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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:46 So 22.05.2011 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | | Sei [mm] n \in \IN [/mm]. Bestimmen Sie ein [mm] P \in \IQ [X_1 , ..., X_n ] [/mm] dessen Orbit [mm] S_n (P) [/mm] unter der Operation von [mm] S_n[/mm] aus zwei Elementen besteht. |
Also: der Orbit des Polynoms P ist die Menge der Polynome, die durch Permutation der Variablen von P entseht.
Jetzt hat P n Variablen.
Ich weiß einfach nicht, wie ich an die Aufgabe heran gehen muss.
Ich versuche die ganze Zeit [mm] X_1 , ... ,X_n [/mm] so zu kombinieren, dass ich egal welche Permutation ich wähle immer nur zwei Varianten dieses Polynoms auftauchen, aber das klappt nicht.
Über einen Tipp wär ich furchtbar dankbar!
Algebra liegt mir leider überhaupt nicht :-(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:42 So 22.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]n \in \IN [/mm]. Bestimmen Sie ein [mm]P \in \IQ [X_1 , ..., X_n ][/mm]
> dessen Orbit [mm]S_n (P)[/mm] unter der Operation von [mm]S_n[/mm] aus zwei
> Elementen besteht.
>
> Also: der Orbit des Polynoms P ist die Menge der
> Polynome, die durch Permutation der Variablen von P
> entseht.
>
> Jetzt hat P n Variablen.
>
> Ich weiß einfach nicht, wie ich an die Aufgabe heran gehen
> muss.
>
> Ich versuche die ganze Zeit [mm]X_1 , ... ,X_n[/mm] so zu
> kombinieren, dass ich egal welche Permutation ich wähle
> immer nur zwei Varianten dieses Polynoms auftauchen, aber
> das klappt nicht.
Damit [mm] $|S_n(P)| [/mm] = 2$ ist, muss [mm] $|Stab_{S_n}(P)| [/mm] = [mm] |S_n/2|$ [/mm] sein. Die einzige Untergruppe von [mm] $S_n$ [/mm] mit [mm] $|S_n|/2$ [/mm] Elementen ist [mm] $A_n$.
[/mm]
Ein solches Polynom kannst du wie folgt finden:
a) Suche eine Abbildung [mm] $\varphi [/mm] : [mm] S_n \to \IQ[X_1, \dots, X_n]$, [/mm] die ein Element von [mm] $S_n$ [/mm] auf ein Monom abbildet (also etwas der Form [mm] $X_1^{e_1} \cdots X_n^{e_n}$), [/mm] so dass [mm] $\sigma \varphi(\tau) [/mm] = [mm] \varphi(\sigma \tau)$ [/mm] ist. (Das ist der schwierigste Teil. Alternativ kann auch [mm] $\sigma \varphi(\tau) [/mm] = [mm] \varphi(\tau \sigma)$ [/mm] sein.)
b) Setze $P := [mm] \sum_{\sigma \in A_n} \varphi(\sigma)$.
[/mm]
c) Zeige, dass [mm] $\sigma [/mm] P = P [mm] \Leftrightarrow \sigma \in A_n$ [/mm] gilt. Dazu benutze die Eigenschaft der Abbildung [mm] $\varphi$ [/mm] aus a).
d) Folgere, dass der Stabilisator von $P$ gerade [mm] $A_n$ [/mm] ist, und somit die Bahn genau [mm] $[S_n [/mm] : [mm] A_n] [/mm] = 2$ Elemente hat.
LG Felix
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