Funktion mit (-1) multiplizieren und dann nach ihren
> Vairablen ableiten um den Gradient aufstellen zu können.
> Stimmt das oder hab ich da was falsch verstanden?
Man kann das so machen. Ich finde es verwirrend.
Du kannst es ohne das so machen: Gradient=0 setzen, kritische Punkte errechnen, dann anhand der Definitheit der Hessematrix auf Minimum oder Maximum prüfen - wie das geht, hatte ich Dir glaube ich am Wochenende schon erklärt.
Aber Du kannst auch nochmal in diesem Thread gucken.
>
>
>
>
> Jetzt bestimme die "kritischen Stellen" (indem ich den
> Gradient 0 setze:
>
> 01a [mm]4 \pi r + 2 \pi h=0[/mm] | Setze 02b ein
>
> 02a [mm]4 \pi 0 + 2 \pi h=0[/mm]
>
> 03a [mm]2 \pi h=0[/mm]
>
> 04a [mm]\green{h=0}[/mm]
>
>
> 01b [mm]2 \pi r=0[/mm]
>
> 02b [mm]\green{r=0}[/mm]
>
>
>
>
> Jetzt müste ich die Hesse-Matrix aufstellen:
Bevor Du das tust, denke nach.
1. Du hast ausgerechnet, daß man bei einem Dosenradius von 0 und einer Dosenhöhe von 0 ein Minimum oder Maximum der Funktionvorliegen könnte. Ein Maximum ist es keinesfalls.
2. Der Punkt (0,0) erfüllt nicht die Bedingung $ 330 - [mm] \pi [/mm] r^2h [mm] \le [/mm] 0 $ - welche ein Mindestvolumen für die Dose fordert.
Daher scheidet er aus dem Rennen ums globale Minimum aus.
Wir sind fertig. Der Punkt auf dem Rand, den Du oben bestimmt hast, ist's.
>
> Jedoch weiß ich hier nicht wie genau. Ich weiß zwar
> prinzipiell wie sie aussieht, aber ich weiß jetzt nicht wie
> ich das h=r=0 einbringen soll. Die Hesse-Matrix ist die
> zweite Ableitung. Dort wird der Gradient nochmal abgeleitet
> und sie ist immer "Quadratisch".
Es ist hier wirklich sinnlos, die Hessematrix aufzustellen. Wir machen es trotzdem.
[mm] H(r,h)=\pmat{4\pi & 2\pi \\ 2\pi & 0}.
[/mm]
Nun H(r,h) am kritischen Punkt betrachten:
[mm] H(0,0)=\pmat{4\pi & 2\pi \\ 2\pi & 0} [/mm] (da ist ja NIX einzusetzen!).
Die Determinante ist negativ. Wir haben im Punkt (0/0) eine Sattelfläche.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:47 Di 10.07.2007 | | Autor: | KnockDown |
Hi Angela,
danke fürs nachsehen und erklären! Ich hab die Aufgabe jetzt entgültig fertig gemacht, habe nochmal eine Frage dazu (zu dem negativen Gradient). Habe wieder den "Hauptpost" als Unbeantwortet markiert.
Lg Thomas
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> Es ist hier wirklich sinnlos, die Hessematrix aufzustellen.
> Wir machen es trotzdem.
>
> [mm]H(r,h)=\pmat{4\pi & 2\pi \\ 2\pi & 0}.[/mm]
>
> Nun H(r,h) am kritischen Punkt betrachten:
>
> [mm]H(0,0)=\pmat{4\pi & 2\pi \\ 2\pi & 0}[/mm] (da ist ja NIX
> einzusetzen!).
>
> Die Determinante ist negativ. Wir haben im Punkt (0/0) eine
> Sattelfläche.
>
>
> - - - - - - Ab hier NEU: - - - - - -
>
>
> Determinanten berechnen (was eigentl. quatsch ist):
> Dies tue ich nur nochmal zur Wiederholung für mich, denn
> es könnte ja sein dass ich in der Klausur selbst ausrechnen
> muss, dann muss ich das können. Falls ich etwas falsch
> mache bitte korrigieren.
>
>
> g01. [mm]det(4\pi)=( 4\pi)[/mm] >0
>
>
> h01. [mm]det(4\pi)=\pmat{4\pi & 2\pi \\ 2\pi & 0}[/mm]
h01. [mm]det\pmat{4\pi & 2\pi \\ 2\pi & 0}[/mm]
>
> h02. [mm]=4\pi*0 - 2\pi * 2\pi[/mm]
>
> h03. [mm]= - 4\pi^2[/mm] <0
>
> Die Hessematrix ist Indefinit, da sie einmal positiv
> Definit und einmal negativ Definit ist. Deshalb handelt es
> sich um einen Sattelpunkt.
Du meinst das Richtige, drückst es mathematisch verkehrt aus.
Du könntest einfach schreiben "ist nach Hurwitz indefinit, weil die Determinante der Matrix negativ ist".
pos definit= Determinante positiv, und oberes linkes Element positiv
neg definit= Determinante positiv, oberes linkes Element negativ
indefinit= Determinante negativ
semidefinit= Det. und/oder oberes linkes Element sind=0
(das gilt alles nur für symmetr. 2x2-Matrizen. Aber andere werden nicht vorkommen.)
>
> Definitionen für Definitheit der Hessematrix:
Kriterien, nicht Definitionen.
>
> Positiv definit - Minimum.
> Negativ definit - Maximum.
> Indefinit - Sattelpunkt.
semidefinit: weitere Untersuchungen nötig
Ja.
>
>
>
>
> Frage:
>
> Hi Angela, du schreibst in deiner einen Antwort, dass ich
> den negativen Gradient nicht bestimmen muss.
Hallo,
Du meinst die Beachtung der negativen Koordinate.
Das ist HIER so. Es ist so, weil es im Zusammenhang sinnlos ist.
Verallgemeinern kann man das nicht. Sobald die Aufgabe so ist, daß die neg. Werte sinnvoll sind, müssen sie berücksichtigt werden.
Das ist generell der Fall, wenn keine "Rechengeschichte" dazugehört.
Da mußt Du dann die weiteren Untersuchungen für beide Werte machen, und es sind prinzipiell Aufgaben denkbar, bei denen Du am Ende acht oder mehr kritische Punkte zur Auswahl hast. In Deiner Klausur wird das nicht der Fall sein.
> Könnte er mir
> Punkte abziehen, wenn ich das so mache wie wir es jetzt
> gemacht haben?
Nein - sofern Du durchblicken läßt, warum Du diesen Wert nicht weiter verfolgst. Du brauchst eine stichhaltige Begründung dafür. Die hatten wir. Und Du sparst u.U. eine Menge Zeit, wenn Du nicht nur den Stift, sondern auch das Hirn verwendest.
Wenn allerdings nur die Funktion mit Nebenbedingung (ohne Dosengeschichte) dort gestanden hätte, hättest Du alles untersuchen müssen.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:46 Di 10.07.2007 | | Autor: | KnockDown |
Hi Angela,
danke für die lange ausführliche Antwort!
Also ich habe verstanden bei Aufgaben die einfach nur eine Funktion geben muss ich sowohl positiven als auch negativen gradient prüfen. Wenn es um eine Funktion geht die z. B. nicht negativ werden kann (wie z. B. um Längen oder Flächen) muss nur den "positiven" gradient prüfen.
Ich werde dann in Zukunft auch nicht mehr schreiben dass die Determinante > oder < 0 ist sondern werde es mit dem Hurwitz begründen.
Danke fürs erklären!
Grüße Thomas
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Hallo,
das, was Du zu Deinem geplanten Vorgehen schreibst, klingt in höchstem Maße vernünftig.
Mach es so! Die Ergebnisse kannst Du ja gut vergleichen, indem Du die auf dem anderem Wege erhaltenen anschaust.
Fast wichtiger als die Rechnungen an sich ist, daß Dir die prinzipielle Vorgehensweise bei diesen Aufgaben klar ist - ich verweise auf mein Post mit der Beschreibung desLandschaftsreliefs.
Inzwischen wird dieser Thread aufgrund des Hin- und Herspringens und Änderns von alten Rechnungen extrem unübersichtlich.
Vielleicht kannst Du am Ende eine Zusammenfassung schreiben, in welcher Du die Aufgabe und das geplante Vorgehen erklärst und die wichtigsten Ergebnisse nennst.
So könnten dann Nachfolgende auch noch davon profitieren - und ich finde, daß es für Dich eine gute Übung wäre. (Wie gesagt - nicht die ganzen Rechenwege, sondern nur z.B.: "Nun wird der Gradient =0 gesetzt. Man erhält...")
Gruß v. Angela
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> Ich würde gerne nochmal meine Erkenntnisse kurz
> aufschreiben und bestätigt/korrigiert bekommen.
>
> 1. Vorteil von Lagrange, ich muss nicht Ableiten.
>
> 2. Ein weiterer Vorteil ist, dass ich bei dieser Funktion
> nur "einmal" prüfen musste um auf das Ergebnis zu kommen.
> Bei dem anderen Ergebnis habe ich einmal geprüft ob die
> Punkte auf dem Rad liegen "=" und musste dann nochmal
> prüfen ob sie im Bereich [mm]"\le"[/mm] liegen.
>
> 3. Ich brauche bei Lagrange keine Hessematrix und keinen
> Gradient.
>
>
> Stimmt das soweit? Gibt es noch etwas hinzuzufügen?
Nein, das stimmt so nicht. Wir müssen etwas sortieren.
Ich verzichte hier auf mathematische Korrektheit und versuche, Dir einen Maßstab in die Hand zu geben, der Dir im "Ernstfall Klausur" hilft.
- Aufgaben ohne Nebenbedingung
bearbeiten wir mit dem Gradienten und der Hessematrix. Wir bestimmen hier Gipfel und Talsohlen eines Gebietes.
Beispiel: bestimme die Extremwerte von f(x,y) auf ganz [mm] \IR^2
[/mm]
-Aufgaben, in denen die Extrema innerhalb eines "Gebietes ohne Rand" (Nebenbedingung mit "< oder >")
untersucht werden sollen, bearbeitest Du mit Gradient mit Hesse. Dann guckst Du, welche kritischen Punkte in Deinem Gebiet liegen.
Beispiel: bestimme die Extremwerte von f(x,y) innerhalb eines vorgegebenen Kreises. (Kreisscheibe ohne Rand)
- Aufgaben "auf dem Rand" (Nebenbedingung mit "=")
kannst Du mit Lagrange bearbeiten, oder indem Du sie zu Aufgaben, welche nur von einer Variablen abhängen, machst.
Der Vorteil des Lagrangeansatzes: Wenn Du z.B. die Nebenbedingung [mm] x^2-y^2=0 [/mm] hast, bedeutet dies [mm] y=\wurzel{x} [/mm] oder [mm] y=-\wurzel{x}. [/mm] Das hat zur Folge, daß Du u.U. beim aus f(x,y) zwei verschiedene Funktionen [mm] f_1(x) [/mm] und [mm] f_2(x) [/mm] erhältst, welche Du diskutieren mußt.
Wenn die Nebenbedingung so etwas nicht bereithält, ist das Einsetzen genausogut.
Beispiel: bestimme die Extremwerte von f(x,y) auf einem Kreisrand.
-Aufgaben, in denen ein "Gebiet mit Rand" (Nebenbedingung [mm] "\le [/mm] oder [mm] \ge") [/mm]
untersucht werden soll, erfordern eine Kombination aus Gradient mit Hesse und Lagrange/Einsetzen.
Hier untersucht man mit Gradient und Hesse zunächst den gesamten Def.bereich auf Extremwerte.
Anschließend stellt man fest, welche der ermittelten Werte innerhalb des fraglichen Bereiches liegen.
Danach untersucht man mit Lagrange/Einsetzen den Rand.
Beispiel: bestimme die Extremwerte von f(x,y) auf einer Kreisscheibe mit Rand.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | Die Aufgabe muss ohne Taschenrechner gelöst werden.
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Hi,
ich habe diese Aufgabe nochmal gerechnet.
Da ich jemand bin der ungerne "nachrechnet" habe ich die das Gleichungssystem ein klein wenig anders gelöst als in der richtigen Musterlösung die ich mit euch im Forum zusammen ausgearbeitet habe. Ich finde, wenn ich das exakt so nachrechne, dann heißt es nicht, dass ich es wirklich verstanden habe. Erst wenn ich wieder auf Probleme stoße lerne ich dazu.
Wie gesagt habe ich die Aufgabe etwas anders gerechnet und siehe da, ich hänge jetzt beim aller letzten Schritt und mir sind noch zwei, drei Fragen gekommen:
Wichtig: Die Rechenwege selbst müssen NICHT geprüft werden. Das habe ich bereits mit Derive getan bzw. auch mit der im Forum erstellten Musterlösung getan. Soweit stimmt alles. Wichtig sind mir nur die folgenden 3 Fragen.
1. Ich habe diese Aufgabe auf Extremstellen mit Lagrange geprüft. Aber in der Aufgabenstellung steht doch das kleiner Gleich. Heißt das, dass ich die eigentliche Funktion noch mit der Hesse-Matrix prüfen muss (ohne die Nebenbedingung) oder muss ich das NUR DANN tun, wenn ein kleiner/größer gleich in der eigentlichen Funktion steht?
2. Ich habe in Zeile 33 eine falsche Aussage stehen. Heißt das, dass die zuvor berechnete Nullstelle r=0 und h=0 keine Extremstelle ist und wegfallen, da dort eine unwahre Aussage heraus kommt?
3. Eine letzte Frage habe ich noch zu meinem Ergebnis, was soll ich damit jetzt tun? Ich stehe mal wieder vor meinem typischen Problem, dass ich nicht wirklich mehr weiß, was ich jetzt in was einsetzen muss um auf ein Ergebnis zu kommen. Wo muss ich das Ergebnis aus Zeile 40 einsetzen bzw. wo dürfte ich es auf keinen Fall einsetzen?
Ich habe nochmal ne Nacht drüber geschlafen *g* und heute morgen ist es mir glaub ich wie Schuppen von den Augen gefallen. Ich setze mein letztes Ergebnis in [mm] $r=\bruch{\lambda}{2}$ [/mm] ein, da doch der Dosenradius gesucht ist! Wäre die Höhe gesucht, würde ich es in die $h=\ ...$ einsetzen. Stimmt diese Überlegung?
Ich habe meine Aufgaben wieder in 2 Auflösungen hochgeladen.
Danke für die Hilfe!
Grüße Thomas
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> 1. Ich habe diese Aufgabe auf Extremstellen mit Lagrange
> geprüft. Aber in der Aufgabenstellung steht doch das
> kleiner Gleich. Heißt das, dass ich die eigentliche
> Funktion noch mit der Hesse-Matrix prüfen muss (ohne die
> Nebenbedingung) oder muss ich das NUR DANN tun, wenn ein
> kleiner/größer gleich in der eigentlichen Funktion steht?
Hallo,
rein mathematisch betrachtet mußt die "eigentliche" Funktion auch prüfen.
Mit Lagrange prüfst Du nur den den Rand, und es könnte ja sein, daß Du im anderen Bereich einen "besseren" Punkt findest.
Du mußt am Ende Deinen Randpunkt mit einem etwaigen anderen Minimum vergleichen. Mit den Daten des minimalen Minimum würdest Du Deine Dosen produzieren.
(Hier paßt eine Story: mein Mann war auf einer Mädchenschule. Der Mathe-LK Lehrer hat immer zu den Mädels (+ ihm...) gesagt:
"Wenn sie dann mal einen Dosenfabrikanten heiraten...")
>
> 2. Ich habe in Zeile 33 eine falsche Aussage stehen. Heißt
> das, dass die zuvor berechnete Nullstelle r=0 und h=0 keine
> Extremstelle ist und wegfallen, da dort eine unwahre
> Aussage heraus kommt?
Da kommt eine falsche Aussage heraus, weil diese Punkte gar nicht auf dem Rand des Gebietes liegen.
(Mit r=0 und h=0 hätte man ja auch eine reichlich bescheuerte Dose: eine nicht vorhandene nämlich... Das diese nicht da Volumen 330ml hat, leuchtet rein anschaulich sofort ein...)
Wenn Du jetzt weiterdenkst, ist es auch sofort klar, daß genau dies der Punkt (oder einer der Punkte) sein wird, wenn Du die eigentliche Funktion auf Minima testest. Der Materialberbrauch ist am geringsten, wenn man nicht produziert...
>
> 3. Eine letzte Frage habe ich noch zu meinem Ergebnis, was
> soll ich damit jetzt tun? Ich stehe mal wieder vor meinem
> typischen Problem, dass ich nicht wirklich mehr weiß, was
> ich jetzt in was einsetzen muss um auf ein Ergebnis zu
> kommen. Wo muss ich das Ergebnis aus Zeile 40 einsetzen
> bzw. wo dürfte ich es auf keinen Fall einsetzen?
>
> Ich habe nochmal ne Nacht drüber geschlafen *g* und heute
> morgen ist es mir glaub ich wie Schuppen von den Augen
> gefallen. Ich setze mein letztes Ergebnis in
> [mm]r=\bruch{\lambda}{2}[/mm] ein, da doch der Dosenradius gesucht
> ist! Wäre die Höhe gesucht, würde ich es in die [mm]h=\ ...[/mm]
> einsetzen. Stimmt diese Überlegung?
Wie ich es sehe hast Du nun ein [mm] \lambda. [/mm] Mit diesem kannst Du, indem Du in Zeile 30/34 gehst, den passenden Radius und die Höhe ausrechnen.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | Die Aufgabe muss ohne Taschenrechner gelöst werden.
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Hi Angela,
danke nochmal für die Erklärung. Da bin ich beruhigt, dass ich das richtig verstanden hatte, dass man die Funktion eigentlich noch streng genommen mit der Hesse-Matrix prüfen muss.
Ich habe die Aufgabe jetzt auf insgesamt 4 "etwas" unterschiedlichen Wegen gerechnet und komme immer auf das selbe. Das beruhigt :)
Mir ist jetzt noch eine Verständnisfrage gekommen:
Zwischen dieser Aufgabe: [Dateianhang nicht öffentlich]
und dieser: [Dateianhang nicht öffentlich]
gibt es einen grundlegenden Unterschied. Mir ist das glaub ich heute erst so richtig bewußt geworden.
Der Unterschied liegt darin, dass ich in der ersten Aufgabe nur das r suche. Es gibt auch in diesem Fall nur ein optimales r. Dieses r hängt auch nicht von h ab. Man könnte in dieser Aufgabe noch das "optimale" h (Höhe) berechnen, was aber nicht gesucht ist.
In der zweiten Aufgabe werden zwei Koordinatenpaare gesucht [mm] $x_1, y_1$ [/mm] und [mm] $x_2, y_2$ [/mm] die einmal Minima und einmal Maxima sind.
Prinzipiell werden sie gleich gelöst, doch es gibt einen Unterschied in der Herangehensweise beim lösen des LGS. Ich könnte in der Dosenaufgabe mehr Lösungen erhalten, die ich nicht brauche. In der Kreisaufgabe benötige ich alle Ergebnisse die das LGS liefert, um sie im Anschluss zu untersuchen. Von daher muss ich mir bei einer Optimierungsaufgabe mit "Fall" beim lösen des LGS gedanken machen, was will ich, was wird gesucht. Bei z. B. so einer Kreisaufgabe, muss ich einfach alle Punkte finden und im Anschluss prüfen.
Stimmt das was ich da sage?
Vielen Dank für alles!
Grüße Thomas
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> Zwischen dieser Aufgabe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
>
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> und dieser:
[Dateianhang nicht öffentlich]
>
>
> gibt es einen grundlegenden Unterschied. Mir ist das glaub
> ich heute erst so richtig bewußt geworden.
Hallo,
die Aufgaben unterscheiden sich, aber ich glaube, sie unterscheiden sich an einer anderen Stelle als Du meinst.
Der gravierende Unterschied ist, daß in der zweiten Aufgabe nur Untersuchungen auf dem Rand ( [mm] (x-3)^2+(y-4)^2=1) [/mm] nötig sind.
In der ersten Aufgabe muß der Rand [mm] (330-\pi [/mm] r^2h=0) untersucht werden, zusätzlich das riesige Gebiet [mm] 330-\pi [/mm] r^2h>0.
Deshalb brauchst Du bei Aufgabe 2. nur Lagrange, bei Aufg. 1 Lagrange und die "gewöhnliche" Extremwertberechnung v. Funktionen mit 2 Variable.
In der oberen Aufgabe berechnest Du zusammenpassende (r,h), genau wie Du unten passende (x,y) berechnest.
Aufgrund der Thematik interessiert in der Dosenaufgabe nur das Minimum.
>
>
> Der Unterschied liegt darin, dass ich in der ersten Aufgabe
> nur das r suche. Es gibt auch in diesem Fall nur ein
> optimales r. Dieses r hängt auch nicht von h ab. Man könnte
> in dieser Aufgabe noch das "optimale" h (Höhe) berechnen,
> was aber nicht gesucht ist.
Gesucht ist in dieser Aufgabe ein Idealkombination von r und h. (Unter Nebenbedingung) Und diese Idealkombination (auf dem Rand) hast Du mit Deinem Lagrangeverfahren berechnet.
Du hast nicht nur das optimale r bestimmt, denn die beiden müssen zusammenpassen. Du hast doch das errechnete [mm] \lambda [/mm] in r und h eingesetzt.
Wir hatten gaz zu Anfang unserer Extremwertbemühungen mal das Verfahren, mithilfe der Nebenbedingung eine Variable zu eliminieren, und dann eine Extremwertaufgabe in Abhängigkeit von einer Variablen zu berechnen (- ein Verfahren, welches manchmal Schwächen hatte, wenn die nebenbedingung nämlich keine Funktion war). Hier würdest Du das optimale r berechnen und bkämst mit der NB das passende h. Oder Du würdest das optimale h errechnen und erhieltest mit der NB das passende r. Die Ergebnispaare wären gleich.
>
>
> In der zweiten Aufgabe werden zwei Koordinatenpaare gesucht
> [mm]x_1, y_1[/mm] und [mm]x_2, y_2[/mm] die einmal Minima und einmal Maxima
> sind.
Ja. In der zweiten Aufgabe interessierten beide Extremwerte auf dem Rand.
> Von daher muss ich mir bei einer
> Optimierungsaufgabe mit "Fall" beim lösen des LGS gedanken
> machen, was will ich, was wird gesucht. Bei z. B. so einer
> Kreisaufgabe, muss ich einfach alle Punkte finden und im
> Anschluss prüfen.
>
>
> Stimmt das was ich da sage?
Das mit dem "Gedanken machen" kann einem viel Mühe, Irrwege und Irritation ersparen.
Weil Dosen mit dem Dosenradius 0 eben keine Dosen sind.
Gruß v. Angela
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Hi Angela,
aufgrund deiner Antwort ist mir jetzt noch eine Frage gekommen.
Also müsste ich korrekterweise zu der Dosenaufgabe das entsprechende h angeben, da du sagtest es nach dem optimalen r in Kombination mit h gesucht um die Nebenbedinung zu erfüllen.
Diese Lösung habe ich auch heute errechnet (nur um mal wieder das Lösen des LGS auf einem anderen Weg zu üben)
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Korrekt müsste ich dann folgendes als Lösung angeben:
[mm] $r=\bruch{165}{\pi}$ [/mm] und dann müsste ich dieses r noch in h einsetzen:
[mm] $h=\bruch{330}{\pi * r^2}=\bruch{330}{\pi* (\bruch{165}{\pi})^2}=\bruch{330}{\pi* (\bruch{165^2}{\pi^2})}=\bruch{330}{\bruch{165^2}{\pi}}=\bruch{330*\pi}{165^2}$
[/mm]
Was mir auch noch an Unterschied aufgefallen ist, ich muss hier nicht mehr in die eigentliche Funktion einsetzen. Warum? Bei der Kreisaufgabe habe ich doch meine erechneten Werte in die Funktion eingesetzt. Habe ich das deshalb nur in die Funktion eingesetzt um zu prüfen ob es ein Maximum oder Minimum ist, aber die eigentlichen Werte sind die, die ich heraus bekommen habe vor dem einsetzen in die Funktion?
Danke
Grüße Thomas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Korrekt müsste ich dann folgendes als Lösung angeben:
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> [mm]r=\bruch{165}{\pi}[/mm] und dann müsste ich dieses r noch in h
> einsetzen:
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> [mm]h=\bruch{330}{\pi * r^2}=\bruch{330}{\pi* (\bruch{165}{\pi})^2}=\bruch{330}{\pi* (\bruch{165^2}{\pi^2})}=\bruch{330}{\bruch{165^2}{\pi}}=\bruch{330*\pi}{165^2}[/mm]
Genau.
Nun wüßte der Dosenfabrikant, was er zu tun hat, welche Stücke er zuschneiden muß.
> Was mir auch noch an Unterschied aufgefallen ist, ich muss
> hier nicht mehr in die eigentliche Funktion einsetzen.
> Warum? Bei der Kreisaufgabe habe ich doch meine erechneten
> Werte in die Funktion eingesetzt. Habe ich das deshalb nur
> in die Funktion eingesetzt um zu prüfen ob es ein Maximum
> oder Minimum ist,
Ja.
Das brauchtest Du bei Deinen Dosen nicht zu tun. Dort waren die ganze Zeit nur zwei mögliche r im Spiel, r=0 und das andere. r=0 konnte sofort ausscheiden, weil man damit sicher kein max. Dosenvolumen bekommen kann.
Mein Rat fürs Auflösen der Gleichungssysteme, welche ja übrigens nicht immer linear sind:
sieh zu, daß Du möglichst als erstes das [mm] \lambda [/mm] ausrechnest, also [mm] \lambda=... [/mm] bestimmst, und es anschließend aus den verbleibenden Gleichungen herauswirfst. Dieses [mm] \lambda [/mm] ist ja eine reine Hilfsvariable, welche im Grunde überhaupt nicht interessiert. Sie ist ein lediglich Mittel zum Zweck.
> aber die eigentlichen Werte sind die, die
> ich heraus bekommen habe vor dem einsetzen in die
> Funktion?
Du gibtst die beiden berechneten Punkte an, und sagst: "dieser ist ein Minimum, weil f(diesem)=..., und der andere ein Maximum, weil f(anderer)=...)".
Gruß . Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:49 So 29.07.2007 | | Autor: | KnockDown |
Hi Angela,
danke für den Tip mit dem Lambda. Ich werde jetzt nochmal die Kreisaufgabe rechnen und diesmal deinen Raat beherzigen und das Lambda als erstes auflösen um es zu "eliminieren".
Ich hatte das bisher immer so gemacht beim lösen, dass ich mir überlegt habe, wie ich möglichst einfach nach Variablen auflösen kann. Wenn ich gesehen habe L'(r) geht gut nach h auflösen hab ich das gemacht und L'(lambda) geht gut nach r auflösen hab ich das auch gemacht etc.
Ich habe festgestellt, dass es nicht gleichermaßen Sinnvoll ist nach Variablen aufzulösen die in einer Gleichung drin sind. Habe ich eine Gleichung mit h und [mm] r^2 [/mm] ist es sinnvoller nach h aufzulösen, da ich dann keine Wurzel habe. Ich hatte das mal am PC durchprobiert, wenn ich manche der drei Gleichungen nach einer "schlechten" vorkommenden Variable auflöse, dann kommt ein riesig großes Ergebnis heraus, was ich mit der Hand hätte schlecht errechnen können (ich hatte nur die Reellen Lösungen zugelassen und nicht die Komplexen).
Grüße Thomas
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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hi Angela,
ich habe eine Frage zu deinem Tip. Ich wollte es nach deinem Tip lösen indem ich nach Lambda auflöse und dann am Ende Lambda eliminieren kann.
Die Musterlösung der Aufgabe ist hier: https://matheraum.de/read?i=281366, dort habe ich nach x und y aufgelöst und diese in die dritte Gleichung eingesetzt. Damit komme ich zum Ziel.
Ich habe diesmal nach Lambda aufgelöst aber auf diesem Wege komme ich nicht weiter.
Könntest du mir sagen was ich ab dieser Stelle machen könnte?
Danke
Grüße Thomas
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hi Angela,
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> ich habe eine Frage zu deinem Tip. Ich wollte es nach
> deinem Tip lösen indem ich nach Lambda auflöse und dann am
> Ende Lambda eliminieren kann.
Hallo,
dieser Tip war eher so zu verstehen: im allgemeinen geht es besser, wenn man zuerst nach [mm] \lambda [/mm] auflöst.
Man hat es aber hier ja nicht generell mit linearen GS zu tun.
Wenn also der Aufwand fürs Auflösen nach [mm] \lambda [/mm] sehr groß ist, macht man das natürlich nicht so.
Achtung:
Du hast in der vorletzten Zeile
[mm] -x=(x-3)\lambda [/mm]
Wenn Du nun durch (x-3) dividierst, mußt Du schreiben: "Für [mm] x\not=3", [/mm] denn Du mußt sicherstellen, daß Du nicht versehentlich durch Null dividierst. Den Fall x=3 würdest Du später untersuchen.
Mit [mm] \lambda=\bruch{x}{3-x} [/mm] kannst Du in [mm] 0=L_y(x,y,\lambda) [/mm] gehen:
[mm] 0=2y+2\lambda [/mm] y [mm] -8\lambda=2y(1+\lambda)-8\lambda
[/mm]
<==> [mm] y=\bruch{4\lambda}{1+\lambda} [/mm] (für [mm] \lambda\not=1.)
[/mm]
<==> y=4 [mm] \bruch{\bruch{x}{3-x}}{1+\bruch{x}{3-x}}= [/mm] 4 [mm] \bruch{\bruch{x}{3-x}}{\bruch{3}{3-x}}=4\bruch{x}{3}
[/mm]
für [mm] (1\not=\bruch{x}{3-x} [/mm] <==> [mm] x\not=\bruch{3}{2}. x=\bruch{3}{2} [/mm] später!)
Mit diesem y (hoffentlich habe ich mich nicht verrechnet...) gehst Du dann in die Nebenbedingung [mm] L_{lambda}(x,y,\lambda)=(x-3)^2+(y-4)^2=1 [/mm] und kannst nach y auflösen.
Zu dem (oder den) y errechnest Du dann mit [mm] y=4\bruch{x}{3} [/mm] (jeweils) das passende x.
Jetzt gucken wir noch, was für x=3 und [mm] x=\bruch{3}{2} [/mm] passiert.
x=3:
Setzt man das in [mm] L_x=0 [/mm] ein, steht da 6=0.
Es kann also keine Lösung (x,y) mit x=3 geben.
[mm] x=\bruch{3}{2}: [/mm] Dann ist [mm] \lambda=1 [/mm] und wieder ergibt sich in [mm] L_x=0 [/mm] ein Widerspruch, also gibt's keine Lösung [mm] (\bruch{3}{2},y).
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:57 So 29.07.2007 | | Autor: | KnockDown |
Ich glaube ich hab da etwas übersehen.
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