Ordnung d. Gruppenelements < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:46 So 05.01.2014 | | Autor: | Paivren |
Guten Abend,
brauche mal ein paar Tipps bei folgendem Beweis:
Sei G eine Gruppe, [mm] g\in [/mm] G.
Es ist Ord(g)=min ( { [mm] \infty [/mm] } [mm] \cup [/mm] { [mm] k\in \IN [/mm] | [mm] g^{k}=1 [/mm] } )
und <g>={ [mm] g^{k}|k\in \IZ [/mm] }.
zu zeigen: <g> ist Untergruppe von G und |<g>|=ord(g).
Den ersten Teil habe ich hinbekommen, nur bei der letzten Gleichung mache ich glaube ich was falsch.
Mein Versuch:
1. Fall: g=1.
Dass die Gleichung gilt ist schnell ersichtlich.
2. Fall: [mm] g\not= [/mm] 1
Dann ist [mm] g\not=g^{-1} [/mm] und zudem gilt:
Für alle [mm] x,y\in \IZ [/mm] pw verschieden ist [mm] g^{x}\not=g^{y}.
[/mm]
Wegen [mm] |\IZ|=\infty [/mm] ist damit auch [mm] ||=\infty.
[/mm]
Außerdem ist dann [mm] g^{k}\not=1 [/mm] für alle [mm] k\in \IN,
[/mm]
also [mm] ord(g)=\infty.
[/mm]
--> [mm] ord(g)=\infty [/mm] =|<g>|
Aber glaube nicht, dass meine Argumentation stimmt, habe mich vermutlich zu sehr auf das anschauliche Bild der Multilikation in den reellen Zahlen versteift.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:14 So 05.01.2014 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Guten Abend,
>
> brauche mal ein paar Tipps bei folgendem Beweis:
> Sei G eine Gruppe, [mm]g\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G.
> Es ist Ord(g)=min ( { [mm]\infty[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} [mm]\cup[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]k\in \IN[/mm] | [mm]g^{k}=1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> )
> und <g>={ [mm]g^{k}|k\in \IZ[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}.
>
> zu zeigen: <g> ist Untergruppe von G und |<g>|=ord(g).
>
> Den ersten Teil habe ich hinbekommen, nur bei der letzten
> Gleichung mache ich glaube ich was falsch.
>
> Mein Versuch:
> 1. Fall: g=1.
> Dass die Gleichung gilt ist schnell ersichtlich.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2. Fall: [mm]g\not=[/mm] 1
> Dann ist [mm]g\not=g^{-1}[/mm] und zudem gilt:
Das stimmt schon nicht. (Dazu muss $Ord(g) > 2$ sein.)
> Für alle [mm]x,y\in \IZ[/mm] pw verschieden ist [mm]g^{x}\not=g^{y}.[/mm]
Und das erst recht nicht. Dazu muss $Ord(g) = [mm] \infty$ [/mm] sein!
> Wegen [mm]|\IZ|=\infty[/mm] ist damit auch [mm]||=\infty.[/mm]
> Außerdem ist dann [mm]g^{k}\not=1[/mm] für alle [mm]k\in \IN,[/mm]
> also
> [mm]ord(g)=\infty.[/mm]
> --> [mm]ord(g)=\infty[/mm] =|<g>|
>
> Aber glaube nicht, dass meine Argumentation stimmt, habe
> mich vermutlich zu sehr auf das anschauliche Bild der
> Multilikation in den reellen Zahlen versteift.
Ja, sieht so aus 
Mach doch eine Fallunterscheidung wie folgt:
* Fall 1: $Ord(g) = [mm] \infty$. [/mm] Dann kannst du wie oben zeigen (du musst die einzelnden Schritte aber begruenden!), dass [mm] $|\langle [/mm] g [mm] \rangle| [/mm] = [mm] \infty$ [/mm] ist.
* Fall 2: $Ord(g) < [mm] \infty$. [/mm] Jetzt musst du arbeiten. Beachte: ist $Ord(g) = n$, dann gilt [mm] $g^a [/mm] = [mm] g^b$ [/mm] genau dann, wenn $b - a$ durch $n$ teilbar ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 So 05.01.2014 | | Autor: | Paivren |
Hallo Felixf, danke für Deine Antwort!
Also, neuer Versuch:
1. Fall: Ord(g)= [mm] \infty
[/mm]
Es ex. kein [mm] k\in \IN [/mm] mit [mm] g^{k}=1.
[/mm]
Für jedes [mm] x\in \IN [/mm] gibt es daher keine passenden [mm] y\in \IN, [/mm] sodass mit x+y [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] g^{x}*g^{y}=g^{x+y}=1.
[/mm]
Das heißt für [mm] a,b\in \IN: g^{a}\not= g^{b}.
[/mm]
Dann ist |<g>|=|{ [mm] k\in \IZ [/mm] | k>0 [mm] }|=\infty
[/mm]
Das sollte gehen, da die Mächtigkeit der ganzen Zahlen gleich der Mächtigkeit der natürlichen Zahlen ist (abzählbar unendlich).
2. Fall: [mm] Ord(g)<\infty.
[/mm]
Dann ex. [mm] k\in \IN [/mm] mit [mm] g^{k}=1, [/mm] also ist Ord(g)=k.
Dann ist es möglich, dass es [mm] a,b\in \IZ [/mm] gibt mit [mm] g^{a}=g^{k+b}=g^{k}*g^{b}=1*g^{b}=g^{b}
[/mm]
Es gibt nun mindestens k verschiedene Elemente in <g>, nämlich [mm] g^{1},g^{2},...,g^{k-1},1. [/mm] (*)
Ist nun [mm] x\in \IZ [/mm] mit x>k, so kann stets geschrieben werden:
[mm] g^{x}=g^{k+(x-k)}=g^{k}*g^{x-k}=1*g^{x-k}=g^{x-k}.
[/mm]
Und mit [mm] x-k\in [/mm] {1,2,...,k-1,k} kommen keine bei (*) nicht genannten Elemente mehr hinzu.
Sei [mm] x\in \IZ [/mm] mit 0<x<k.
Dann ist [mm] g^{-x}=g^{k-x}, [/mm] denn [mm] g^{x}*g^{k-x}=g^{x+k-x}=g^{k}=1.
[/mm]
Mit [mm] k-x\in [/mm] {1,2,...,k-1} kommen keine in (*) nicht genannten Elemente mehr hinzu. (**)
Sei [mm] x\in \IZ [/mm] mit k<x.
Dann ist [mm] g^{-x}=(g^{x})^{-1}=(1*g^{x-k})^{-1}=(g^{x-k})^{-1}. [/mm] Mit [mm] x-k\in [/mm] {1,2,...,k-1,k} wurde dieser Fall in (**) behandelt und es kommen keine weiteren in (*) nicht genannten Elemente mehr hinzu.
--> Dann ist |<g>|=k.
Also insgesamt: ord(g)=|<g>|.
So in Ordnung?
Gruß
edit: ah, ich muss noch was verändern, wenn x>k ist, ist x-k nicht automatisch in {1,2...,k-1}. aber das ist nicht schwer, muss nur ergänzen, dass man in dem Fall nochmal einen k-Exponenten "rauskürzen" kann, bis x-k wirklin in der Menge liegt.
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Hallo Paivren,
bevor dir niemand mehr antwortet, lass mich erklären, wie ich das Problem lösen würde. Ich würde nacheinander die folgenden Dinge zeigen:
(i) Ist $H$ eine nichttriviale Untergruppe von [mm] $\mathbb{Z}$ [/mm] und $n$ die kleinste positive Zahl in $H$, so gilt [mm] $H=n\mathbb{Z}$.
[/mm]
(ii) Durch [mm] $\varphi\colon\mathbb{Z}\longrightarrow [/mm] G$, [mm] $n\longmapsto g^n$ [/mm] hat man einen Homomorphismus [mm] $\IZ\longrightarrow [/mm] G$.
(iii) Es gilt [mm] $\operatorname{im}\varphi =\langle g\rangle$.
[/mm]
(iv) Ist die Ordnung von $g$ endlich, so ist [mm] $\ker\varphi=n\mathbb{Z}$ [/mm] für ein [mm] $n\in\mathbb{N}$ [/mm] (dies gilt nach (i)).
(v) Nach Definition des Kerns und nach (iv) bzw. (i) ist $n$ die kleinste positive Zahl mit [mm] $g^n=1$, [/mm] also [mm] $n=\operatorname{ord} [/mm] g$.
(vi) [mm] $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ [/mm] enthält $n$ Elemente.
(vii) Daher enthält auch [mm] $\langle g\rangle=\operatorname{im}\varphi\cong\mathbb{Z}/\ker\varphi=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ [/mm] $n$ Elemente.
(viii) Mit (v) folgt die Behauptung.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:23 Mo 06.01.2014 | | Autor: | Paivren |
Hallo Universelles Objekt,
danke für deine Hilfestellung,
leider kenne ich viele Begriffe, die Du verwendest noch nicht (zB. Kern, oder den Homomorphiesatz aus Deinem ersten Beitrag), deswegen muss ich es so lösen^^
Gruß
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Hi Paivren,
das ist natürlich schade (ich will nicht sagen tragisch), dass du diese wichtigen Begriffe noch nicht kennst, aber dann führt wohl tatsächlich kein Weg an dieser unschönen Rechnerei vorbei.
> 1. Fall: Ord(g)= [mm]\infty[/mm]
> Es ex. kein [mm]k\in \IN[/mm] mit [mm]g^{k}=1.[/mm]
> Für jedes [mm]x\in \IN[/mm] gibt es daher keine passenden [mm]y\in \IN,[/mm]
> sodass mit x+y [mm]\in \IN[/mm] gilt: [mm]g^{x}*g^{y}=g^{x+y}=1.[/mm]
> Das heißt für [mm]a,b\in \IN: g^{a}\not= g^{b}.[/mm]
> Dann ist
> [mm]||=|\{ k\in \IZ | k>0 \}|=\infty[/mm]
> Das sollte gehen, da die Mächtigkeit der ganzen Zahlen
> gleich der Mächtigkeit der natürlichen Zahlen ist
> (abzählbar unendlich).
Das passt.
> 2. Fall: [mm]Ord(g)<\infty.[/mm]
> Dann ex. [mm]k\in \IN[/mm] mit [mm]g^{k}=1,[/mm] also ist Ord(g)=k.
So, wie es da steht, ist es nicht richtig. Es existiert ein $k$ mit [mm] $g^n=1$. [/mm] Es ist dann eine Eigenschaft der Menge der natürlichen Zahlen, dass automatisch ein KLEINSTES solches existiert. Dieses ist dann die Ordnung von $g$. Da bei dir nur steht es ex. $k$ mit [mm] $g^k=1$ [/mm] könnte z.B. auch [mm] $k=2\operatorname{ord}g$ [/mm] gelten.
> Dann ist es möglich, dass es [mm]a,b\in \IZ[/mm] gibt mit
> [mm]g^{a}=g^{k+b}=g^{k}*g^{b}=1*g^{b}=g^{b}[/mm]
Ich sehe nicht, wofür wir das brauchen. Außerdem kann man immer $a=0$, b=-k$ wählen, das hat auch überhaupt nichts damit zu tun, dass $k$ die Ordnung von $g$ ist, oder dass die Ordnung endlich ist, oder sonst etwas. Obwohl es natürlich nicht falsch ist.
> Es gibt nun mindestens k verschiedene Elemente in <g>,
> nämlich [mm]g^{1},g^{2},...,g^{k-1},1.[/mm] (*)
Dieser Punkt ist sehr wichtig! Du musst begründen, dass diese alle verschieden sind!
> Ist nun [mm]x\in \IZ[/mm] mit x>k, so kann stets geschrieben
> werden:
> [mm]g^{x}=g^{k+(x-k)}=g^{k}*g^{x-k}=1*g^{x-k}=g^{x-k}.[/mm]
> Und mit [mm]x-k\in[/mm] {1,2,...,k-1,k} kommen keine bei (*) nicht
> genannten Elemente mehr hinzu.
Du hast im Edit die Ungenauigkeit ja schon erkannt. Tatsächlich lautet der Satz, den du hier verwenden musst Satz der Division mit Rest:
Ist [mm] $k\not=0$ [/mm] eine ganze Zahl und [mm] $x\in\mathbb{Z}$, [/mm] so existieren ganze Zahlen $a$ und $r$ mit [mm] $x=a\cdot [/mm] k+r$ und man kann $r$ so wählen, dass [mm] $0\le r\le [/mm] k-1$. $r$ heißt der Rest bei Devision durch $k$.
Wenn man den anwendet, kann man schreiben [mm] $g^x=g^{a\cdot k+r}=(g^k)^a\cdot g^r=1^a\cdot g^r=g^r$.
[/mm]
> Sei [mm]x\in \IZ[/mm] mit 0<x<k.
> Dann ist [mm]g^{-x}=g^{k-x},[/mm] denn
> [mm]g^{x}*g^{k-x}=g^{x+k-x}=g^{k}=1.[/mm]
> Mit [mm]k-x\in[/mm] {1,2,...,k-1} kommen keine in (*) nicht
> genannten Elemente mehr hinzu. (**)
>
> Sei [mm]x\in \IZ[/mm] mit k<x.
> Dann ist
> [mm]g^{-x}=(g^{x})^{-1}=(1*g^{x-k})^{-1}=(g^{x-k})^{-1}.[/mm] Mit
> [mm]x-k\in[/mm] {1,2,...,k-1,k} wurde dieser Fall in (**) behandelt
> und es kommen keine weiteren in (*) nicht genannten
> Elemente mehr hinzu.
Diese beiden Abschnitte kannst du dir dann auch sparen, denn sie sind in obiger Argumentation über Division mit Rest bereits behandelt (ich habe [mm] $x\in\IZ$ [/mm] beliebig gewählt.
>
> --> Dann ist |<g>|=k.
>
> Also insgesamt: ord(g)=|<g>|.
>
>
> So in Ordnung?
>
> Gruß
>
> edit: ah, ich muss noch was verändern, wenn x>k ist, ist
> x-k nicht automatisch in {1,2...,k-1}. aber das ist nicht
> schwer, muss nur ergänzen, dass man in dem Fall nochmal
> einen k-Exponenten "rauskürzen" kann, bis x-k wirklin in
> der Menge liegt.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Di 07.01.2014 | | Autor: | Paivren |
> Hi Paivren,
>
> das ist natürlich schade (ich will nicht sagen tragisch),
> dass du diese wichtigen Begriffe noch nicht kennst, aber
> dann führt wohl tatsächlich kein Weg an dieser unschönen
> Rechnerei vorbei.
Hey UniversellesObjekt, ich denke, wenn diese Sätze so wichtig sind, werden sie nicht mehr lange auf sich warten lassen ;)
> So, wie es da steht, ist es nicht richtig. Es existiert ein
> [mm]k[/mm] mit [mm]g^n=1[/mm]. Es ist dann eine Eigenschaft der Menge der
> natürlichen Zahlen, dass automatisch ein KLEINSTES solches
> existiert. Dieses ist dann die Ordnung von [mm]g[/mm]. Da bei dir
> nur steht es ex. [mm]k[/mm] mit [mm]g^k=1[/mm] könnte z.B. auch
> [mm]k=2\operatorname{ord}g[/mm] gelten.
Ah klar, das ist mein Fehler, auf meinem Blatt steht es richtig: Dann gibt es eine kleinste natürliche Zahl k mit [mm] g^{k}=1, [/mm] also ord(g)=k. Ich habe nur von irgendeiner Zahl k geredet und sie dann einfach gleich ord(g) gesetzt, was natürlich allgemein falsch ist.
> > Dann ist es möglich, dass es [mm]a,b\in \IZ[/mm] gibt mit
> > [mm]g^{a}=g^{k+b}=g^{k}*g^{b}=1*g^{b}=g^{b}[/mm]
>
> Ich sehe nicht, wofür wir das brauchen. Außerdem kann man
> immer $a=0$, b=-k$ wählen, das hat auch überhaupt nichts
> damit zu tun, dass $k$ die Ordnung von $g$ ist, oder dass
> die Ordnung endlich ist, oder sonst etwas. Obwohl es
> natürlich nicht falsch ist.
Hm, nur als kleiner Gedankengang, dass Elemente mit unterschiedlichem Exponenten gleich sein können, was im ersten Fall zumindest für Exponenten aus [mm] \IN [/mm] ja nicht der Fall war.
> > Es gibt nun mindestens k verschiedene Elemente in <g>,
> > nämlich [mm]g^{1},g^{2},...,g^{k-1},1.[/mm] (*)
>
> Dieser Punkt ist sehr wichtig! Du musst begründen, dass
> diese alle verschieden sind!
>
> > Ist nun [mm]x\in \IZ[/mm] mit x>k, so kann stets geschrieben
> > werden:
> > [mm]g^{x}=g^{k+(x-k)}=g^{k}*g^{x-k}=1*g^{x-k}=g^{x-k}.[/mm]
> > Und mit [mm]x-k\in[/mm] {1,2,...,k-1,k} kommen keine bei (*)
> nicht
> > genannten Elemente mehr hinzu.
>
> Du hast im Edit die Ungenauigkeit ja schon erkannt.
> Tatsächlich lautet der Satz, den du hier verwenden musst
> Satz der Division mit Rest:
>
> Ist [mm]k\not=0[/mm] eine ganze Zahl und [mm]x\in\mathbb{Z}[/mm], so
> existieren ganze Zahlen [mm]a[/mm] und [mm]r[/mm] mit [mm]x=a\cdot k+r[/mm] und man
> kann [mm]r[/mm] so wählen, dass [mm]0\le r\le k-1[/mm]. [mm]r[/mm] heißt der Rest
> bei Devision durch [mm]k[/mm].
>
> Wenn man den anwendet, kann man schreiben [mm]g^x=g^{a\cdot k+r}=(g^k)^a\cdot g^r=1^a\cdot g^r=g^r[/mm].
Ah, ich verstehe, sehr elegant gelöst. So kann man direkt zeigen, dass der Exponent stets in dem Intervall liegt.
Ich werde mir das als Vereinfachung notieren, aber nicht so übernehmen, da ich großen Wert darauf lege, mit meinen eigenen Gedanken ans Ziel zu kommen - auch, wenn sie nicht immer die besten sind ;)
Dass die k Elemente, die "mindestens" in <g> liegen, auch verschieden sind, ist ja eigentlich offensichtlich, da k der kleinste Exponent ist, bei dem [mm] g^{k}=1 [/mm] ist.
Alle kleineren Exponenten müssen dann zu verschiedenen Elementen führen, denn die Elemente können nur gleich sein, wenn ich aus einem größeren Exponenten einen Exponenten "herauskürze", der zu einer 1 führt. Geht aber nicht, weil eben k der kleinstmögliche davon ist.
> > Sei [mm]x\in \IZ[/mm] mit 0<x<k.
> > Dann ist [mm]g^{-x}=g^{k-x},[/mm] denn
> > [mm]g^{x}*g^{k-x}=g^{x+k-x}=g^{k}=1.[/mm]
> > Mit [mm]k-x\in[/mm] {1,2,...,k-1} kommen keine in (*) nicht
> > genannten Elemente mehr hinzu. (**)
> >
> > Sei [mm]x\in \IZ[/mm] mit k<x.
> > Dann ist
> > [mm]g^{-x}=(g^{x})^{-1}=(1*g^{x-k})^{-1}=(g^{x-k})^{-1}.[/mm] Mit
> > [mm]x-k\in[/mm] {1,2,...,k-1,k} wurde dieser Fall in (**) behandelt
> > und es kommen keine weiteren in (*) nicht genannten
> > Elemente mehr hinzu.
>
> Diese beiden Abschnitte kannst du dir dann auch sparen,
> denn sie sind in obiger Argumentation über Division mit
> Rest bereits behandelt (ich habe [mm]x\in\IZ[/mm] beliebig
> gewählt.
Ist meine "unschöne Rechnerei" denn unter der Berücksichtigung meines edits akzeptabel, wenn ich dreisterweise auf deinen Divisionssatz verzichte (der mir im Gegensatz zu den anderen bereits begegnet ist).?
Danke für Deine Antwort. Übrigens geb ich Dir meinen Respekt, Du bist nicht nur besser in Mathe als ich, sondern auch jünger :D
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:49 Mi 08.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hi Paivren,
> >
> > das ist natürlich schade (ich will nicht sagen tragisch),
> > dass du diese wichtigen Begriffe noch nicht kennst, aber
> > dann führt wohl tatsächlich kein Weg an dieser unschönen
> > Rechnerei vorbei.
> Hey UniversellesObjekt, ich denke, wenn diese Sätze so
> wichtig sind, werden sie nicht mehr lange auf sich warten
> lassen ;)
>
>
> > So, wie es da steht, ist es nicht richtig. Es existiert ein
> > [mm]k[/mm] mit [mm]g^n=1[/mm]. Es ist dann eine Eigenschaft der Menge der
> > natürlichen Zahlen, dass automatisch ein KLEINSTES solches
> > existiert. Dieses ist dann die Ordnung von [mm]g[/mm]. Da bei dir
> > nur steht es ex. [mm]k[/mm] mit [mm]g^k=1[/mm] könnte z.B. auch
> > [mm]k=2\operatorname{ord}g[/mm] gelten.
>
> Ah klar, das ist mein Fehler, auf meinem Blatt steht es
> richtig: Dann gibt es eine kleinste natürliche Zahl k mit
> [mm]g^{k}=1,[/mm] also ord(g)=k. Ich habe nur von irgendeiner Zahl k
> geredet und sie dann einfach gleich ord(g) gesetzt, was
> natürlich allgemein falsch ist.
>
> > > Dann ist es möglich, dass es [mm]a,b\in \IZ[/mm] gibt mit
> > > [mm]g^{a}=g^{k+b}=g^{k}*g^{b}=1*g^{b}=g^{b}[/mm]
> >
> > Ich sehe nicht, wofür wir das brauchen. Außerdem kann man
> > immer $a=0$, b=-k$ wählen, das hat auch überhaupt nichts
> > damit zu tun, dass [mm]k[/mm] die Ordnung von [mm]g[/mm] ist, oder dass
> > die Ordnung endlich ist, oder sonst etwas. Obwohl es
> > natürlich nicht falsch ist.
>
> Hm, nur als kleiner Gedankengang, dass Elemente mit
> unterschiedlichem Exponenten gleich sein können, was im
> ersten Fall zumindest für Exponenten aus [mm]\IN[/mm] ja nicht der
> Fall war.
>
> > > Es gibt nun mindestens k verschiedene Elemente in <g>,
> > > nämlich [mm]g^{1},g^{2},...,g^{k-1},1.[/mm] (*)
> >
> > Dieser Punkt ist sehr wichtig! Du musst begründen, dass
> > diese alle verschieden sind!
> >
> > > Ist nun [mm]x\in \IZ[/mm] mit x>k, so kann stets geschrieben
> > > werden:
> > > [mm]g^{x}=g^{k+(x-k)}=g^{k}*g^{x-k}=1*g^{x-k}=g^{x-k}.[/mm]
> > > Und mit [mm]x-k\in[/mm] {1,2,...,k-1,k} kommen keine bei (*)
> > nicht
> > > genannten Elemente mehr hinzu.
> >
> > Du hast im Edit die Ungenauigkeit ja schon erkannt.
> > Tatsächlich lautet der Satz, den du hier verwenden musst
> > Satz der Division mit Rest:
> >
> > Ist [mm]k\not=0[/mm] eine ganze Zahl und [mm]x\in\mathbb{Z}[/mm], so
> > existieren ganze Zahlen [mm]a[/mm] und [mm]r[/mm] mit [mm]x=a\cdot k+r[/mm] und man
> > kann [mm]r[/mm] so wählen, dass [mm]0\le r\le k-1[/mm]. [mm]r[/mm] heißt der Rest
> > bei Devision durch [mm]k[/mm].
> >
> > Wenn man den anwendet, kann man schreiben [mm]g^x=g^{a\cdot k+r}=(g^k)^a\cdot g^r=1^a\cdot g^r=g^r[/mm].
>
> Ah, ich verstehe, sehr elegant gelöst. So kann man direkt
> zeigen, dass der Exponent stets in dem Intervall liegt.
> Ich werde mir das als Vereinfachung notieren, aber nicht
> so übernehmen, da ich großen Wert darauf lege, mit meinen
> eigenen Gedanken ans Ziel zu kommen - auch, wenn sie nicht
> immer die besten sind ;)
nichts für Ungut, natürlich sollte man immer möglichst selbstständig
arbeiten, aber Du solltest das nicht "übertreiben". Das hier ist nur eine
Kleinigkeit, und ich bin mir sicher, dass Du eigentlich nichts anderes
meintest als das, was UniversellesObjekt geschrieben hat. Der
Gedankengang von Dir war doch der gleiche, es war nur nicht zu Ende
gedacht, und wenn Du das zu Ende gedacht hast und es nicht so notieren
konntest, dann ist das doch nur eine Formalität gewesen - und gerade
dabei sollte man anfangs lernen, diese zu übernehmen, und sich aber
vor allem klarzumachen, ob man es nicht doch auch so oder wenigstens
äquivalent hätte hinschreiben können, und wenn letzteres nicht funktioniert,
herauszufinden, woran das denn gescheitert war. Insbesondere sollte
man aber nichts einfach "blind" übernehmen, sondern verstehen. Das
ist das Wichtigste, wenn man es selbst nicht hingeschrieben bekam.
Denn nur so lernt man. Und wenn Du immer "nur" Deine eigenen Wege
gehen willst, kann es durchaus sein, dass Du auch mal gar nicht zum
Ziel kommst. Das ist auch nicht in Deinem Sinne - dann lieber die Lösung
von anderen nacharbeiten und nachvollziehen, damit Du in neuen, aber
ähnlichen Situationen wenigstens schonmal eine "Richtung" sehen kannst,
die zielführend sein kann. Diesen Aspekt sollte man nicht unterschätzen:
Das Rad muss für alte Aufgaben nicht neu erfunden werden und ich
brauche auch nicht immer neues Arbeitsmaterial für neue Aufgaben, wenn
ich altes Arbeitsmaterial habe, dass wohl für die Bearbeitung der neuen
Aufgabe(n) überwiegend verwendet werden kann. Natürlich kann es
sein, dass da an der ein oder anderen Stelle nochmal "Spezialarbeit"
gefragt ist bzw. auch "Spezialwerkzeug" entwickelt werden muss. Aber
man macht es sich wirklich unnötig arg schwer, wenn man jedes Mal alles
komplett von vorne beginnen will... Mal abgesehen von der Tatsache:
Warum hat man so viel schöne Zwischenergebnisse, wenn man sie
nicht (weiter) verwenden will?
Gruß,
Marcel
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> Hey UniversellesObjekt, ich denke, wenn diese Sätze so
> wichtig sind, werden sie nicht mehr lange auf sich warten
> lassen ;)
Hi Paivren,
darf ich aus Interesse fragen, in welcher Vorlesung du das hier behandelst? Wenn du schon Lineare Algebra gehört hast, solltest du wenigstens von da ja den Begriff des Kerns und den Homomorphiesatz (im Zusammenhang mit Vektorräumen oder vielleicht auch Moduln) kennen.
> > So, wie es da steht, ist es nicht richtig. Es existiert ein
> > [mm]k[/mm] mit [mm]g^n=1[/mm]. Es ist dann eine Eigenschaft der Menge der
> > natürlichen Zahlen, dass automatisch ein KLEINSTES solches
> > existiert. Dieses ist dann die Ordnung von [mm]g[/mm]. Da bei dir
> > nur steht es ex. [mm]k[/mm] mit [mm]g^k=1[/mm] könnte z.B. auch
> > [mm]k=2\operatorname{ord}g[/mm] gelten.
>
> Ah klar, das ist mein Fehler, auf meinem Blatt steht es
> richtig: Dann gibt es eine kleinste natürliche Zahl k mit
> [mm]g^{k}=1,[/mm] also ord(g)=k. Ich habe nur von irgendeiner Zahl k
> geredet und sie dann einfach gleich ord(g) gesetzt, was
> natürlich allgemein falsch ist.
>
> > > Dann ist es möglich, dass es [mm]a,b\in \IZ[/mm] gibt mit
> > > [mm]g^{a}=g^{k+b}=g^{k}*g^{b}=1*g^{b}=g^{b}[/mm]
> >
> > Ich sehe nicht, wofür wir das brauchen. Außerdem kann man
> > immer $a=0$, b=-k$ wählen, das hat auch überhaupt nichts
> > damit zu tun, dass [mm]k[/mm] die Ordnung von [mm]g[/mm] ist, oder dass
> > die Ordnung endlich ist, oder sonst etwas. Obwohl es
> > natürlich nicht falsch ist.
>
> Hm, nur als kleiner Gedankengang, dass Elemente mit
> unterschiedlichem Exponenten gleich sein können, was im
> ersten Fall zumindest für Exponenten aus [mm]\IN[/mm] ja nicht der
> Fall war.
>
> > > Es gibt nun mindestens k verschiedene Elemente in <g>,
> > > nämlich [mm]g^{1},g^{2},...,g^{k-1},1.[/mm] (*)
> >
> > Dieser Punkt ist sehr wichtig! Du musst begründen, dass
> > diese alle verschieden sind!
> >
> > > Ist nun [mm]x\in \IZ[/mm] mit x>k, so kann stets geschrieben
> > > werden:
> > > [mm]g^{x}=g^{k+(x-k)}=g^{k}*g^{x-k}=1*g^{x-k}=g^{x-k}.[/mm]
> > > Und mit [mm]x-k\in[/mm] {1,2,...,k-1,k} kommen keine bei (*)
> > nicht
> > > genannten Elemente mehr hinzu.
> >
> > Du hast im Edit die Ungenauigkeit ja schon erkannt.
> > Tatsächlich lautet der Satz, den du hier verwenden musst
> > Satz der Division mit Rest:
> >
> > Ist [mm]k\not=0[/mm] eine ganze Zahl und [mm]x\in\mathbb{Z}[/mm], so
> > existieren ganze Zahlen [mm]a[/mm] und [mm]r[/mm] mit [mm]x=a\cdot k+r[/mm] und man
> > kann [mm]r[/mm] so wählen, dass [mm]0\le r\le k-1[/mm]. [mm]r[/mm] heißt der Rest
> > bei Devision durch [mm]k[/mm].
> >
> > Wenn man den anwendet, kann man schreiben [mm]g^x=g^{a\cdot k+r}=(g^k)^a\cdot g^r=1^a\cdot g^r=g^r[/mm].
>
> Ah, ich verstehe, sehr elegant gelöst. So kann man direkt
> zeigen, dass der Exponent stets in dem Intervall liegt.
> Ich werde mir das als Vereinfachung notieren, aber nicht
> so übernehmen, da ich großen Wert darauf lege, mit meinen
> eigenen Gedanken ans Ziel zu kommen - auch, wenn sie nicht
> immer die besten sind ;)
> Dass die k Elemente, die "mindestens" in <g> liegen, auch
> verschieden sind, ist ja eigentlich offensichtlich, da k
> der kleinste Exponent ist, bei dem [mm]g^{k}=1[/mm] ist.
> Alle kleineren Exponenten müssen dann zu verschiedenen
> Elementen führen, denn die Elemente können nur gleich
> sein, wenn ich aus einem größeren Exponenten einen
> Exponenten "herauskürze", der zu einer 1 führt. Geht aber
> nicht, weil eben k der kleinstmögliche davon ist.
Das hier solltest du noch ein wenig exakter formulieren. Wenn ein Beweis Anführungszeichen benötigt, ist das meist ein Zeichen, dass etwas noch nicht vollständig passt 
Ich schlage Folgendes vor: Angenommen, es existieren $a,b$, [mm] $0\le [/mm] a < [mm] b\le [/mm] k-1$ mit [mm] $g^a=g^b$. [/mm] Dann ist $0<b-a<k$ und [mm] $g^{b-a}=1$ [/mm] im Widerspruch zur Minimalität von $k$.
> > > Sei [mm]x\in \IZ[/mm] mit 0<x<k.
> > > Dann ist [mm]g^{-x}=g^{k-x},[/mm] denn
> > > [mm]g^{x}*g^{k-x}=g^{x+k-x}=g^{k}=1.[/mm]
> > > Mit [mm]k-x\in[/mm] {1,2,...,k-1} kommen keine in (*) nicht
> > > genannten Elemente mehr hinzu. (**)
> > >
> > > Sei [mm]x\in \IZ[/mm] mit k<x.
> > > Dann ist
> > > [mm]g^{-x}=(g^{x})^{-1}=(1*g^{x-k})^{-1}=(g^{x-k})^{-1}.[/mm] Mit
> > > [mm]x-k\in[/mm] {1,2,...,k-1,k} wurde dieser Fall in (**) behandelt
> > > und es kommen keine weiteren in (*) nicht genannten
> > > Elemente mehr hinzu.
> >
> > Diese beiden Abschnitte kannst du dir dann auch sparen,
> > denn sie sind in obiger Argumentation über Division mit
> > Rest bereits behandelt (ich habe [mm]x\in\IZ[/mm] beliebig
> > gewählt.
> Ist meine "unschöne Rechnerei" denn unter der
> Berücksichtigung meines edits akzeptabel, wenn ich
> dreisterweise auf deinen Divisionssatz verzichte (der mir
> im Gegensatz zu den anderen bereits begegnet ist).?
Marcel hat ja schon ein bisschen dazu gesagt. Wir könnten trotzdem versuchen, ein bisschen näher an deiner Original-Formulierung zu bleiben, aber Exaktheit darf darunter natürlich nicht leiden. Ich erkenne bei dir einen gewissen "algorithmischen Grundgedanken", den man vielleicht wie folgt exakt fassen kann:
Zeigen wollen wir: Für [mm] $x\in\mathbb{Z}$ [/mm] existiert ein $r$ mit [mm] $0\le r\le [/mm] -1$ und [mm] $g^x=g^r$. [/mm] Wir verwenden ein abgewandeltes Prinzip der Induktion (genau genommen ist die "gewöhnliche Induktion" eine abgewandelte Form von dieser hier, welche die übliche Formulierung der allgemeineren ![[]](/images/popup.gif) Noetherschen Induktion ist; wie man sie manchmal in der Mengenlehre und vor allem in der höheren Algebra beim Studium Noetherscher Ringe, deren Untermoduln (aufgefasst als Modul über sich selbst) noethersch geordnet sind, benötigt). Es besagt:
Ist für [mm] $n\in\mathbb{N}$ [/mm] eine Aussage $A(n)$ gegeben, und kann man zeigen, dass gilt
(i) $A(0)$ ist richtig,
(ii) Für [mm] $n\in\mathbb{N}$, [/mm] $n>0$ folgt aus der Richtigkeit von $A(0),A(1),...,A(n-1)$ auch die Richtigkeit von $A(n)$,
so gilt $A(n)$ für alle [mm] $n\in\mathbb{N}$.
[/mm]
Wir benutzen dies zunächst, um den Fall [mm] $x\ge [/mm] 0$ zu behandeln.
(i) Für [mm] $0\le x\le [/mm] k-1$ ist die Behauptung sicher richtig, denn wir können $r=x$ wählen.
(ii) Es sei [mm] $x\ge [/mm] k$. Wir können annehmen, dass die Behauptung für $0,1,...,x-1$ richtig ist. Insbesondere ist die Behauptung für $x-k$ richtig, das heißt, es existiert ein $r$ mit [mm] $0\le r\le [/mm] k-1$ und [mm] $g^r=g^{x-k}$. [/mm] Dann gilt jedoch [mm] $g^x=g^{x-k}\cdot g^k=g^r\cdot 1=g^r$.
[/mm]
Damit ist alles gezeigt.
Für $x<0$ kann man ähnlich argumentieren, man macht dann abgewandelte Induktion nach $-x$ und addiert im Induktionsschritt $k$, anstatt es zu subtrahieren. Du siehst aber, dass das ganze, wenn man es sauber aufschreibt ein wenig Aufwand braucht (vor allem ist dies nichts anderes als der Beweis des Satzes mit Division mit Rest).
Zuletzt möchte ich noch bemerken, dass sich der Begriff "unschöne Rechnerei" in keiner Weise gegen dich richtete, sondern eher gegen die Lehre an sich, der meiner Ansicht nach eine Modernisierung in der Hinsicht nicht schaden würde, dass das strukturelle Denken gegenüber mehr oder weniger stupiden Rechnungen in den Vordergrund gerückt würde. Denn ersteres ist es, was in der modernen Mathematik völlig unentbehrlich ist. Insbesondere kann man auch höchst unstupide (d.i. komplzierte) Rechnerei häufig durch abstrakten Unsinn extrem einfach und elegant ersetzen. Aber das ist nur meine Meinung und viele sehen das auch anders
> Danke für Deine Antwort. Übrigens geb ich Dir meinen
> Respekt, Du bist nicht nur besser in Mathe als ich, sondern
> auch jünger :D
Naja letzteres ist ja wohl kaum mein Verdienst, und ersteres ist reine Übungssache
Liebe Grüße,
Universelles Objekt
> Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:27 Mi 08.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zuletzt möchte ich noch bemerken, dass sich der Begriff
> "unschöne Rechnerei" in keiner Weise gegen dich richtete,
> sondern eher gegen die Lehre an sich, der meiner Ansicht
> nach eine Modernisierung in der Hinsicht nicht schaden
> würde, dass das strukturelle Denken gegenüber mehr oder
> weniger stupiden Rechnungen in den Vordergrund gerückt
> würde.
tatsächlich hatte ich einen Dozenten, der eigentlich genau so das sagte,
was Du hier sagst. Ich sehe es ähnlich, aber nicht ganz so: Es gibt nämlich
einfach auch Situationen, wo man eine lange Rechnung durchaus
gebrauchen kann, sofern man sich denn die Mühe macht, sie auch auf
Fehlerfreiheit zu überprüfen. Außerdem sollten wir nicht vergessen, dass
auch viele "theoretische Erkenntnisse" gerade erst durch mühseliges
Rechnen entdeckt wurden. Natürlich hat man hinterher alles, was man
vereinfachen konnte, auch versucht, zu vereinfachen.
Aber generell sollte man auch nicht unterschätzen, dass man gerade durch
intensives "rechnen" auch etwas lernt - nämlich zum Beispiel bekommt man
durchaus auch ein Gefühl dafür, schnell zu entscheiden, ob man eine Idee
von jemanden für richtig oder falsch hält. Schlussendlich lernt man aber
gerade auch, wenn man mal einen "richtig langen Beweis" durch "elementarste
Übelegungen", der vielen Rechnungen, Zwischenergebnissen, bedurfte, ein
"Werkzeug" viel besser zu bewerten, bzw. zu verstehen, dass jemand
zum Beispiel sowas sagt wie "Dass man hier die Reihenglieder einfach
umsortieren darf, ist nicht trivial - eigentlich benutzt Du da ein mächtiges
Werkzeug" (z.B. den "mächtigen" Steinitz). Und ich glaube auch nicht, dass
Riemann nicht erst mal ein wenig rumgerechnet und rumprobiert hat, bevor
er zu seinem Umordnungssatz kam. Bekannt ist übrigens durchaus, dass
Euler ein sehr begeisterter "Rechner" war. Die eigentlich Kunst liegt vermutlich
in der Kombination dieser beiden Fähigkeiten, wobei ich es natürlich
durchaus auch so sehe, dass jemand, der "theoretisch" alles komplett
durchdenkt, wohl eher wenig bis keine Rechnerei benötigen wird. Aber
irgendwer wird sicher irgendwann dann auch mal die Ergebnisse in der
Praxis benötigen (oder "testen" wollen).
> Denn ersteres ist es, was in der modernen
> Mathematik völlig unentbehrlich ist. Insbesondere kann man
> auch höchst unstupide (d.i. komplzierte) Rechnerei häufig
> durch
> abstrakten Unsinn
> extrem einfach und elegant ersetzen. Aber das ist nur meine
> Meinung und viele sehen das auch anders
Es kann aber auch durchaus sein, dass die "stupide Rechnerei" wenigstens
für jeden nachvollziehbar war, während man sich für "Abstraktes" vielleicht
einiges wirklich hart erarbeiten muss. Auch da ist die Kunst, sowas richtig
zu bewerten - manchmal ist es durchaus gut, einfach beides zur Hand zu
haben.
> > Danke für Deine Antwort. Übrigens geb ich Dir meinen
> > Respekt, Du bist nicht nur besser in Mathe als ich, sondern
> > auch jünger :D
>
> Naja letzteres ist ja wohl kaum mein Verdienst, und
> ersteres ist reine Übungssache
Und Ehrgeiz und Interesse - aber das merkt man ja bei Dir eigentlich immer,
dass das kein Problem bei Dir ist.
Und ohne, dass ich das Böse meine: Man muss auch beachten, dass Physiker
die Mathematik meist eher "praktisch" brauchen und sich daher nicht immer
für jedes Detailverständnis interessieren (wollen). Und wer schon mal mit
Physikern zusammengearbeitet hat, wird erstaunt sein, wie gut das
"trotzdem" funktioniert bzw. dass sie auch im Laufe der Zeit durch Erfahrung
selbstständig die vielleicht anfangs gar nicht gelernten Theoriebausteine
zusammengebastelt bekommen. Und das durchaus auch, weil sie oft
gezwungermaßen so einiges "(nach-) rechnen" mussten.
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
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> > Zuletzt möchte ich noch bemerken, dass sich der Begriff
> > "unschöne Rechnerei" in keiner Weise gegen dich richtete,
> > sondern eher gegen die Lehre an sich, der meiner Ansicht
> > nach eine Modernisierung in der Hinsicht nicht schaden
> > würde, dass das strukturelle Denken gegenüber mehr oder
> > weniger stupiden Rechnungen in den Vordergrund gerückt
> > würde.
>
> tatsächlich hatte ich einen Dozenten, der eigentlich genau
> so das sagte,
> was Du hier sagst. Ich sehe es ähnlich, aber nicht ganz
> so: Es gibt nämlich
> einfach auch Situationen, wo man eine lange Rechnung
> durchaus
> gebrauchen kann, sofern man sich denn die Mühe macht, sie
> auch auf
> Fehlerfreiheit zu überprüfen. Außerdem sollten wir
> nicht vergessen, dass
> auch viele "theoretische Erkenntnisse" gerade erst durch
> mühseliges
> Rechnen entdeckt wurden. Natürlich hat man hinterher
> alles, was man
> vereinfachen konnte, auch versucht, zu vereinfachen.
> Aber generell sollte man auch nicht unterschätzen, dass
> man gerade durch
> intensives "rechnen" auch etwas lernt - nämlich zum
> Beispiel bekommt man
> durchaus auch ein Gefühl dafür, schnell zu entscheiden,
> ob man eine Idee
> von jemanden für richtig oder falsch hält.
> Schlussendlich lernt man aber
> gerade auch, wenn man mal einen "richtig langen Beweis"
> durch "elementarste
> Übelegungen", der vielen Rechnungen, Zwischenergebnissen,
> bedurfte, ein
> "Werkzeug" viel besser zu bewerten, bzw. zu verstehen,
> dass jemand
> zum Beispiel sowas sagt wie "Dass man hier die
> Reihenglieder einfach
> umsortieren darf, ist nicht trivial - eigentlich benutzt
> Du da ein mächtiges
> Werkzeug" (z.B. den "mächtigen"
> Steinitz).
> Und ich glaube auch nicht, dass
> Riemann nicht erst mal ein wenig rumgerechnet und
> rumprobiert hat, bevor
> er zu seinem Umordnungssatz kam.
Hi Marcel,
ich bin mir nicht sicher, ob dieses Beispiel passt. Mir scheint, dass der Riemann mehr oder weniger trivial ist (ich habe mir die Aussage durchgelesen, und mir war sofort klar, dass der Beweis so auszusehen habe, wie es dann tatsächlich auf Wikipedia steht), der Steinitz hingegen nicht. Dann ist es zwar so, dass Riemann unmittelbar aus Steinitz folgt, aber wenn man die Gesamtlänge des Beweises [mm] $\text{Steinitz}\wedge(\text{Steinitz}\implies \text{Riemann})$ [/mm] anguckt, ist das wahrscheinlich deutlich mehr, als Riemann alleine. Überspitzt wäre das also so, wie zu sagen: "Für [mm] $a,b,c\in\mathbb{C}$, $a\not=0$ [/mm] löst genau ein $x$ die Gleichung $ax+b=c$ - das folgt doch unmittelbar aus dem Fundamentalsatz der Algebra".
Ein durchaus mögliches Szenario sähe hingegen so aus: Ein junger Mensch liest gerade im Lang über Polynomringe, dass [mm] $A[X_1,...,X_n]$ [/mm] dasselbe ist, wie [mm] $A[X_1,...,X_{n-1}][X_n]$ [/mm] - in gewohnter unsauberer Sprechweise vom Lang. Er denkt sich: Hm, zeige ich doch einfach allgemein, dass [mm] $A[S\sqcup T]\cong [/mm] A[S][T]$ für Mengen $S,T$. Naja, das sind ganz schön viele Indizes, aber $A[S]$ ist doch nichts anderes als der Monoidring $A[F(S)]$, wobei $F(S)$ das freie kommutative Monoid über $S$ ist. Ich will also zeigen, dass [mm] $A[F(S)\oplus F(T)]\cong [/mm] A[F(S)][F(T)]$. Gilt das vielleicht für allgemine kommutative Monoide? Er schreibt sich den Isomomorphismus auf, es funktioniert. Er hat aber keine Lust, zu zeigen, dass die Abbildung ein additiver, ein multiplikativer Homomorphismus ist, injektiv und surjektiv. Es gilt doch [mm] $Mor(A[M\oplus M'],-)\cong Mor(A,-)\times Mor(M\oplus [/mm] M',V(-))$, wobei $V$ der Vergissfunktor [mm] $\mathbf{Ring}\longrightarrow \mathbf{Monoid}$ [/mm] ist. Dann hat man sofort [mm] $Mor(A[M\oplus M'],-)\cong [/mm] Mor(A[M][M'],-)$ und mit dem Lemma von Yoneda folgt die Behauptung.
Damit hat man eine Seite einfachster Rechnungen getauscht gegenüber zwei Zeilen Anwendung von Yoneda. Yoneda selbst braucht zum Beweis ungefähr eine Zeile, etwa hier. Außerdem hat man sich nochmal klargemacht, dass disjunkte Vereinigung, direkte Summe von Monoiden und Koprodukt von Algebren alles dasselbe ist. Dieses Szenario ist natürlich keines, sondern ich selbst vor ein paar Tagen.
> Bekannt ist übrigens
> durchaus, dass
> Euler ein sehr begeisterter "Rechner" war.
Das mag sein, aber etwas zynisch könnte ich bemerken, dass Riemann, Steinitz und Euler alle lange vor der Kategorientheorie u.ä. gelebt haben. Vielleicht würden sie das ja heute anders sehen ich sage ja nur, dass die Möglichkeiten, die wir heute haben, auch gerne genutzt werden sollen.
> Die eigentlich
> Kunst liegt vermutlich
> in der Kombination dieser beiden Fähigkeiten, wobei ich
> es natürlich
> durchaus auch so sehe, dass jemand, der "theoretisch" alles
> komplett
> durchdenkt, wohl eher wenig bis keine Rechnerei benötigen
> wird. Aber
> irgendwer wird sicher irgendwann dann auch mal die
> Ergebnisse in der
> Praxis benötigen (oder "testen" wollen).
>
> > Denn ersteres ist es, was in der modernen
> > Mathematik völlig unentbehrlich ist. Insbesondere kann man
> > auch höchst unstupide (d.i. komplzierte) Rechnerei häufig
> > durch
> > abstrakten Unsinn
> > extrem einfach und elegant ersetzen. Aber das ist nur meine
> > Meinung und viele sehen das auch anders
>
> Es kann aber auch durchaus sein, dass die "stupide
> Rechnerei" wenigstens
> für jeden nachvollziehbar war, während man sich für
> "Abstraktes" vielleicht
> einiges wirklich hart erarbeiten muss. Auch da ist die
> Kunst, sowas richtig
> zu bewerten - manchmal ist es durchaus gut, einfach beides
> zur Hand zu
> haben.
Das ist es auch, was ich denke. Indem manche die abstrakte Seite betonen, und andere die rechnerische, kommt ja vielleicht im Mittel der Mathematiker das dabei raus, was optimal ist. Ich bin auch nicht so fundamental, dass ich sage, lehrt doch anstelle von Analysis und Lineare Algebra einfach Kategorientheorie und homologische Algebra - die ersten 5 Jahre Vorlesung bestehen dann nur noch aus trivialen Folgerungen.
Aber ich bin der Ansicht, dass man nach LA I und Ana I genug Beispiele zur Hand hätte, um die grundlegenden Begriffe der Kategorientheorie erlernen könnte. Man kennt dann:
Kategorien: Mengen, Gruppen, Körper, Vektorräume, geordnete Mengen,...
Funktoren: Potenzmengen, Hom-Funktoren, Dualitätsfunktor,...
Universelle Objekte: Disj. Vereinigungen, kartesische Produkte, direkte Summe, direktes Produkt, erzeugte Unterräume, Quotientenstrukturen, metrische Vervollständigungen,...
Wenn man dann sehr früh diese Begriffe zur Hand hätte, könnte man alles Folgende meiner Meinung nach in einem sehr allgemeinen Licht sehen, und man könnte sehen, wie alles in allen Bereichen der Mathematik zusammenhängt. So in etwa stelle ich mir eine mittelfristige Entwicklung in der Lehre vor.
> > > Danke für Deine Antwort. Übrigens geb ich Dir meinen
> > > Respekt, Du bist nicht nur besser in Mathe als ich, sondern
> > > auch jünger :D
> >
> > Naja letzteres ist ja wohl kaum mein Verdienst, und
> > ersteres ist reine Übungssache
>
> Und Ehrgeiz und Interesse - aber das merkt man ja bei Dir
> eigentlich immer,
> dass das kein Problem bei Dir ist.
>
> Und ohne, dass ich das Böse meine: Man muss auch beachten,
> dass Physiker
> die Mathematik meist eher "praktisch" brauchen und sich
> daher nicht immer
> für jedes Detailverständnis interessieren (wollen). Und
> wer schon mal mit
> Physikern zusammengearbeitet hat, wird erstaunt sein, wie
> gut das
> "trotzdem" funktioniert bzw. dass sie auch im Laufe der
> Zeit durch Erfahrung
> selbstständig die vielleicht anfangs gar nicht gelernten
> Theoriebausteine
> zusammengebastelt bekommen. Und das durchaus auch, weil
> sie oft
> gezwungermaßen so einiges "(nach-) rechnen" mussten.
>
> Gruß,
> Marcel
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:50 Mi 08.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi Paivren,
>
> das ist natürlich schade (ich will nicht sagen tragisch),
> dass du diese wichtigen Begriffe noch nicht kennst, aber
> dann führt wohl tatsächlich kein Weg an dieser unschönen
> Rechnerei vorbei.
>
> > 1. Fall: Ord(g)= [mm]\infty[/mm]
> > Es ex. kein [mm]k\in \IN[/mm] mit [mm]g^{k}=1.[/mm]
> > Für jedes [mm]x\in \IN[/mm] gibt es daher keine passenden [mm]y\in \IN,[/mm]
> > sodass mit x+y [mm]\in \IN[/mm] gilt: [mm]g^{x}*g^{y}=g^{x+y}=1.[/mm]
> > Das heißt für [mm]a,b\in \IN: g^{a}\not= g^{b}.[/mm]
> > Dann
> ist
> > [mm]||=|\{ k\in \IZ | k>0 \}|=\infty[/mm]
> > Das sollte gehen,
> da die Mächtigkeit der ganzen Zahlen
> > gleich der Mächtigkeit der natürlichen Zahlen ist
> > (abzählbar unendlich).
>
> Das passt.
>
> > 2. Fall: [mm]Ord(g)<\infty.[/mm]
> > Dann ex. [mm]k\in \IN[/mm] mit [mm]g^{k}=1,[/mm] also ist Ord(g)=k.
>
> So, wie es da steht, ist es nicht richtig. Es existiert ein
> [mm]k[/mm] mit [mm]g^\red{n}=1[/mm].
ist [mm] $n=k\,$? [/mm]
Gruß,
Marcel
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> > > 2. Fall: [mm]Ord(g)<\infty.[/mm]
> > > Dann ex. [mm]k\in \IN[/mm] mit [mm]g^{k}=1,[/mm] also ist Ord(g)=k.
> >
> > So, wie es da steht, ist es nicht richtig. Es existiert ein
> > [mm]k[/mm] mit [mm]g^\red{n}=1[/mm].
>
> ist [mm]n=k\,[/mm]?
>
> Gruß,
> Marcel
Selbstverständlich; so wie etwa in der algebraischen Geometrie Ringe stets als kommutativ und unital angenommen werden, nehme ich stets an, dass $n=k$, um lästige Fallunterscheidungen zu vermeiden. Ich dachte, diese Konvention wäre bekannt, darum habe ich nichts dazugesagt.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
Übrigens: Schöne Signatur, die Bedeutung der Schönheit in der Mathematik wird gerne unterschätzt!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:21 So 02.02.2014 | | Autor: | Paivren |
Wow, hier war ja noch ein richtiges Gespräch entbrann^^
Ich habe die elegante Lösung letzten Endes doch übernommen, weil es, wie Marcel schon sagte, nur eine Formfrage war. Mit meinem "algorithmischen Rumgerechne" habe ich ja quasi versucht, den Satz der Division mit Rest zu verwenden.
Marcel, du hast Recht, man sollte es wirklich nicht "übertreiben". Tipps annehmen oder die Sache, die man im Kopf schon richtig macht, eleganter aufzuschreiben, wenn man es gezeigt bekommt, ist wohl in Ordnung.
Die Aufgabe war übrigens zur Linearen Algebra 1, danach hattest Du, UniversellesObjekt, ja gefragt. Schreibe demnächst eine Klausur darin, und werde vermutlich noch ein, zwei Fragen dazu stellen ;)
Danke euch beiden nochmal!
Gruß
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Hallo Paivren,
Alternativer Ansatz:
Betrachte den Homomorphismus [mm] $\mathbb {Z}\longrightarrow [/mm] G$ mit $ [mm] n\longmapsto g^n [/mm] $ und verwende den Homomorphiesatz.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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