Orthogonal Basis im R³ < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:07 Di 02.03.2010 | | Autor: | PJ88 |
Aufgabe:
Es seien [mm] v1=\vektor{1 \\ 2 \\ 2} [/mm] und [mm] v2=\vektor{-1 \\ 1 \\ 2}.
[/mm]
a)Zeigen sie, dass v1 und v2 linear unabhängig sind.
b)Bestimmen Sie eine orthonormale Basis w1;w2;w3 des [mm] R^3 [/mm] mit E = Rv1 + Rv2 = Rw1 + Rw2
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=413047
Der Aufgabenteil a) ist gelöst und zudem habe ich auch keine Frage.
Bei b) bin ich wie folgt vorgegangen...ich habe v1 und v2 normiert und diese normierten w1 und w2 genannt. Muss bzw brauch ich nun noch w3 und wie ist die Gleichsetzung zuverstehen, also das E= Rv1 + Rv2 = Rw1 + Rw2 sein soll?!
Hier bitte ich um Hilfestellung wie ich da weiter vorgehen kann.
Meine normierten Vektoren sind: [mm] w1:\vektor{\bruch{\wurzel{6}}{6}
\\ \bruch{\wurzel{6}}{3} \\\bruch{\wurzel{6}}{6} } [/mm] und [mm] w2:\vektor{-\bruch{\wurzel{6}}{6}
\\ \bruch{\wurzel{6}}{6} \\\bruch{\wurzel{6}}{3} }
[/mm]
Vielen Dank schon al für die Hilfestellungen:)
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Hallo!
> Aufgabe:
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> Es seien [mm]v1=\vektor{1 \\ 2 \\ 2}[/mm] und [mm]v2=\vektor{-1 \\ 1 \\ 2}.[/mm]
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> a)Zeigen sie, dass v1 und v2 linear unabhängig sind.
> b)Bestimmen Sie eine orthonormale Basis w1;w2;w3 des [mm]R^3[/mm]
> mit E = Rv1 + Rv2 = Rw1 + Rw2
> Bei b) bin ich wie folgt vorgegangen...ich habe v1 und v2
> normiert und diese normierten w1 und w2 genannt. Muss bzw
> brauch ich nun noch w3 und wie ist die Gleichsetzung
> zuverstehen, also das E= Rv1 + Rv2 = Rw1 + Rw2 sein soll?!
>
> Hier bitte ich um Hilfestellung wie ich da weiter vorgehen
> kann.
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> Meine normierten Vektoren sind:
> [mm]w1:\vektor{\bruch{\wurzel{6}}{6}
\\ \bruch{\wurzel{6}}{3} \\\bruch{\wurzel{6}}{6} }[/mm] und
> [mm]w2:\vektor{-\bruch{\wurzel{6}}{6}
\\ \bruch{\wurzel{6}}{6} \\\bruch{\wurzel{6}}{3} }[/mm]
In dem anderen Forum wurde dir ja bereits gesagt, dass du nicht einfach [mm] w_{1},w_{2} [/mm] so setzen darfst, weil diese Vektoren eben gar nicht orthogonal zueinander stehen. Es soll aber ein Orthonormalsystem herauskommen.
Auch wenn dir das Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsverfahren unbekannt ist, so ist die Aufgabe natürlich trotzdem lösbar. Dir ist gewissermaßen sogar ein Tipp gegeben.
Die beiden Vektoren [mm] v_{1},v_{2} [/mm] bilden ja ausgespannt einen Untervektorraum, eine Ebene. Diese Ebene wird durch E = Rv1 + Rv2 beschrieben. Aus der Schule oder wahrscheinlich auch aus der Vorlesung ist dir bekannt, wie du einen Vektor bestimmen kannst, der orthogonal zur Ebene steht ("Normalenvektor der Ebene").
Das solltest du als erstes tun, das wird dein [mm] w_{3}.
[/mm]
Und nun musst du nur noch [mm] w_{1} [/mm] und [mm] w_{2} [/mm] geschickt so wählen, dass die orthogonal zueinander sind und insbesondere orthogonal zu [mm] w_{3}.
[/mm]
Bestimme zum Beispiel erstmal beliebig [mm] w_{1}, [/mm] da kannst du sogar [mm] w_{1} [/mm] = [mm] v_{1} [/mm] nehmen.
Nun hast du ein kleines Gleichungssystem für dein [mm] w_{2} [/mm] = (x,y,z):
Es soll gelten
[mm] w_{1}\circ w_{2} [/mm] = 0
[mm] w_{3}\circ w_{2} [/mm] = 0
[mm] (\circ [/mm] = Skalarprodukt). Wende nun das Skalarprodukt an, dann hast du ein LGS in x,y,z.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:55 Do 04.03.2010 | | Autor: | PJ88 |
ah ok alles klar vielen dank, so hat alles wunderbar geklappt.
nun wurde auch diese stelle aus der vorlesung klarer und ich habe es nachvollziehen können.
danke nochmal und einen schönne tag noch!!
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