Ordnung eines Gruppenelements < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich bin gerade leicht verwirrt bzgl der Definition "Ordnung eines Gruppenelements"
Diese ist doch:
ord(g) = min { k [mm] \in \IN [/mm] / [mm] g^k=e [/mm] }
Wenn ich also die Ordnung eines Gruppenelements bestimmen will, so verknüpfe ich das Element multiplikativ mit sich selbst, g*g und wiederhole das sooft, bis endlich g*g...*g = e ist? oder?
Aber wie gehe ich vor, wenn ich eine additive Gruppe habe?
Zum Beispiel Z/8Z ?
Z/8Z={0,1,2,3,4,5,6,7}
wie kann ich hier die Ordnung von 0 bestimmen??
0*0*...*0 = 0 [mm] \not= [/mm] 1 = neutrales Element bzgl der Multipikation
oder muss ich um die Ordnung zu bestimmen additiv verknüpfen??
das entspricht aber nicht der Definition?
Fragen über Fragen....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:26 Fr 04.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Hallo,
> ich bin gerade leicht verwirrt bzgl der Definition "Ordnung
> eines Gruppenelements"
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> Diese ist doch:
> ord(g) = min { k [mm]\in \IN[/mm] / [mm]g^k=e[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
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> Wenn ich also die Ordnung eines Gruppenelements bestimmen
> will, so verknüpfe ich das Element multiplikativ mit sich
> selbst, g*g und wiederhole das sooft, bis endlich g*g...*g
> = e ist? oder?
>
> Aber wie gehe ich vor, wenn ich eine additive Gruppe habe?
> Zum Beispiel Z/8Z ?
>
> Z/8Z={0,1,2,3,4,5,6,7}
>
> wie kann ich hier die Ordnung von 0 bestimmen??
> 0*0*...*0 = 0 [mm]\not=[/mm] 1 = neutrales Element bzgl der
> Multipikation
>
> oder muss ich um die Ordnung zu bestimmen additiv
> verknüpfen??
Ja, hier ist *=+
FRED
> das entspricht aber nicht der Definition?
>
> Fragen über Fragen....
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wie ist dann die genaue Definition für Ordnung?
ich finde in meinen Büchern immer nur die Definition für multipl. Gruppen?
ich würde das gerne mal formal richtig haben...
ich habe nämlich immer das Problem die Ordnung von Elementen zu bestimmen.
Bin auch auf ein weiteres Problem gestoßen...
wie bestimme ich die Ordnung von einem Element aus einer Faktorgruppe?
A/B ist eine Faktorgruppe, a+b mit a [mm] \in [/mm] A b [mm] \in [/mm] B ist ein Element daraus.
was ist dann ord(a+b)??
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Hallo,
zur Definition siehe ![[]](/images/popup.gif) hier
Die Ordnung eines Elemetes einer (endlichen) Faktorgruppe kann man meiner Ansicht nach nicht so ohne weiteres angeben, ohne die Gruppe und den betreffenden Normalteiler zu kennen.
Gruß, Diophant
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hmm, ich verstehe es einfach nicht.
die Definition benutzt doch wieder nur die Potenz und die Potenz ist doch eine multiplikative Verknüpfung.
Ich habe überlegt, welche Ordnung die Elemente aus
Z/8Z / Z/2Z haben.
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Hallo,
> hmm, ich verstehe es einfach nicht.
> die Definition benutzt doch wieder nur die Potenz und die
> Potenz ist doch eine multiplikative Verknüpfung.
das ist doch völlig wurscht. Es geht darum, dass ein Element mit sich selbst verknüpft wird, und das immer wieder, so lange bis das neutrale Element dabei herauskommt. Ob die Verknüpfung nun Addition, Multiplikation oder bspw. Wrtlprmft heißt, spielt dabei überhaupt keine Rolle. 
Gruß, Diophant
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ah ok,
dann ist die Potenz nicht automatisch für eine Multiplikation definiert.
sondern für jede Verknüpfung. [mm] g^k [/mm] = g [mm] \circ [/mm] g [mm] \circ [/mm] .... [mm] \circ [/mm] g (das ganze k-mal)
verstehe ich das richtig?
und wie berechne ich die Ordnung eines Elements der Faktorgruppe [mm] \IZ_{8} [/mm] / [mm] \IZ_{2} [/mm] ?
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Um dich noch weiter zu verwirren, oder besser: zum Nachdenken anzuregen, schreibe ich die Gruppen multiplikativ. Und statt [mm]\mathbb{Z}_8[/mm] schreibe ich gefährlicher aussehend [mm]\mathfrak{Z}_8[/mm] (das [mm]\mathfrak{Z}[/mm] soll irgendwie an "zyklisch" erinnern). Die Gruppe [mm]\mathfrak{Z}_8[/mm] werde von dem Element [mm]a[/mm] der Ordnung 8 erzeugt. Es ist also
[mm]\mathfrak{Z}_8 = \left\{ 1,a,a^2,a^3,a^4,a^5,a^6,a^7 \right\}[/mm]
Und natürlich gilt [mm]a^8 = 1[/mm]. Die Ordnungen der Elemente in der Reihenfolge der Menge oben sind 1,8,4,8,2,8,4,8.
Jetzt soll [mm]\mathfrak{Z}_2[/mm] als Untergruppe von [mm]\mathfrak{Z}_8[/mm] aufgefaßt werden (sonst könnte man gar keine Restklassen bilden). Man braucht daher ein Element der Ordnung 2. Da kommt nur [mm]a^4[/mm] in Frage. Damit ist
[mm]\mathfrak{Z}_2 = \left\{ 1,a^4 \right\}[/mm]
Jetzt die Restklassen. Jede Restklasse hat bekanntlich gleich viele Elemente wie die Untergruppe, nach der die Restklassen gebildet werden, hier also 2. Die Restklassen sind disjunkt und machen zusammen die volle Menge aus. Daher muß es vier Restklassen geben. Und hier sind sie:
[mm]\varepsilon = \mathfrak{Z}_2 = \left\{ 1,a^4 \right\}[/mm]
[mm]\alpha = a \cdot \mathfrak{Z}_2 = \left\{ a,a^5 \right\}[/mm]
[mm]\beta = a^2 \cdot \mathfrak{Z}_2 = \left\{ a^2,a^6 \right\}[/mm]
[mm]\gamma = a^3 \cdot \mathfrak{Z}_2 = \left\{ a^3,a^7 \right\}[/mm]
Daß keine gleichen Elemente in den verschiedenen Restklassen auftreten, kann man schön sehen, und in der Tat ist [mm]\varepsilon \cup \alpha \cup \beta \cup \gamma = \mathfrak{Z}_8[/mm].
Es ist übrigens egal, welchen Repräsentanten man für die jeweilige Restklasse nimmt. Bei [mm]\beta[/mm] hätte man statt [mm]a^2[/mm] ebensogut [mm]a^6[/mm] als Repräsentanten wählen können: [mm]a^2 \cdot \mathfrak{Z}_2 = a^6 \cdot \mathfrak{Z}_2[/mm].
Wenn nun die Untergruppe, von der die Restklassen gebildet werden, ein Normalteiler ist (bei abelschen Gruppen ist das trivialerweise der Fall), dann bilden die Restklassen selber wieder eine Gruppe, eben die Faktorgruppe:
[mm]G = \mathfrak{Z}_8 / \mathfrak{Z}_2 = \left\{ \varepsilon, \alpha, \beta, \gamma \right\}[/mm]
Und die Mengen (also die Restklassen), die jetzt die Elemente der Faktorgruppe sind, werden einfach elementweise miteinander multipliziert (man spricht von der Komplexmultiplikation). Natürlich ist [mm]\varepsilon[/mm] das neutrale Element. Was hat nun z.B. [mm]\beta[/mm] für eine Ordnung? Dazu müssen wir [mm]\beta[/mm] nur so lange mit sich selbst multiplizieren, bis [mm]\varepsilon[/mm] herauskommt:
[mm]\beta^2 = \left( a^2 \cdot \mathfrak{Z}_2 \right)^2 = \left( a^2 \cdot \mathfrak{Z}_2 \right) \cdot \left( a^2 \cdot \mathfrak{Z}_2 \right) = a^4 \cdot \mathfrak{Z}_2 = \left\{ a^4 , a^8 \right\} = \left\{ a^4 , 1 \right\} = \varepsilon[/mm]
So, das ging schnell. Schon bei der ersten Multiplikation sind wir am Ziel: [mm]\beta^2 = \varepsilon[/mm]. Also hat [mm]\beta[/mm] die Ordnung 2.
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