Ordnung von Restklassen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:47 Di 16.05.2006 | | Autor: | Stylar |
| Aufgabe | a) Man berechne die Ordnungen der Restklassen 7 mod 43 und 5 mod 108.
b) Es seien m,a,c [mm] \in \IN,m>1,ggt(a,m)=1,a^c \equiv1 [/mm] mod m. Man zeige: Genau dann ist c die Ordnung von a mod m, wenn für jeden Primteiler q von c gilt: a^(c/q) [mm] \not\equiv1 [/mm] mod m. |
Hallo zusammen!
Ich höre diese Woche zum ersten Mal etwas von "modulo" und bin daher noch ein bissl verwirrt.
Wie kann ich mir die "Ordnung von Restklassen" den vorstellen, bzw. wie berechne ich sie genau? Ich hab schon ein bissl geschmökert, und bin über additive und multiplikative Ordnungen gestolpert. Was genau ist denn wohl mit meiner Aufgabenstellung gemeint? Für die additive Ordnung habe ich diese Formel "entdeckt": 43/ggT(43,7)=43 bzw. 108/ggT(108,5)=108
Woher kommt die Formel - und ist sie richtig?
Für die multiplikative Ordnung hab ich noch nichts gefunden, wisst ihr dazu was?
Zu der b) ist mir leider noch nichts eingefallen, habt ihr dazu vielleicht einen Tipp?
Schon mal Danke für jeden Hilfsversuch 
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:33 Di 16.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Es ist hier fast sicher die multiplikative Restklasse gemeint:
die Ordnung von a mod b ist die kleinste Potenz ,so das [mm] a^{k}=1mod [/mm] b ist. k heisst dann Ordnung. [mm] 7^{2}mod [/mm] 43 = 6; [mm] 7^{3}mod [/mm] 43 =-1 (oder 42)
also ist [mm] 7^{6}mod43 [/mm] =1 also ist 6 die mult. Ordnung.
die additive wird kaum benutztdie oednung wäre n wenn n*7=0mod 43 ist. und da 43 und 7 ja keinen gemensamen Teiler haben ist deine formel richtig, die additive Ordnung wäre 43. ( Du kannst ja beide hinschreiben)
Entsprechen mit 5 mod 108.
zu b) überleg mal, dass wenn 6 die ordnung von 7 mod 43 ist, dann gilt auch [mm] 7^{k*6}mod [/mm] 43=1,k nat. Zahl aber n*6 ist für n>1 nicht die Ordnung!
Damit hast du nen Anfang für b!
Und denk dra, du kannst immer mit Repräsentanten weiterrechnen: also wenn du weisst [mm] 7^{2}mod [/mm] 43 =6 dann musst du [mm] 7^{3} [/mm] nicht ausrechnen sondern rechnest [mm] 7^{3} [/mm] mod 43 =7 [mm] *(7^{2}mod [/mm] 43=(7*6)mod43 usw,
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Mi 17.05.2006 | | Autor: | Stylar |
Vielen Dank für deine schnelle Hilfe und tolle Erklärung!
Der Beweis bei b) hat in die "=>"-Richtung damit auch problemlos geklappt. Bei der Rückrichtung bin ich jetzt ins stolpern gekommen. Mit meinen beiden Beispielen klappt das zwar sehr schön, aber wie beweise ich das denn im allgemeinen Fall? Mir ist schleierhaft, warum aus a^(c/q) [mm] \not\equiv1 [/mm] mod m folgt, dass [mm] a^c\equiv1 [/mm] mod m ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 Mi 17.05.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
Du musst für "<=" ja eigentlich gar nicht zeigen, dass [mm] a^c\equiv1 [/mm] mod m ist, denn das steht so ja schon in den allgemeinen Voraussetzungen für b). Die Rückrichtung würde ich persönlich indirekt versuchen. Angenommen, für einen Primteiler q von c gilt a^(c/q) [mm] \equiv1 [/mm] mod m. Warum ist c dann nicht die Ordnung von a mod m??
Gruß
piet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:21 Do 18.05.2006 | | Autor: | Stylar |
Ja okay, damit sollte es geklappt haben. Nochmals vielen Dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:37 Do 16.04.2009 | | Autor: | Lorence |
Wie rechne ich denn geschickt die Ordnung von 5 mod 108 aus?
Tipp?
Gruß
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> Wie rechne ich denn geschickt die Ordnung von 5 mod 108
> aus?
>
> Tipp?
Hallo,
leider gibtst Du keinerlei Anhaltspunkte dafür, was Du weißt und kannst, so stochert man etwas im Trüben.
Mit dem Satz von Euler erfährt man, daß [mm] 5^{36}=1 [/mm] mod 108 ist, und das schränkt die Möglichkeiten, die als Ordnung von 5 infrage kommen, ja schonmal ein.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Do 16.04.2009 | | Autor: | Lorence |
Ja das stimmt,
also bedeutet dies, dass die ordnung von 5 schonmal nicht größer als 36 sein kann,
und folgt daraus dann auch dass die Ordnung von 5 ein Teiler von 36 sein muss/kann?
Gruß
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> also bedeutet dies, dass die ordnung von 5 schonmal nicht
> größer als 36 sein kann,
Hallo,
ja, genau.
>
> und folgt daraus dann auch dass die Ordnung von 5 ein
> Teiler von 36 sein muss/kann?
Ja, so hab' ich mir das gedacht. Da hat man ja nicht mehr so arg viel Auswahl.
Gruß v. Angela
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