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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:21 Mi 07.02.2018 | | Autor: | Tipsi |
| Aufgabe | Hallo MathematikerInnen,
im Zshg. mit Stokes haben wir im "orientierten euklidischen [mm] \mathbb{R}^3" [/mm] die Rotation eines Vektorfeldes definiert und gelernt, dass die Rotation von der Orientierung des orthogonalen Koordinatensystems abhängt. Auch in der Voraussetzung des Integralsatzes von Stokes im [mm] \mathbb{R}^3 [/mm] ist von der "Orientierung" von Normal- und Tangentialvektorfeld die Rede. |
In der Voraussetzung von Stokes kann ich mir unter der Orierntierung von Tangential- und Normalvektorfeld noch ungefähr etwas vorstellen, jedenfalls habe ich das so verstanden, dass die Vektoren da in bestimmte Richtungen bzgl. der Fläche, über die integriert wird, zeigen müssen.
Was aber bedeutet das "orientierte euklidische [mm] \mathbb{R}^3"? [/mm] Und inwiefern erkennt man, dass die Rotation von der Orientierung abhängt?
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Hallo Tipsi
> Was aber bedeutet das "orientierte euklidische [mm]\mathbb{R}^3[/mm] " ?
Man kann die ![[]](/images/popup.gif) Bewegungen oder Kongruenzabbildungen
des Raumes [mm] \IR^3 [/mm] in zwei Gruppen unterteilen: diejenigen,
welche die Orientierung erhalten (z.B. Verschiebungen,
Drehungen) und jene, die sie umkehren (Spiegelung an
einer Ebene).
Dass die Unterscheidung praktisch wichtig ist, sehen wir
z.B. daran, dass ein linker Schuh nicht als Ersatz für
einen rechten Schuh taugt.
Bei der Darstellung von Körpern in einem cartesischen
Koordinatensystem ist deshalb z.B. die Reihenfolge
der Koordinaten für die Orientierung wichtig.
Für die Grundvektoren $\ [mm] \overrightarrow{e}_x,\ \overrightarrow{e}_y,\ \overrightarrow{e}_z$ [/mm] des Koordinaten-
systems verlangt man deshalb in der Regel (für ein
rechtsorientiertes System), dass diese der Reihe nach
in ihren Richtungen so orientiert sind wie Daumen,
Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand. Dass
man dabei auf ein reales Objekt und unsere Unter-
scheidung zwischen "rechts" und "links" Bezug nehmen
muss, ist in der Geometrie eher ungewöhnlich, aber kaum
vermeidbar.
> Und inwiefern erkennt man, dass die Rotation
> von der Orientierung abhängt?
Dies kann man aus der Definition der Rotation ablesen.
Wenn man in dieser Formel einfach mal zwei Koordinaten
vertauscht, also etwa x und y oder x und z oder y und z
(was jeweils eine Ebenenspiegelung bedeutet), so ändert
das Ergebnis insgesamt das Vorzeichen.
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:50 Fr 09.02.2018 | | Autor: | Tipsi |
Hallo Al-Chwarizmi,
danke für deine Antwort.
Also hat Orientierung etwas damit zu tun, dass, wenn ich zum Beispiel eine Pfeil in einem Würfel habe und den Würfel dann kippe, der Pfeil in eine andere Richtung zeigt?
Dass die Rotation bei Übergang zu einem anderen Koordinatensystem das Vorzeichen ändert oder erhält, ist mir noch nicht klar. Wenn ich mir die Definition anschaue, sehe ich nur, dass durch Vertauschen zweier Koordinaten eine einzelne Zeile des Spaltenvektors ihr Vorzeichen ändert, aber was passiert mit den anderen?
Und wieso ist die Orientierung beim Integralsatz von Stokes von Bedeutung? Wir habe da als Voraussetzung, dass det(v,t,n) > 0 sein muss für einen Normalvektor n auf die Fläche, über die integriert wird, einen Tangentialvektor t an den Rand der Fläche und einen ins Äußere der Fläche zeigenden Tangentialvektor v.
Wieso könnte man den Satz nicht anwenden, wenn man die Vektoren anders orientiert? Hat das mit der Herleitung über Gauß zu tun?
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Hallo Tipsi
sorry für die etwas späte Antwort.
> Also hat Orientierung etwas damit zu tun, dass, wenn ich
> zum Beispiel eine Pfeil in einem Würfel habe und den
> Würfel dann kippe, der Pfeil in eine andere Richtung
> zeigt?
Nein, damit hat es nicht zu tun. In der Ebene [mm] (\IR^2)
[/mm]
können wir z.B. für ein Dreieck ABC (mit 3 nicht auf einer
Geraden liegenden Eckpunkten) entscheiden, ob es
positiv oder negativ orientiert ist: Umlaufssinn der Ecken
A,B,C entweder linksrum (Gegenuhrzeigersinn) oder
rechtsrum (Uhrzeigersinn).
Im Raum [mm] \IR^3 [/mm] kann man entsprechend etwa ein Tetraeder
ABCD , das nicht "flach" (in einer Ebene liegend) ist, als
rechtsorientiert oder linksorientiert klassifizieren, z.B.
durch die Betrachtung des Vorzeichens des gemischten
Produktes dreier Kantenvektoren, etwa [mm] [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}] [/mm] .
Bei allen "eigentlichen" Bewegungen (Verschiebungen,
Drehungen) eines Objekts in dem seiner Dimension
entsprechenden Raum bleibt seine Orientierung erhalten.
Nur bei einer Bewegung, die auch eine Spiegelung (an einer
Geraden im [mm] \IR^2 [/mm] oder an einer Ebene im [mm] \IR^3) [/mm] enthält,
wechselt die Orientierung.
> Dass die Rotation bei Übergang zu einem anderen
> Koordinatensystem das Vorzeichen ändert oder erhält, ist
> mir noch nicht klar. Wenn ich mir die Definition anschaue,
> sehe ich nur, dass durch Vertauschen zweier Koordinaten
> eine einzelne Zeile des Spaltenvektors ihr Vorzeichen
> ändert, aber was passiert mit den anderen?
Nehmen wir als ganz einfaches Beispiel das Vektorfeld [mm] $\overrightarrow{F}$
[/mm]
mit
$\ [mm] \overrightarrow{F}(x,y,z)\ [/mm] =\ [mm] \pmat{-y\\x\\0}$ [/mm] mit $\ [mm] {rot\,\overrightarrow{F}}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{0\\0\\2}$
[/mm]
Die sich ergebende positive z-Komponente von $\ [mm] rot\,\overrightarrow{F}$ [/mm] führt also
zu einem Rotationsvektor, der jedenfalls in die Richtung des
(für das Koordinatensystem gewählten) Grundvektors [mm] \overrightarrow{e}_z [/mm] zeigt.
Für dessen Wahl hätte man aber ursprünglich zwei entgegen-
gesetzte Möglichkeiten gehabt. Dies zeigt, dass die Wahl der
Orientierung des zugrundeliegenden KS auch die Richtung
des Rotationsvektors mit bestimmt.
> Und wieso ist die Orientierung beim Integralsatz von Stokes
> von Bedeutung? Wir habe da als Voraussetzung, dass
> det(v,t,n) > 0 sein muss für einen Normalvektor n auf die
> Fläche, über die integriert wird, einen Tangentialvektor
> t an den Rand der Fläche und einen ins Äußere der
> Fläche zeigenden Tangentialvektor v.
Genau diese Vorzeichenbedingung ist ja eine Orientierungs-
Vorgabe.
> Wieso könnte man den Satz nicht anwenden, wenn man die
> Vektoren anders orientiert? Hat das mit der Herleitung
> über Gauß zu tun?
Im Prinzip bleibt ja eigentlich alles analog, eben bis auf
einen allfälligen Vorzeichenwechsel. Die Details einer Herleitung
durchzuackern ist mir momentan etwas zu aufwendig ... 
LG , Al-Chw.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 04:28 Mo 12.02.2018 | | Autor: | Tipsi |
Danke Al-Chwarizmi, die Erklärung mit dem Dreieck und dem Durchlaufsinn hat mir schon sehr geholfen (falls ich das nun richtig aufgefasst habe).
Zu der Rotation: Wenn wir ein anderes Koordinatensystem wählen, würde dann auch die Definition des Vektorfeldes F sich ändern? Also wenn wir zum Beispiel die y- und die z-Achse tauschen würden, hätten wir dann $ \ [mm] \overrightarrow{F}(x,z,y)\ [/mm] =\ [mm] \pmat{-z\\x\\0} [/mm] $ und dabei könnte sich dann das Vorzeichen der neu zu berechnen Rotation ändern? Oder wie genau ist das mit dem neuen, anders orientierten, Koordinatensystems gemeint?
Beim Integralsatz von Gauß ändert sich die Orientierung ja nicht, weil die Divergenz sich nicht unter anders orientierten Koordinatensystemen ändert. Und man kann das Integral im Satz von Gauß ja als Fluss durch die Oberfläche auffassen. - Kann man das auch bei Stokes als irgendwas auffassen (woran dann anschaulich klar wird, dass sich das Vorzeichen ändern kann, aber nur eine bestimmte Orientierung Sinn macht)? Weil da steht im Integral ja fast dasselbe, nur, dass man ein Tangentialvektorfeld statt einem Normalvektor drin hat...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Di 13.02.2018 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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