Optimierungsaufgabe 7 < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Die Aufgabe muss ohne Taschenrechner gelöst werden.
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Funktion: $f(x, [mm] y)=(4x^2+y^2)*exp(-x^2-4y^2)$ [/mm]
Gradient: $grad(f)(x, [mm] y)=\green{8x*exp(-x^2-4y^2)*(-2x)}\ [/mm] \ , \ [mm] \red{2y*exp(-x^2-4y^2)*(-8y)}$ [/mm]
$grad(f)(x, [mm] y)=\green{-16x^2*exp(-x^2-4y^2)}\ [/mm] \ , \ [mm] \red{-16y^2*exp(-x^2-4y^2)}$ [/mm]
Nullstellen:
[mm] $\green{-16x^2*exp(-x^2-4y^2)}=0$
[/mm]
[mm] $-16x^2*exp(-x^2-4y^2)=0$
[/mm]
Ab hier hänge ich, wie soll ich denn jetzt die Nulstellen bestimmen können?
Danke
Grüße Thomas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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> [mm]\green{-16x^2*exp(-x^2-4y^2)}=0[/mm]
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> [mm]-16x^2*exp(-x^2-4y^2)=0[/mm]
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> Ab hier hänge ich, wie soll ich denn jetzt die Nulstellen
> bestimmen können?
Hallo,
bedenke, daß "e hoch irgendwas" niemals Null wird. Du kannst also ungestraft dadurch dividieren.
Allerdings sieht Dein Gradient nicht richtig aus: Du mußt doch da mit der Produktregel ableiten.
Gruß v. Angela
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Hi Angela,
danke für die Antwort! Oh man wieso hab ich das wieder übersehen, klar Produktregel :( Also nochmal:
Die Aufgabe muss ohne Taschenrechner gelöst werden.
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Funktion: $f(x, [mm] y)=(4x^2+y^2)*exp(-x^2-4y^2)$ [/mm]
Gradient: $grad(f)(x, [mm] y)=\green{8x*exp(-x^2-4y^2) + (4x^2+y^2)*exp(-x^2-4y^2)*(-2x)}\ [/mm] \ , \ [mm] \red{2y)*exp(-x^2-4y^2) + (4x^2+y^2)*exp(-x^2-4y^2)*(-8y)}$ [/mm]
$grad(f)(x, [mm] y)=\green{8x*exp(-x^2-4y^2) + (-8x^3-2x*y^2)*exp(-x^2-4y^2)}\ [/mm] \ , \ [mm] \red{2y*exp(-x^2-4y^2) + (-32x^2y-8y^3)*exp(-x^2-4y^2)}$
[/mm]
Stimmt das jetzt soweit?
Danke
Grüße Thomas
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Hallo
so weit ist´s o.k.
Gruß korbinian
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> Funktion: [mm]f(x, y)=(4x^2+y^2)*exp(-x^2-4y^2)[/mm]![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Gradient: [mm]grad(f)(x, y)=\green{8x*exp(-x^2-4y^2) + (4x^2+y^2)*exp(-x^2-4y^2)*(-2x)}\ \ , \ \red{2y)*exp(-x^2-4y^2) + (4x^2+y^2)*exp(-x^2-4y^2)*(-8y)}[/mm]
>
> Nullstellen vom "1. Teil des Gradienten bestimmen" (nach x
> auflösen):
>
> a01. [mm]8x*exp(-x^2-4y^2) + (-8x^3-2x*y^2)*exp(-x^2-4y^2)}=0[/mm]
> Nullstellen x: [mm]\blue{x_{1_1}=0}[/mm]
> [mm]\blue{x_{1_2}=\bruch{\wurzel{4-y^2}}{2}}[/mm]
> [mm]\blue{x_{1_3}=-\bruch{\wurzel{4-y^2}}{2}}[/mm]
Nun hast Du drei mögliche (Formen von) Nullstellen gefunden.
Es ist am übersichtlichen, wenn Du mit diesen getrennt in die zweite Komponente des Gradienten gehst, also folgendes
berechnest:
1. Welche y kommen für [mm] x_1=0 [/mm] infrage?
[mm] 0={2y)*exp(-0^2-4y^2) + (4*0^2+y^2)*exp(-0^2-4y^2)*(-8y)}
[/mm]
[mm] <==>0=2y+(4*0^2+y^2)*(-8y)
[/mm]
usw.
2. Welche y kommen für [mm] x_2=\bruch{\wurzel{4-y^2}}{2} [/mm] infrage?
[mm] 0=2y+(4*(\bruch{\wurzel{4-y^2}}{2})^2+y^2)*(-8y)
[/mm]
Hier erhältst Du eine oder mehrere konkrete Zahlen für y, und Du kannst dann mit [mm] x_2=\bruch{\wurzel{4-y^2}}{2} [/mm] jeweils die passende x-Komponente bestimmen.
3. Analog für [mm] x_3=-\bruch{\wurzel{4-y^2}}{2}
[/mm]
Als Ergebnis hältst Du dann die kritischen Punkte in der Hand.
Gruß v. Angela
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Die Aufgabe muss ohne Taschenrechner gelöst werden.
| Aufgabe | [Dateianhang nicht öffentlich]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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Funktion: $f(x, y)=(4x^2+y^2)*exp(-x^2-4y^2)$
Gradient: $grad(f)(x, y)=\green{8x*exp(-x^2-4y^2) + (4x^2+y^2)*exp(-x^2-4y^2)*(-2x)}\ \ , \ \red{2y*exp(-x^2-4y^2) + (4x^2+y^2)*exp(-x^2-4y^2)*(-8y)}$
$grad(f)(x, y)=\green{8x*exp(-x^2-4y^2) + (-8x^3-2x*y^2)*exp(-x^2-4y^2)}\ \ , \ \red{2y*exp(-x^2-4y^2) + (-32x^2y-8y^3)*exp(-x^2-4y^2)}$
Auflösen vom "1. Teil des Gradienten bestimmen" (nach x auflösen):
a01. $8x*exp(-x^2-4y^2) + (-8x^3-2x*y^2)*exp(-x^2-4y^2)}=0$
a02. $8x -8x^3-2x*y^2=0$
a03. $\blue{x}*(8 -8x^2-2y^2)=0$ $\blue{x_1}=0}$
a04. $(8 -8x^2-2y^2)=0$
a05. $4 -4x^2-y^2=0$
a06. $-4x^2=y^2-4$
a07. $4x^2=4-y^2$
a08. $4x^2=4-y^2$
a09. $x^2=\bruch{4-y^2}{4}$
Auflösen vom "2. Teil des Gradienten bestimmen" (nach x auflösen):
c01. $2y*exp(-x^2-4y^2) + (-32x^2y-8y^3)*exp(-x^2-4y^2)=0$
c02. $2y + (-32x^2y-8y^3)=0$
c03. $2y + (-32x^2y-8y^3)=0$
c04. $2y -32x^2y-8y^3=0$
c05. $\blue{y}*(2 -32x^2-8y^2)=0$ $\blue{y_1}=0}$
c06. $2 -32x^2-8y^2=0$
c07. $1 -16x^2-4y^2=0$
c08. $-16x^2=4y^2-1$
c08. $16x^2=1-4y^2$
c09. $x^2=\bruch{1-4y^2}{16}$
Nullstellen: $\red{(0,0)}$
a03. $\blue{x_1}=0}$ in in c06. $2 -32x^2-8y^2=0$
d01. $2 -32*0-8y^2=0$
d02. $2 -8y^2=0$
d03. $-8y^2=-2$
d04. $8y^2=2$
d05. $y^2=\bruch{2}{8}$
d06. $y^2=\bruch{1}{4}$
d07. $y=\wurzel{\bruch{1}{4}}$
d08. $\blue{y=\bruch{1}{2}}$ und $\blue{y=-\bruch{1}{2}}$
Nullstellen: $\red{(0, \bruch{1}{2}), (0, -\bruch{1}{2})}$
a09. $x^2=\bruch{4-y^2}{4}$ in c06. $2 -32x^2-8y^2=0$
$2 -32(\bruch{4-y^2}{4})-8y^2=0$
$2 -8(4-y^2)-8y^2=0$
$2 -32+8y^2-8y^2=0$
$-3+8y^2-8y^2=0$
$-3=0$ falsche Aussage, daher keine Nullstelle
$\blue{y_1}=0}$ in a03. $8 -8x^2-2y^2=0$
$8 -8x^2-2*0=0$
$8 -8x^2=0$
$-8x^2=-8$
$8x^2=8$
$x^2=1$
$x=1$ und $x=-1$
Nullstellen: $\red{(1,0), (-1,0)}$
Nullstellen zusammengefasst:
$\red{(0,0),\ \ (0, \bruch{1}{2}),\ \ (0, -\bruch{1}{2}),\ \ (1,0),\ \ (-1,0)}$
Danke Grüße Thomas
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Hallo,
ich habe die Rechenwege nicht einzeln verfolgt, aber da Du dieselben kritischen Punkte berechnet hast wie ich auf meinem Zettel, gehe ich davon aus, daß Du es richtig gemacht hast.
Kanditaten für einen lokalen Extremwert sind also
$ [mm] \red{(0,0),\ \ (0, \bruch{1}{2}),\ \ (0, -\bruch{1}{2}),\ \ (1,0),\ \ (-1,0)} [/mm] $ .
Nun wäre in bewährter Manier zu untersuchen, welcher Art diese Stellen sind.
Wichtig an den Berechnungen zuvor war das systematische Vorgehen:
aus der ersten Komponente des Gradienten hast Du so viel Information gezogen wie möglich über eine Komponente des kritischen Punktes.
Indem Du mit diesen Informationen getrennt in die zweite Komponente gegangen bist, konntest Du "passende Partner", also die jeweils fehlende Komponente des krit. Punktes, berechnen.
Gruß v. Angela
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