Ordnung bestimmen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:37 Fr 17.04.2009 | | Autor: | LiN24 |
| Aufgabe | | Man bestimme die Ordnungen der Gruppen [mm] GL(2,\IZ_{3}) [/mm] und [mm] SL(2,\IZ_{3}). [/mm] |
Hallo,
ich weiß, dass die Ordnung die Anzahl der Elemente in der Gruppe ist und [mm] GL(2,\IZ_{3}) [/mm] die Gruppe der invertierbaren 2x2 - Matrizen über [mm] \IZ_{3} [/mm] und [mm] SL(2,\IZ_{3}) [/mm] die Gruppe der 2x2 - Matrizen über [mm] \IZ_{3} [/mm] mit Determinante 1.
Außerdem müsste SL ja eine Untergruppe von GL sein.
Jedenfalls weiß ich nicht, wie ich jetzt diese Anzahl berechne für GL hab ich n bisschen probiert und bin auf 50 gekommen, denke aber nicht, dass das richtig ist, da ich nur probiert habe, wie ich die Ziffern 1,2 und 0 anordnen kann ohne eine 0-Zeile zu erzeugen.
Würde mich freuen, wenn mir jemand den Rechenweg erklären könnte.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 Fr 17.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Man bestimme die Ordnungen der Gruppen [mm]GL(2,\IZ_{3})[/mm] und
> [mm]SL(2,\IZ_{3}).[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich weiß, dass die Ordnung die Anzahl der Elemente in der
> Gruppe ist und [mm]GL(2,\IZ_{3})[/mm] die Gruppe der invertierbaren
> 2x2 - Matrizen über [mm]\IZ_{3}[/mm] und [mm]SL(2,\IZ_{3})[/mm] die Gruppe
> der 2x2 - Matrizen über [mm]\IZ_{3}[/mm] mit Determinante 1.
> Außerdem müsste SL ja eine Untergruppe von GL sein.
Genau. Was noch wichtiger ist: $SL(2, [mm] \IZ_3)$ [/mm] ist der Kern des Homomorphismus [mm] $\det [/mm] : GL(2, [mm] \IZ_3) \to \IZ_3^\ast$. [/mm] Wenn du jetzt den Homomorphiesatz und den Satz von Lagrange benutzt, kannst du damit die Ordnung von $SL(2, [mm] \IZ_3)$ [/mm] in Relation zur Ordnung von $GL(2, [mm] \IZ_3)$ [/mm] angeben, (fast) ohne irgendwelche Matrizen angucken zu muessen. (Tipp: ueberlege dir zuerst, dass die Determinante surjektiv ist.)
> Jedenfalls weiß ich nicht, wie ich jetzt diese Anzahl
> berechne für GL hab ich n bisschen probiert und bin auf 50
> gekommen, denke aber nicht, dass das richtig ist, da ich
> nur probiert habe, wie ich die Ziffern 1,2 und 0 anordnen
> kann ohne eine 0-Zeile zu erzeugen.
Geh das ganze doch mal systematischer an:
Eine Matrix $A [mm] \in K^{n \times n}$ [/mm] ist genau dann invertierbar, wenn ihre Spalten eine Basis des [mm] $K^n$ [/mm] bilden.
Du willst also die Anzahl der Basen von [mm] $\IZ_3^2$ [/mm] zaehlen. Jetzt denke an den Basisfortsetzungssatz.
Als erste Spalte kannst du irgendeinen Vektor ungleich 0 waehlen, du hast also [mm] $3^2 [/mm] - 1$ Moeglichkeiten: denn ein Vektor ungleich 0 ist immer linear unabhaengig und somit zu einer Basis fortsetzbar.
Wenn die erste Spalte jetzt gewaehlt ist, musst du dich fragen wieviel Wahlen du fuer die zweite Spalte hast. Der Vektor in der zweiten Spalte sollte linear unabhaengig zu dem in der ersten Spalte sein. Das ist genau dann der Fall, wenn er nicht im Unterraum liegt der von der ersten Spalte erzeugt wird.
Fuer wieviele Vektoren ist das nun der Fall?
LG Felix
|
|
|
|
