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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:37 Mi 05.09.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | | Lemma: Ist [mm] \phi: [/mm] V -> W ein linearer Isomorphismus zwischen endlich dimensionalen reellen Vektorräumen und sind B ~ B' zwei gleichorientierte Basen von V dann sind auch [mm] \phi(B) [/mm] und [mm] \phi(B') [/mm] gleichorientierte Basen von W |
Hallo,
Nun das lemma ist nach dem beweis in der vorlesung klar.
Aber warum:
Wir erhalten daher eine induzierte Bijektion
[mm] \phi [/mm] : O(V) -> O(W), [mm] \phi(o_B) [/mm] := [mm] o_{\phi(B)}
[/mm]
wobei O(V) die Menge der Äquivalenzklassen der Relation B~ B' :<=> [mm] det(T_{B'B}) [/mm] >0 . DIe Elemente von O(V) werden Orientierung von V gennant
und [mm] o_B: [/mm] Ist [mm] B=(b_1,..,b_n) [/mm] eine geordnete Basis von V und [mm] o_B \in [/mm] O(V) die von ihr repräsentierte Orientierung
FRAGE: Warum ist die abbildung [mm] \phi(o_B) [/mm] := [mm] o_{\phi(B)} [/mm] bijektiv.
Zeigt das Lemma oben in den Text wo sonst die aufgabenstellung steht, nicht nur dass die abbildung wohldefeniert ist?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:17 Mi 05.09.2012 | | Autor: | cycore |
Hallo quasimo,
Du hast recht, strenggenommen liefert das Lemma nur die Wohldefiniertheit. Aber das Übrige ist eine leichte Folgerung. Die Menge der Äquivalenzklassen von Basen bezüglich Orientiertheit besteht, falls es sich nicht um den Nullraum handelt, aus zwei Elementen. Und da die Abbildung offensichtlich surjektiv ist, ist sie somit bereits bijektiv, da sie endliche Mengen gleicher Kardinalität aufeinander abbildet.
Gruß cycore
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:54 Do 06.09.2012 | | Autor: | quasimo |
danke**
LG,
quasimo
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