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| Aufgabe | Gegeben sind n [mm] X_1,X_2,...,X_n [/mm] unabhängige Zufallsvariablen die geordnet werden bezüglich ihrer Werte [mm] x_1 \le [/mm] x2 [mm] \le... \le x_n X_{(1)},X{(2)},...,X{(n)} [/mm] bezeichnen die dazu gehörigen Ordnungsgrößen
[mm] F_X_{(1)}(x) [/mm] = 1− [mm] \produkt_{i=1}^{n} [/mm] (1 − [mm] F_X_i(x))
[/mm]
[mm] F_X_{(n)}(x) [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{n} F_X_i [/mm] = [mm] (F_X_i)^n [/mm] |
Wie kann die Verteilung der Ordnungsgröße n dem Produkt der Verteilungen der Zufallsvariablen von i=1 bin n entsprechen. Bezeichnet die Ordnungsgröße nicht die Zufallsvariable mit der größten Ereigniswahrscheinlichkeit?
Mein Problem besteht darin, dass ich nicht verstehe wie die Verteilung der Ordnungsgröße n dem Produkt der Zufallsvariablen sein kann. Da doch die Ordnungsgröße n der Zufallsvariablen n nachempfunden ist oder nicht?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> Gegeben sind n [mm]X_1,X_2,...,X_n[/mm] unabhängige
> Zufallsvariablen die geordnet werden bezüglich ihrer Werte
> [mm]x_1 \le[/mm] x2 [mm]\le... \le x_n X_{(1)},X{(2)},...,X{(n)}[/mm]
> bezeichnen die dazu gehörigen Ordnungsgrößen
Um da mal Licht ins Dunkel zu bringen: Es ist
$X(n) = [mm] max(X_1,...,X_n)$
[/mm]
und
$X(1) = [mm] min(X_1,...,X_n)$.
[/mm]
> [mm]F_X_{(1)}(x)[/mm] = 1− [mm]\produkt_{i=1}^{n}[/mm] (1 − [mm]F_X_i(x))[/mm]
>
> [mm]F_X_{(n)}(x)[/mm] = [mm]\produkt_{i=1}^{n} F_X_i[/mm] = [mm](F_X_i)^n[/mm]
> Wie kann die Verteilung der Ordnungsgröße n dem Produkt
> der Verteilungen der Zufallsvariablen von i=1 bin n
> entsprechen. Bezeichnet die Ordnungsgröße nicht die
> Zufallsvariable mit der größten
> Ereigniswahrscheinlichkeit?
Nein, s.o.
> Mein Problem besteht darin, dass ich nicht verstehe wie die
> Verteilung der Ordnungsgröße n dem Produkt der
> Zufallsvariablen sein kann.
Es geht ja nicht um das Produkt der Zufallsvariablen, sondern um das Produkt ihrer Verteilungsfunktionen. Das ist etwas anderes.
Also: Wir bezeichnen mal $M := X(n) = [mm] max(X_1, [/mm] ..., [mm] X_n)$ [/mm] und $m := X(1) = [mm] min(X_1,...,X_n)$.
[/mm]
Gesucht ist
[mm] $F_M(x) [/mm] = [mm] \IP(M \le [/mm] x) = [mm] \IP(max(X_1,..., X_n) \le [/mm] x) = ...$
Versuche nun hier etwas umzuformen. Denke dabei an Folgendes: Wenn das Maximum kleiner als x ist, dann ist das genau dann der Fall, wenn alle ......... kleiner als .... sind.
Viele Grüße,
Stefan
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Ich kann mir nur so einen zusammenhang denken. [mm] F(X_1 \cap X_2 \cap X_n)= [/mm] da unabhängig [mm] \produkt_{i=1}^{n} (F_X_i(x))^n
[/mm]
Wenn das Max kleiner als x ist. Dann müssten auch alle anderen kleiner als x sein. Somit die "und" Wahrscheinlichkeit? Ich bin hier fast nur am raten : /
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:58 Mi 16.03.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin LordFrost,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich kann mir nur so einen zusammenhang denken. [mm]F(X_1 \cap X_2 \cap X_n)=[/mm]
> da unabhängig [mm]\produkt_{i=1}^{n} (F_X_i(x))^n[/mm]
>
> Wenn das Max kleiner als x ist. Dann müssten auch alle
> anderen kleiner als x sein. Somit die "und"
> Wahrscheinlichkeit? Ich bin hier fast nur am raten : /
Du argumentierst richtig, aber wie du es aufschreibst, ist ein Graus:
[mm] $P(\max\{X_1,\dots,X_n\}\le x)=P((X_1\le x)\cap\dots\cap(X_n\le x))=P(X_1\le x)\cdot\dots\cdot P(X_n\le x)=\produkt_{i=1}^{n} F_{X_i}(x)$.
[/mm]
vg Luis
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