Ordnung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:59 So 18.11.2012 | | Autor: | xkyle. |
| Aufgabe | | Für alle n, m [mm] \in [/mm] IN gilt: n [mm] \le [/mm] m oder m [mm] \le [/mm] n. |
Ich hab zu der Aufgabe soweit keine konkrete Idee. Ein Tipp wäre hilfreich. Danke
Soweit:
Fall 1: Finde ein a [mm] \in [/mm] IN so, dass n + a = m. ( ich habe mir gedacht, dass n + a = m gilt, man a:= 0 und n:= m setzen muss, ansonsten gibt es doch keine Möglichkeit, diese Äquivalenz ohne konkrete Beispiele zu zeigen)
oder
Fall 2: Finde ein a [mm] \in [/mm] IN so, dass m + a = n.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:37 So 18.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo xkyle,
> Für alle n, m [mm]\in[/mm] IN gilt: n [mm]\le[/mm] m oder m [mm]\le[/mm] n.
>
> Ich hab zu der Aufgabe soweit keine konkrete Idee. Ein Tipp
> wäre hilfreich. Danke
>
> Soweit:
>
> Fall 1: Finde ein a [mm]\in[/mm] IN so, dass n + a = m. ( ich habe
> mir gedacht, dass n + a = m gilt, man a:= 0 und n:= m
> setzen muss, ansonsten gibt es doch keine Möglichkeit,
> diese Äquivalenz ohne konkrete Beispiele zu zeigen)
> oder
> Fall 2: Finde ein a [mm]\in[/mm] IN so, dass m + a = n.
Ich würde dies mit einer Induktion nach $n$ zeigen:
Es gibt ein a mit n+a=m oder es gibt ein a mit m+a=n.
Der Induktionsanfang ist klar, dann ist $a=m$. Beim Induktionsschritt schließe von jedem der beiden Fälle für n auf einen der beiden Fälle für n+1.
Dabei brauchst Du den folgenden Satz:
Ist [mm] $a\ne [/mm] 0$, so gibt es ein $b$ mit $a=b+1$, $b$ ist also der "Vorgänger" von $a$.
Gruß,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:56 So 18.11.2012 | | Autor: | xkyle. |
Leider nicht möglich. Induktionsverfahren sind bei uns später im skript. Beweisen sollen wir die Aussage nur mit dem, was wir bis heute gemacht haben und dazu gehört leider nicht die Induktion.
Benutzt werden darf:
- Die Eigenschaften einer Relation(Transitivität etc.)
- n [mm] \le [/mm] m falls [mm] \exists [/mm] a [mm] \in [/mm] IN: n + a= m.
- Wenn A [mm] \subseteq [/mm] N so ist, dass 0 [mm] \in [/mm] A und für alle n [mm] \in [/mm] A auch n [mm] \oplus1 \in [/mm] A, so folgt A = N.
- n + 1= n ist vorgänger und n + 1 ist nachfolger von n.
- allg. Relationen
Soweit. Trotzdem eine Idee?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:17 So 18.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Leider nicht möglich. Induktionsverfahren sind bei uns
> später im skript. Beweisen sollen wir die Aussage nur mit
> dem, was wir bis heute gemacht haben und dazu gehört
> leider nicht die Induktion.
> Benutzt werden darf:
> - Die Eigenschaften einer Relation(Transitivität etc.)
Welche genau? Gehört dazu: "für eine Relation R ist stets aRb oder bRa"? Diese Eigenschaft nennt man auch "Linearität". Vielleicht steht im Script, daß [mm] $\le$ [/mm] linear ist. Dann wären wir schon fertig.
> - n [mm]\le[/mm] m falls [mm]\exists[/mm] a [mm]\in[/mm] IN: n + a= m.
OK. Das dachte ich mir.
> - Wenn A [mm]\subseteq[/mm] N so ist, dass 0 [mm]\in[/mm] A und für alle
> n [mm]\in[/mm] A auch n [mm]\oplus1 \in[/mm] A, so folgt A = N.
Dies ist die vollständige Induktion. In unserem Beispiel ist A die Menge aller n, so daß Fall 1 oder Fall 2 gilt.
> - n + 1= n ist vorgänger und n + 1 ist nachfolger von n.
Du meinst: Ist m+1 = n, so ist m Vorgänger von n. Hattet Ihr auch den Satz, daß jede nat. Zahl ungleich Null einen Vorgänger hat?
Ohne Induktion und ohne diesen Satz sehe ich keine Möglichkeit, die Aufgabe zu lösen.
Gruß,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:26 So 18.11.2012 | | Autor: | xkyle. |
Ich versuche mal einen Ansatz zu schaffen:
Für alle n, m [mm] \in [/mm] IN gilt: n [mm] \le [/mm] m oder m [mm] \le [/mm] n.
Beweis.
Fall 1: Finde ein a [mm] \in [/mm] IN so, dass n + a = m. Man zeige, dass m einen Vorgänger hat und n einen Nachfolger. Setze a:= 1. Daraus folgt: n + 1= m. Also hat m einen Vorgänger, und zwar n. Also hat n einen Nachfolger, und zwar n + 1= m. Folglich gilt n [mm] \le [/mm] m.
Bin ich auf dem richtigen Weg, oder doch Holzweg....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:54 So 18.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Ich versuche mal einen Ansatz zu schaffen:
>
> Für alle n, m [mm]\in[/mm] IN gilt: n [mm]\le[/mm] m oder m [mm]\le[/mm] n.
>
> Beweis.
> Fall 1: Finde ein a [mm]\in[/mm] IN so, dass n + a = m. Man zeige,
> dass m einen Vorgänger hat und n einen Nachfolger. Setze
> a:= 1. Daraus folgt: n + 1= m. Also hat m einen Vorgänger,
> und zwar n. Also hat n einen Nachfolger, und zwar n + 1= m.
> Folglich gilt n [mm]\le[/mm] m.
>
> Bin ich auf dem richtigen Weg, oder doch Holzweg....
Hier hast Du nur gezeigt:
aus n+1=m folgt n [mm] $\le$ [/mm] m. Dies ist also nur ein sehr spezieller Fall. Ohne Induktion läßt sich der allgemeine Fall nicht beweisen.
Gruß,
Wolfgang
|
|
|
|
