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| Aufgabe | | Frau Müller wohnt nun woanders. An ihren Garten grenzt in einem Winkel von α = 30° jetzt ein äußerst gerader Weg. Frau Müller überlegt sich, mit einem Seil der Länge L in ihrem Garten ein dreieckiges Gebiet zu markieren. Eine Seite dieses Seils verläuft längs diesen eben genannten Weges. Wie muss Frau Müller denn jetzt Seitenlängen und Winkel wählen? |
Hallo. :)
Ich weiß, dass man in der Aufgabenstellung von einer Nebenbedingung zu der Zielfunktion kommen muss und ich kann mir auch denken, dass die 180° Grad Innenwinkel eines Dreiecks da eine Rolle spielen. Mehr kann ich mir leider nicht mehr denken. Am Ende brauche ich ein lok. Maximum der Längen und Winkel, das erscheint mir auch noch logisch. Weiß jemand mehr oder wie ich auf den Ansatz komme?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:00 Sa 13.04.2013 | | Autor: | chrisno |
Ich finde im Text keinen Hinweis darauf, dass etwas optimiert werden soll.
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> Frau Müller wohnt nun woanders. An ihren Garten grenzt in
> einem Winkel von α = 30° jetzt ein äußerst gerader Weg.
> Frau Müller überlegt sich, mit einem Seil der Länge L in
> ihrem Garten ein dreieckiges Gebiet zu markieren. Eine
> Seite dieses Seils verläuft längs diesen eben genannten
> Weges. Wie muss Frau Müller denn jetzt Seitenlängen und
> Winkel wählen?
Hallo,
Du hast die Originalaufgabe so verunstaltet, daß man sie nicht mehr erkennen kann.
Möglicherweise war das Absicht. Du solltest aber bei der Änderung der Geschichte nicht den Kern der Aufgabe verstümmeln.
Oder soll es ein Ratespiel sein?
Na, okay, weil nun der Frühling da ist und alle gut gelaunt sind, rate ich mal mit:
Frau Müller hat eine Scheune, an welche im Winkel von [mm] \alpha=30° [/mm] ein gerader Weg grenzt. Das Grundstück zwischen Garagenwand und Weg gehört Frau Müller, und sie möchte nun mit dem Maschendrahtzaun der Länge L und den drei Pfosten, welche sie in der Scheune unter einem Berg Krempel gefunden hat, für ihre Hühner ein dreieckiges Stück einzäunen, welches natürlich eine möglichst große Fläche haben soll, damit ihre Hühner viele Regenwürmer finden.
Die eine Seite der einzuzäunenden Dreiecksfläche soll durch die Garagenwand begrenzt werden. Die andere soll entlang des Weges verlaufen.
Du möchtest nun wissen, wie die Längen der beiden Zaunseiten und der eingeschlossene Winkel zu wählen sind.
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> Hallo. :)
>
> Ich weiß, dass man in der Aufgabenstellung von einer
> Nebenbedingung zu der Zielfunktion kommen muss
Du hast richtig erkannt, daß es sich um eine Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung handelt.
Mach erstmal eine Skizze der Situation.
Nennen wir die Zaunseite entlang des Weges x.
Wie lang ist die andere Zaunseite?
Der Winkel zwischen Scheunenwand und x beträgt 30°, den unbekannten Winkel zwischen den beiden Zaunseiten nennen wir [mm] \beta.
[/mm]
Du kannst nun versuchen, den Flächeninhalt A des Dreieckes zu notieren: [mm] A(x,\beta)=...
[/mm]
Damit hast Du die Hauptfunktion.
Nun ist es ja so, daß sich ein Dreieck ergeben soll.
Die Dreiecksseiten stehen über den Sinussatz in einer Beziehung zu den Winkeln.
Du kannst versuchen, die Seite x in Abhängigkeit vom Winkel [mm] \beta [/mm] (und der Konstanten L) auszudrücken.
Gelingt Dir dies, so kannst Du das x in der Hauptbedingung herauswerfen und hast Deine Zielfunktion [mm] A(\beta), [/mm] welche jetzt nur noch von einer Variablen abhängt.
Bei dieser Funktion kannst Du nun eine Extremwertberechnung in gewohnter Manier durchführen.
LG Angela
> und ich kann
> mir auch denken, dass die 180° Grad Innenwinkel eines
> Dreiecks da eine Rolle spielen. Mehr kann ich mir leider
> nicht mehr denken. Am Ende brauche ich ein lok. Maximum der
> Längen und Winkel, das erscheint mir auch noch logisch.
> Weiß jemand mehr oder wie ich auf den Ansatz komme?
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Ich hab das jetzt mal so wie du gedacht hast durchgeplant mit dem Unterschied, dass ich beta als gamma genommen habe, weil c eben oben ist. x (bzw b) ist aber gleich wie bei dir. Kurzum:
Zaunseite entlang des Weges = x
L = 1 (Zur Vereinfachung damit man die Seitenlängen als Anteil der Gesamtmengen bekommt)
Winkel zwischen Scheunenwand und x = 30°
Winkel zwischen beiden Zaunseiten = β
___________________________________________
f(x, γ) 1/2·a·x·SIN(γ)
a/SIN(30°) = x/SIN(β) = c/SIN(γ)
bzw
(1 - x - c)/SIN(30°) = (1 - a - c)/SIN(β) = (1 - a - x)/SIN(γ)
=> x = c·SIN(β)/SIN(γ) ∧ x = 2·a·SIN(β)
Ich mache gerade den größten Mist, oder?
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Und wie genau muss ich dann da jetzt weiter vorgehen? Ich hab ja nicht mal meine Hauptfunktion! o.O
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> Und wie genau muss ich dann da jetzt weiter vorgehen? Ich
> hab ja nicht mal meine Hauptfunktion! o.O
Hallo,
doch - jedenfalls fast.
Du hattest doch
[mm] f(x,\gamma)=\bruch{ax*\sin\gamma}{2}
[/mm]
Der Zaun hat die Länge L=1, und er ist an den Seiten x und a. Also ist a=1-x und Du hast die Hauptfunktion
[mm] f(x,\gamma)=\bruch{(1-x)x*\sin\gamma}{2}.
[/mm]
Nun kannst Du mit dem Sinussatz anrücken:
[mm] \bruch{1-x}{\sin(30°}=\bruch{x}{\sin(150°-\gamma}.
[/mm]
Auflösen nach x, das x in [mm] f(x,\gamma) [/mm] ersetzen.
Damit hast Du dann die Zielfunktion [mm] f(\gamma).
[/mm]
LG Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:34 So 14.04.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Noch nen Tipp:
Es gilt
[mm] \sin(30)=\frac{1}{2}
[/mm]
und
[mm] \cos(30)=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{3}
[/mm]
und
[mm] \tan(30)=\frac{1}{3}\cdot\sqrt{3}
[/mm]
Damit hast du die trigonometrischen Anteile elegant eliminiert, so dass die Rechnung, die Angela dir ja umrissen hat, nachher schöner wird.
Marius
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