Ordnung der Einheitswurzeln < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Für jede nte Einheitswurzel [mm] \omega=e^{\frac{2\pi ki}{n}}, [/mm] k=1,...,n ist die Ordnung definiert als die kleinste natürliche Zahl r, so dass [mm] \omega^{r}=1. [/mm] Finden Sie die Ordnung aller nten Einheitswurzeln. |
Hallo,
erstmal wieder der original englische Wortlaut um Missverständnisse zu vermeiden:
For an nth root of unity [mm] \omega=e^{\frac{2\pi ki}{n}}, [/mm] k=1,...,n the order of [mm] \omega [/mm] is the least natural number r with [mm] \omega^{r}=1. [/mm] Find the orders of all nth roots of unity.
Dies ist eine Frage aus meinem Kurs zur komplexen Analysis, aber es riecht nach Gruppentheorie ! Die nten Einheitswurzeln bilden die zyklische Gruppe [mm] C_{n}=\{1,\omega,\omega^2,...,\omega^{n-1}\}, [/mm] daher muss nach dem Satz von Lagrange die Ordnung eines jeden Elements die Anzahl der Elemente in [mm] C_{n} [/mm] dividieren. Es folgt also, dass für n prim die Ordnung der Elemente gegeben ist durch 1 und n. Für jedes andere n mit der Primzahlfakorisierung [mm] n=p_{1}*p_{2}*...*p_{s} [/mm] sind die Ordnungen gegeben durch:
einen der Primfaktoren, oder ein produkt aus bis zu s der primfaktoren.
Ist n gerade, so kann man die Aussage treffen, dass die Ordnung für das Element mit [mm] k=\frac{n}{2} [/mm] gleich 2 ist.
Kann man das ganze noch spezifieren, also für jedes [mm] \omega [/mm] getrennt eine Aussage treffen ?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:29 Do 03.02.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Für jede nte Einheitswurzel [mm]\omega=e^{\frac{2\pi ki}{n}},[/mm]
> k=1,...,n ist die Ordnung definiert als die kleinste
> natürliche Zahl r, so dass [mm]\omega^{r}=1.[/mm] Finden Sie die
> Ordnung aller nten Einheitswurzeln.
> Hallo,
>
> erstmal wieder der original englische Wortlaut um
> Missverständnisse zu vermeiden:
>
> For an nth root of unity [mm]\omega=e^{\frac{2\pi ki}{n}},[/mm]
> k=1,...,n the order of [mm]\omega[/mm] is the least natural number r
> with [mm]\omega^{r}=1.[/mm] Find the orders of all nth roots of
> unity.
>
> Dies ist eine Frage aus meinem Kurs zur komplexen Analysis,
> aber es riecht nach Gruppentheorie ! Die nten
> Einheitswurzeln bilden die zyklische Gruppe
> [mm]C_{n}=\{1,\omega,\omega^2,...,\omega^{n-1}\},[/mm] daher muss
> nach dem Satz von Lagrange die Ordnung eines jeden Elements
> die Anzahl der Elemente in [mm]C_{n}[/mm] dividieren. Es folgt also,
> dass für n prim die Ordnung der Elemente gegeben ist durch
> 1 und n. Für jedes andere n mit der Primzahlfakorisierung
> [mm]n=p_{1}*p_{2}*...*p_{s}[/mm] sind die Ordnungen gegeben durch:
> einen der Primfaktoren, oder ein produkt aus bis zu s der
> primfaktoren.
>
> Ist n gerade, so kann man die Aussage treffen, dass die
> Ordnung für das Element mit [mm]k=\frac{n}{2}[/mm] gleich 2 ist.
>
> Kann man das ganze noch spezifieren, also für jedes [mm]\omega[/mm]
> getrennt eine Aussage treffen ?
Ja. Es ist [mm] $\omega [/mm] = [mm] \exp\frac{2 \pi i k}{n}$ [/mm] und [mm] $\omega^t [/mm] = [mm] \exp\frac{2 \pi i k t}{n}$. [/mm] Nun gilt [mm] $\omega^t [/mm] = 1 [mm] \Leftrightarrow \frac{2 \pi i k t}{n} \in [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] i [mm] \IZ \Leftrightarrow \frac{k t}{n} \in \IZ$.
[/mm]
Du willst also fuer einen Bruch [mm] $\frac{k}{n}$ [/mm] die kleinste Zahl $t [mm] \ge [/mm] 1$ wissen mit $t [mm] \frac{k}{n} \in \IZ$.
[/mm]
Tipp: es hat etwas mit der gekuerzten Darstellung von [mm] $\frac{k}{n}$ [/mm] zu tun.
b) Was hast es damit zu tun?
a) Wie erhaelt man die gekuerzte Darstellung aus $k$ und $n$?
LG Felix
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Hi,
danke für deine Antwort !
> Moin!
>
> > Für jede nte Einheitswurzel [mm]\omega=e^{\frac{2\pi ki}{n}},[/mm]
> > k=1,...,n ist die Ordnung definiert als die kleinste
> > natürliche Zahl r, so dass [mm]\omega^{r}=1.[/mm] Finden Sie die
> > Ordnung aller nten Einheitswurzeln.
> > Hallo,
> >
> > erstmal wieder der original englische Wortlaut um
> > Missverständnisse zu vermeiden:
> >
> > For an nth root of unity [mm]\omega=e^{\frac{2\pi ki}{n}},[/mm]
> > k=1,...,n the order of [mm]\omega[/mm] is the least natural number r
> > with [mm]\omega^{r}=1.[/mm] Find the orders of all nth roots of
> > unity.
> >
> > Dies ist eine Frage aus meinem Kurs zur komplexen Analysis,
> > aber es riecht nach Gruppentheorie ! Die nten
> > Einheitswurzeln bilden die zyklische Gruppe
> > [mm]C_{n}=\{1,\omega,\omega^2,...,\omega^{n-1}\},[/mm] daher muss
> > nach dem Satz von Lagrange die Ordnung eines jeden Elements
> > die Anzahl der Elemente in [mm]C_{n}[/mm] dividieren. Es folgt also,
> > dass für n prim die Ordnung der Elemente gegeben ist durch
> > 1 und n. Für jedes andere n mit der Primzahlfakorisierung
> > [mm]n=p_{1}*p_{2}*...*p_{s}[/mm] sind die Ordnungen gegeben durch:
> > einen der Primfaktoren, oder ein produkt aus bis zu s
> der
> > primfaktoren.
> >
> > Ist n gerade, so kann man die Aussage treffen, dass die
> > Ordnung für das Element mit [mm]k=\frac{n}{2}[/mm] gleich 2 ist.
> >
> > Kann man das ganze noch spezifieren, also für jedes [mm]\omega[/mm]
> > getrennt eine Aussage treffen ?
>
> Ja. Es ist [mm]\omega = \exp\frac{2 \pi i k}{n}[/mm] und [mm]\omega^t = \exp\frac{2 \pi i k t}{n}[/mm].
> Nun gilt [mm]\omega^t = 1 \Leftrightarrow \frac{2 \pi i k t}{n} \in 2 \pi i \IZ \Leftrightarrow \frac{k t}{n} \in \IZ[/mm].
>
> Du willst also fuer einen Bruch [mm]\frac{k}{n}[/mm] die kleinste
> Zahl [mm]t \ge 1[/mm] wissen mit [mm]t \frac{k}{n} \in \IZ[/mm].
>
> Tipp: es hat etwas mit der gekuerzten Darstellung von
> [mm]\frac{k}{n}[/mm] zu tun.
> b) Was hast es damit zu tun?
t muss so gewählt sein, dass der Bruch verschwindet, es muss also ein Vielfaches von n sein. Damit das n im Nenner verschwindet und t möglichst klein ist würde ich das kleinste gemeinsame Vielfache von k und n, lcm(n,k), wählen. Damit ist [mm] t*\frac{k}{n} [/mm] auf jeden fall in [mm] \IZ, [/mm] aber der Faktor k scheint dann unnötig, also [mm] t=\frac{lcm(n,k)}{k} [/mm] ?!
> a) Wie erhaelt man die gekuerzte Darstellung aus [mm]k[/mm] und [mm]n[/mm]?
Mittels Primfaktorzerlegung ? Da [mm] k,n\in\IZ [/mm] haben beide eine einzigartige Primfaktorzerlegung. [mm] k=p_{1}...p_{r} [/mm] und [mm] n=q_{1}...q_{s}. [/mm] Gemeinsame Primfaktoren kann ich herauskürzen. Ist es das was du meinst ?
Edit: Mir fällt gerade noch was besseres ein. Die gekürze darstellung erhalte ich, indem ich Zähler und Nenner durch den größten gemeinsamen Teiler teile, dann habe ich n*k=lcm(n,k)*hcf(n,k).
>
> LG Felix
>
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:17 Fr 04.02.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Du willst also fuer einen Bruch [mm]\frac{k}{n}[/mm] die kleinste
> > Zahl [mm]t \ge 1[/mm] wissen mit [mm]t \frac{k}{n} \in \IZ[/mm].
> >
> > Tipp: es hat etwas mit der gekuerzten Darstellung von
> > [mm]\frac{k}{n}[/mm] zu tun.
> > b) Was hast es damit zu tun?
>
> t muss so gewählt sein, dass der Bruch verschwindet, es
> muss also ein Vielfaches von n sein.
Muss es nicht. Den Bruch [mm] $\frac{2}{4}$ [/mm] musst du z.B. nur mit 2 und nicht mit einem Vielfachen von 4 multiplizieren, um daraus eine ganze Zahl zu machen.
> Damit das n im Nenner
> verschwindet und t möglichst klein ist würde ich das
> kleinste gemeinsame Vielfache von k und n, lcm(n,k),
> wählen. Damit ist [mm]t*\frac{k}{n}[/mm] auf jeden fall in [mm]\IZ,[/mm]
> aber der Faktor k scheint dann unnötig, also
> [mm]t=\frac{lcm(n,k)}{k}[/mm] ?!
Ja, das ist schon besser  Jetzt beachte, dass $lcm(n, k) = [mm] \frac{n k}{ggT(n, k)}$ [/mm] ist.
> > a) Wie erhaelt man die gekuerzte Darstellung aus [mm]k[/mm] und [mm]n[/mm]?
>
> Mittels Primfaktorzerlegung ? Da [mm]k,n\in\IZ[/mm] haben beide eine
> einzigartige Primfaktorzerlegung. [mm]k=p_{1}...p_{r}[/mm] und
> [mm]n=q_{1}...q_{s}.[/mm] Gemeinsame Primfaktoren kann ich
> herauskürzen. Ist es das was du meinst ?
Ja, allerdings kann man es besser beschreiben. Um [mm] $\frac{k}{n}$ [/mm] zu kuerzen, schreibst du doch [mm] $\frac{k}{n} [/mm] = [mm] \frac{k/d}{n/d}$, [/mm] wobei $d$ ein gemeinsamer Teiler von $k$ und $n$ ist. Wenn [mm] $\frac{k'}{n'}$ [/mm] mit $k' = k/d$, $n' = n/d$ gekuerzt sein soll, muss $d$ sogar ein ganz spezieller Teiler sein -- weisst du was fuer einer?
> Edit: Mir fällt gerade noch was besseres ein. Die gekürze
> darstellung erhalte ich, indem ich Zähler und Nenner durch
> den größten gemeinsamen Teiler teile, dann habe ich
> n*k=lcm(n,k)*hcf(n,k).
Wenn hcf = gcd (greatest common divisor) = ggT (groesster gemeinsamer Teiler) ist, ja. Damit hast du meine Frage gerade schon beantwortet 
LG Felix
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Hi felix,
vielen Dank für deine Antwort. Die Ordnung der Einheitswurzeln wäre also demnach [mm] t=\frac{kgV(n,k)}{k}=\frac{n}{ggT(n,k)}. [/mm] Entschuldige meine Notation, hcf=highes common factor=größter gemeinsamer Teiler=ggT, lcm=lowest common multiple=kleinstes gemeinsames Vielfaches=kgV.
Eine Frage habe ich aber noch, wie rechtfertige ichdie Division durch k bzw. die Multiplikation mit n bei [mm] t=\frac{kgV(n,k)}{k}=\frac{n}{ggT(n,k)}? [/mm] Gerade bei solchen Sachen fällt es mir schwer einen vernünftigen Beweis zu schreiben. Kommt mir immer etwas aus der Luft gegriffen vor!
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:46 Fr 04.02.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> vielen Dank für deine Antwort. Die Ordnung der
> Einheitswurzeln wäre also demnach
> [mm]t=\frac{kgV(n,k)}{k}=\frac{n}{ggT(n,k)}.[/mm]
genau :)
> Entschuldige meine
> Notation, hcf=highes common factor=größter gemeinsamer
> Teiler=ggT, lcm=lowest common multiple=kleinstes
> gemeinsames Vielfaches=kgV.
Ah, die Bezeichnung ![[]](/images/popup.gif) highest common factor kannte ich noch gar nicht. Wieder was gelernt
> Eine Frage habe ich aber noch, wie rechtfertige ichdie
> Division durch k bzw. die Multiplikation mit n bei
> [mm]t=\frac{kgV(n,k)}{k}=\frac{n}{ggT(n,k)}?[/mm] Gerade bei solchen
> Sachen fällt es mir schwer einen vernünftigen Beweis zu
> schreiben. Kommt mir immer etwas aus der Luft gegriffen
> vor!
Ich wuerd's so machen:
Es gilt ja $d [mm] \cdot \frac{n}{k} \in \IZ \Leftrightarrow [/mm] d [mm] \cdot \frac{n/ggT(n,k)}{k/ggT(n,k)} \in \IZ$. [/mm] Da $n/ggT(n,k)$ und $k/ggT(n,k)$ teilerfremd sind, ist dies genau dann der Fall, wenn $d$ ein Vielfaches von $k/ggT(n,k)$ ist (es gilt allgemein: sind $a, b, c$ Zahlen mit $ggT(a, b) = 1$, so gilt $a [mm] \mid [/mm] b c [mm] \Leftrightarrow [/mm] a [mm] \mid [/mm] c$). Also ist das kleinste positive solche $d$ gerade $k/ggT(n,k)$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:29 Fr 04.02.2011 | | Autor: | MontBlanc |
Hi Felix,
danke fuer die Hilfe, ich denke ich habs verstanden.
Lg
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