Optimierungsproblem < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:41 Mo 26.01.2009 | | Autor: | tynia |
| Aufgabe | Gegeben ist das folgende Minimierungsproblem:
[mm] f(x)=x_{1}+x_{2}
[/mm]
Nebenbedingungen:
[mm] g_{1}(x)=5-x_{1}-2x_{2} \le [/mm] 0
[mm] g_{2}(x)=\bruch{1}{x_{1}}+\bruch{1}{x_{2}}-2 \le [/mm] 0
a) Zeichne die Höhenlinien von f und den zulässigen Bereich! |
Hallo. Ich habe eine Frage zu der Aufgabe:
Ich habe die Aufgabe so gelöst:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Meiner Meinung nach ist der der blau ausgemalte Bereich der zulässige. In der Vorlesung wurde aber gesagt, dass der blau gestrichelte Bereich der zulässige ist.
Die Nebenbedingungen sind doch beide [mm] \le [/mm] 0, deshalb kann das blau-gestrichelte doch nicht richtig sein,oder?
Kann mir da jemand weiterhelfen? Danke schonmal.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hi du,
> Meiner Meinung nach ist der der blau ausgemalte Bereich der
> zulässige. In der Vorlesung wurde aber gesagt, dass der
> blau gestrichelte Bereich der zulässige ist.
>
> Die Nebenbedingungen sind doch beide [mm]\le[/mm] 0, deshalb kann
> das blau-gestrichelte doch nicht richtig sein,oder?
Das siehst du völlig richt. Da frag nochmal beim Dozenten nach, ob du Ihn da nicht ggf. falsch verstanden hast. Der blau ausgemalte Bereich wäre der Lösungsbereich  !
Liebe Grüße
Analytiker
![[lehrer]](/images/smileys/lehrer.gif "[lehrer]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:49 Mo 26.01.2009 | | Autor: | tynia |
Ich dachte schon, jetzt verstehe ich gar nix mehr.
Danke schön nochmal
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> Gegeben ist das folgende Minimierungsproblem:
>
> [mm]f(x)=x_{1}+x_{2}[/mm]
>
> Nebenbedingungen:
> [mm]g_{1}(x)=5-x_{1}-2x_{2} \le[/mm] 0
> [mm]g_{2}(x)=\bruch{1}{x_{1}}+\bruch{1}{x_{2}}-2 \le[/mm] 0
>
> a) Zeichne die Höhenlinien von f und den zulässigen
> Bereich!
> Hallo. Ich habe eine Frage zu der Aufgabe:
>
> Ich habe die Aufgabe so gelöst:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
>
> Meiner Meinung nach ist der der blau ausgemalte Bereich der
> zulässige. In der Vorlesung wurde aber gesagt, dass der
> blau gestrichelte Bereich der zulässige ist.
>
> Die Nebenbedingungen sind doch beide [mm]\le[/mm] 0, ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
das überlegst du dir wohl ein bisschen zu einfach ...
> deshalb kann
> das blau-gestrichelte doch nicht richtig sein,oder?
>
> Kann mir da jemand weiterhelfen? Danke schonmal.
Hallo tynia,
Um das mit den Vorzeichen richtig hinzukriegen, setzt
man am besten die Koordinaten von einzelnen Punkten
diesseits und jenseits der Grenzlinien [mm] g_i(x)=0 [/mm] in die
Funktionen [mm] g_i(x) [/mm] ein. Hier für [mm] g_1 [/mm] also zum Beispiel
den Punkt P(2/1) im blau ausgemalten Bereich und
Q(4/2) im gestrichelten Gebiet. Die Rechnung ergibt:
in P: [mm] g_{1}(x)=5-x_{1}-2x_{2}=5-2-2*1=1, [/mm] also >0
in Q: [mm] g_{1}(x)=5-x_{1}-2x_{2}=5-4-2*2=-3, [/mm] also <0
Konsequenz ??
Noch eine Bemerkung: Als Grenzlinie [mm] g_2(x) [/mm] hast du nur
den Teil der entsprechenden Hyperbel mit [mm] x>\bruch{1}{2}
[/mm]
gezeichnet. Grundsätzlich wären ja vielleicht auch kleinere
positive und auch negative x-Werte zugelassen, das heisst
man müsste wohl die ganze Hyperbel (ausser dem
Punkt O(0/0), wo [mm] g_2 [/mm] nicht definiert ist) berücksichtigen.
Im vorliegenden Fall fallen allerdings diese Möglichkeiten
(mit der richtig interpretierten Bedingung [mm] g_1) [/mm] weg.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Mo 26.01.2009 | | Autor: | tynia |
Ich verstehe das nicht. Was ist die Konsequenz? Kannst du mir das erklären?
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> Ich verstehe das nicht. Was ist die Konsequenz? Kannst du
> mir das erklären?
Der Punkt (2|1) liegt im blau angemalten Gebiet.
Es ist
> $ [mm] g_{1}(x)=5-x_{1}-2x_{2}=5-2-2\cdot{}1=1, [/mm] $ also >0,
also liegt der Punkt (2|1) nicht in dem Bereich mit [mm] g_{1}(x)=5-x_{1}-2x_{2}\le [/mm] 0.
Daran kannst Du dann sehen, daß doch der blau gestichelte der Bereich mit [mm] g_{1}(x)=5-x_{1}-2x_{2}\le [/mm] 0 ist.
Ich forme mir so etwas immer so um, daß ich links [mm] x_2 [/mm] stehen habe, hier also:
[mm] 5-x_{1}-2x_{2}\le [/mm] 0
<==>
[mm] x_{2}\ge -0.5(x_1 [/mm] -5),
und wenn's so dasteht weiß ich: "oberhalb des Graphen".
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Mo 26.01.2009 | | Autor: | tynia |
Ich forme nach [mm] x_{2} [/mm] um, weil die Gleichung [mm] f(x)=y=x_{2}= [/mm] ax+b lautet, oder? ich glaube, ich habe es kapiert.  Danke nochmal.
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> Ich forme nach [mm]x_{2}[/mm] um, weil die Gleichung [mm]f(x)=y=x_{2}=[/mm]
> ax+b lautet, oder?
Hallo,
ja, für Geraden ist das so, und generell ist man es ja gewohnt, Funktionen in Abhängigkeit von x (bzw. [mm] x_1) [/mm] ins Koordinatensystem einzutragen.
ich glaube, ich habe es kapiert.
Gut.
Gruß v. Angela
> Danke nochmal.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 Do 29.01.2009 | | Autor: | tynia |
Zu der obigen Aufgabe mussten wir die Lagrangemultiplikatoren bestimmen. Ich habe dazu folgendes aufgeschrieben:
[mm] f(x)=x_{1}+x_{2}
[/mm]
Nebenbedingungen:
[mm] g_{1}(x)=5-x_{1}-2x_{2}\le [/mm] 0;
[mm] g_{2}(x)=\bruch{1}{x_{1}}+\bruch{1}{x_{2}}\le [/mm] 0
[mm] L(x,\lambda)=x_{1}+x_{2}+\lambda_{1}(5-x_{1}-2x_{2})+\lambda_{2}(\bruch{1}{x_{1}}+\bruch{1}{x_{2}}-2)
[/mm]
[mm] \lambda_{1}(5-x_{1}-2x_{2})=0
[/mm]
[mm] \lambda_{2}(\bruch{1}{x_{1}}+\bruch{1}{x_{2}}-2)=0
[/mm]
[mm] \bruch{\partial L}{\partial x_{1}}=1-\lambda_{1}-\lambda_{2}*\bruch{1}{x_{1}^{2}}=0
[/mm]
[mm] \bruch{\partial L}{\partial x_{2}}=1-2\lambda_{1}-\lambda_{2}*\bruch{1}{x_{2}^{2}}=0
[/mm]
1.Fall: [mm] \lambda_{2}=0: 1-\lambda_{1}=0=1-2\lambda_{1} [/mm] Widerspruch!!!
2.Fall: [mm] \lambda_{1}=0: 1-\lambda_{2}*\bruch{1}{x_{1}^{2}}=1-\lambda_{2}*\bruch{1}{x_{2}^{2}}=0 \Rightarrow x_{1}=\pm x_{2}
[/mm]
a) [mm] x_{1}=x_{2} \Rightarrow \bruch{2}{x_{1}}-2=0 \Rightarrow x_{1}=1=x_{2} [/mm] Widerspruch!!! liegt nicht im gültigen Bereich
[mm] b)x_{1}=-x_{2} \Rightarrow [/mm] -2=0 Widerspruch!!!
[mm] \Rightarrow [/mm]
[mm] 5-x_{1}-2x_{2}= [/mm] 0
[mm] \bruch{1}{x_{1}}+\bruch{1}{x_{2}}= [/mm] 0
Daraus macht man jetzt ein Gleichungssystem und löst es. Man erhält:
[mm] x_{1}=\bruch{9}{4}\pm\bruch{\wurzel{41}}{4}; x_{2}=\bruch{11}{8}\pm\bruch{\wurzel{41}}{8};\lambda_{2}=\bruch{x_{1}^{2}x_{2}^{2}}{2x_{2}^{2}-x_{1}^{2}};\lambda_{1}=1-\bruch{x_{2}^{2}}{2x_{2}^{2}-x_{1}^{2}}
[/mm]
Das soll die Lösung sein. Woher weiß ich, dass es nur 2 Fälle gibt, und wie komme ich auf diese? Hoffe es kann mir jemand helfen. Danke schonmal
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> Zu der obigen Aufgabe mussten wir die
> Lagrangemultiplikatoren bestimmen. Ich habe dazu folgendes
> aufgeschrieben:
>
> [mm]f(x)=x_{1}+x_{2}[/mm]
>
> Nebenbedingungen:
> [mm]g_{1}(x)=5-x_{1}-2x_{2}\le[/mm] 0;
> [mm]g_{2}(x)=\bruch{1}{x_{1}}+\bruch{1}{x_{2}}\le[/mm] 2
>
> [mm]L(x,\lambda)=x_{1}+x_{2}+\lambda_{1}(5-x_{1}-2x_{2})+\lambda_{2}(\bruch{1}{x_{1}}+\bruch{1}{x_{2}}-2)[/mm]
Hallo,
mein Gleichungssystem bestünde nun aus den =0 gesetzten partiellen Ableitungen nach [mm] x_1, x_2, \lambda_1, \lambda_2:
[/mm]
1. [mm] 0=5-x_{1}-2x_{2}
[/mm]
2. [mm] 0=\bruch{1}{x_{1}}+\bruch{1}{x_{2}}-2
[/mm]
3. [mm] 0=1-\lambda_{1}-\lambda_{2}*\bruch{1}{x_{1}^{2}}
[/mm]
4. [mm] 0=1-2\lambda_{1}-\lambda_{2}*\bruch{1}{x_{2}^{2}}
[/mm]
Schaut man sich zunächst die Gleichungen 1. und 2. an, so ergeben sich die Lösungen
> [mm][mm] x_{1}=\bruch{9}{4}\pm\bruch{\wurzel{41}}{4}; x_{2}=\bruch{11}{8}\pm\bruch{\wurzel{41}}{8}.
[/mm]
Du erhältst sie, indem Du in 1. nach [mm] x_1 [/mm] freistellst, und dieses [mm] x_1 [/mm] in 2. einsetzt. Zu lösen ist dann eine quadratische Gleichung, sie liefert Werte für [mm] x_2.
[/mm]
Setzt Du diese in 1. ein, so erhältst Du die jeweils passenden [mm] x_1.
[/mm]
Du hast nun zwei kritische Punkte erhalten.
Setzt Du diese in die Gleichungen 3. und 4. ein, so erhältst Du zwei lineare Gleichungen in den Variablen [mm] \lambda_1, \lambda_2 [/mm] welche Du dann lösen kannst. So erhältst Du Zahlenwerte für die [mm] \lambda_i. [/mm]
Du erhältst bei dieser Aufgabe also zwei kritische Punkte mit jeweils dazugehörigen [mm] \lambda_i.
[/mm]
Gruß v. Angela
Mein Gleichungssystem
>
> [mm]\lambda_{1}(5-x_{1}-2x_{2})=0[/mm]
> [mm]\lambda_{2}(\bruch{1}{x_{1}}+\bruch{1}{x_{2}}-2)=0[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial L}{\partial x_{1}}=1-\lambda_{1}-\lambda_{2}*\bruch{1}{x_{1}^{2}}=0[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial L}{\partial x_{2}}=1-2\lambda_{1}-\lambda_{2}*\bruch{1}{x_{2}^{2}}=0[/mm]
>
> 1.Fall: [mm]\lambda_{2}=0: 1-\lambda_{1}=0=1-2\lambda_{1}[/mm]
> Widerspruch!!!
>
> 2.Fall: [mm]\lambda_{1}=0: 1-\lambda_{2}*\bruch{1}{x_{1}^{2}}=1-\lambda_{2}*\bruch{1}{x_{2}^{2}}=0 \Rightarrow x_{1}=\pm x_{2}[/mm]
>
> a) [mm]x_{1}=x_{2} \Rightarrow \bruch{2}{x_{1}}-2=0 \Rightarrow x_{1}=1=x_{2}[/mm]
> Widerspruch!!! liegt nicht im gültigen Bereich
>
> [mm]b)x_{1}=-x_{2} \Rightarrow[/mm] -2=0 Widerspruch!!!
>
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]5-x_{1}-2x_{2}=[/mm] 0
> [mm]\bruch{1}{x_{1}}+\bruch{1}{x_{2}}=[/mm] 0
>
> Daraus macht man jetzt ein Gleichungssystem und löst es.
> Man erhält:
>
> [mm]x_{1}=\bruch{9}{4}\pm\bruch{\wurzel{41}}{4}; x_{2}=\bruch{11}{8}\pm\bruch{\wurzel{41}}{8};\lambda_{2}=\bruch{x_{1}^{2}x_{2}^{2}}{2x_{2}^{2}-x_{1}^{2}};\lambda_{1}=1-\bruch{x_{2}^{2}}{2x_{2}^{2}-x_{1}^{2}}[/mm]
>
> Das soll die Lösung sein. Woher weiß ich, dass es nur 2
> Fälle gibt, und wie komme ich auf diese? Hoffe es kann mir
> jemand helfen. Danke schonmal
>
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:47 Fr 30.01.2009 | | Autor: | uecki |
Meine Frage ist allgemein zur Rechnung mit Lagrangemultiplikatoren:
Wenn ich zwei Nebenbedingungen habe und die Fälle:
1. [mm] \lambda_1, \lambda_2 [/mm] = 0
2. [mm] \lambda_1 \not= [/mm] 0 [mm] \lambda_2 \not= [/mm] 0
3. [mm] \lambda_1 [/mm] = 0 [mm] \lambda_2 \not= [/mm] 0
4. [mm] \lambda_1 \not= [/mm] 0 [mm] \lambda_2 [/mm] = 0
untersuche. Woher weiß ich denn, wann ich das Minimum erreicht habe? Es gibt bei vielen Optimierungsproblemen dann mehrere Lösungen die zulässig wären, aber eine kann ja nur gelten, oder? Woher weiß ich dann, welche die gültige bzw. die richtige ist?
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:24 So 01.02.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:06 Fr 30.01.2009 | | Autor: | tynia |
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