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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:19 Di 15.05.2007 | | Autor: | Nicole20 |
Gegeben sei der Vektorraum C([-1,1], [mm] \IR)der [/mm] stetigen reellwertigen Funktionen auf [-1,1]. Betrachten sie den Untervektorraum der Polynomabbildungen vom Grad kleiner oder gleich 3, und bestimmen sie zur Basis (1,x,x²,x³) eine zugehörige Orthogonalbasis bezüglich der symmetrischen Bilinearform
[mm] \lambda(f,g) [/mm] = [mm] \integral_{-1}^{1}{f(t)g(t) dt}
[/mm]
f,g aus [mm] C([-1,1],\IR)
[/mm]
Kann mir bitte jemand helfen? WEiß leider nur dass ich das mit Gram-SChmidt lösen muss oder nicht? Mein Problem ist folgendes: Gram-Schmidt an einem Zahlenbeispiel ist kein Problem, dieser allgemeine Fall macht mir Probleme.
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> Gegeben sei der Vektorraum C([-1,1], [mm]\IR)der[/mm] stetigen
> reellwertigen Funktionen auf [-1,1]. Betrachten sie den
> Untervektorraum der Polynomabbildungen vom Grad kleiner
> oder gleich 3, und bestimmen sie zur Basis (1,x,x²,x³) eine
> zugehörige Orthogonalbasis bezüglich der symmetrischen
> Bilinearform
>
> [mm]\lambda(f,g)[/mm] = [mm]\integral_{-1}^{1}{f(t)g(t) dt}[/mm]
>
> f,g aus [mm]C([-1,1],\IR)[/mm]
>
>
> Kann mir bitte jemand helfen? WEiß leider nur dass ich das
> mit Gram-SChmidt lösen muss oder nicht?
Hallo,
daß Du das mit Gram-Schmidt weißt, ist schon die halbe Miete.
Nun guckst Du ![[]](/images/popup.gif) hier nach, wie Gram-Schmidt geht.
Für die Umsetzung auf Deinen konkreten Fall bekommst Du von mir das Kochrezept:
Es ist [mm] v_1:=1, v_2:=x, v_3:=x^2, v_4:=x^3.
[/mm]
Daraus berechnest Du die neue Basis bestehend aus den [mm] u_i.
[/mm]
Das, was in der wikipedia-Anleitung [mm] [/mm] ist, ist bei Dir [mm] \lambda (v_i,u_j), [/mm] also dieses Integral.
Tja, dann kann eigentlich nichts (Wesentliches) mehr schiefgehen.
Heraus kommen übrigens rationale Vielfache der Legendre-Polynome, daran kannst Du sehen, ob Du es richtig gemacht hast.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Di 15.05.2007 | | Autor: | Nicole20 |
Hä also soll ich das Integral einsetzen? Aber das sind doch dann unterschiedliche oder? Also bei den [mm] [/mm] muss ich doch zwei verschiedene einsetzen, einmal [mm] [/mm] und einmal [mm] [/mm] wie mache ich das denn?
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Hallo,
wenn Du in der wiki an eine Stelle mit z.B.
[mm] [/mm] kommst, dann bedeutet das: bilde das Skalarprodukt aus [mm] v_1 [/mm] und [mm] u_0.
[/mm]
In dem Vektorraum, den Du gerade am Wickel hast, ist durch dieses Integral ein Skalarprodukt definiert, das habt Ihr irgendwo in Übung, Vorlesung, Hausübung gezeigt.
Also ist jedesmal, wenn Skalarprodukt vorkommt, das entsprechende Integral auszurechnen. Für [mm] [/mm] also [mm] \integral_{-1}^{1}{v_1u_0 dx} [/mm] . Das mußt Du also für jedes Produkt, welches vorkommt, tun. Also einige Integrale berechnen.
Keine Angst, die Integrale sind einfach!
Fang mal an, und frag dann an konkreten Klippen nach.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:17 Di 15.05.2007 | | Autor: | Nicole20 |
ok alles klar.
Wie rechne ich denn zum beispiel [mm] \integral_{-1}^{1}{v_{2}u_{1} dx} [/mm] aus? Normalerweise ja mit Stammfunktion aber hier?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Di 15.05.2007 | | Autor: | Nicole20 |
Ach schon gut einfach alles einsetzen hab ich grad gesehen oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:27 Di 15.05.2007 | | Autor: | Nicole20 |
`Hä kann das sein dass da einfach das selbe nochmal raus kommt?
Zumindest habe ich das raus....
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> 'Hä kann das sein dass da einfach das selbe nochmal raus
> kommt?
Wo? Welches selbe?
Ich weiß nicht, was Du meinst.
Achso, ich glaub' ich weiß es doch: der zweite Vektor, den man erhält, ist x, nicht wahr?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Di 15.05.2007 | | Autor: | Nicole20 |
Genau und der 1. ist ja 1. Aber bei mir kommt raus, dass auch der 3. und 4. genauso sind wie das was vorgegeben war. Kann das sein?
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> Genau und der 1. ist ja 1. Aber bei mir kommt raus, dass
> auch der 3. und 4. genauso sind wie das was vorgegeben war.
> Kann das sein?
Eher nicht. Vielleicht bist Du mit u und v durcheinandergekommen oder hast irgendwo ein falsches Integral.
Es sollten folgende Polynome herauskommen:
[mm] u_1=P_0(x) [/mm] = 1
[mm] u_2=P_1(x) [/mm] = x
[mm] u_3=\frac{2}{3}P_2(x) [/mm] = [mm] x^2 [/mm] - [mm] \frac{2}{3}
[/mm]
[mm] u_4=\frac{2}{5}P_3(x) [/mm] = [mm] x^3 [/mm] - [mm] \frac{6}{5}x
[/mm]
Die [mm] P_i [/mm] sind die Legendre Polynome.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Di 15.05.2007 | | Autor: | Nicole20 |
Also beim 3. hab ich folgendes berechnet
[mm] \bruch{\integral_{1}^{-1}{v_{3}u_2}\ dx}{\integral_{-1}^{1}{u_{2}u_{2}\ dx}}
[/mm]
oder vertu ich mich da? Denn da kommt 0 raus
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Rechne's mal vor, sonst gibt's so leicht Kuddelmuddel mit den Indizes.
Im übrigen hatte ich in meiner vorhergehenden Antwort einen Denkfehler.
Es sind nicht die dort angegebenen Polynome, die herauskommen, die erfüllen eine zusätzliche Bedingung - ich verbessere das gleich.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Di 15.05.2007 | | Autor: | Nicole20 |
Also:
[mm] \integral_{-1}^{1}{v_{3}u_{2} dx} [/mm] = [mm] \integral_{-1}^{1}{x²x dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{-1}^{1}{x³ dx} [/mm]
Dann Stammfunktion bilden F(x) = [mm] \bruch{1}{4}x^{4}
[/mm]
Dann hab ich die Grenzen eingesetzt und ausgerechnet.... dabei kam halt 0 raus.
Daher kam bei mir bei [mm] u_{3} [/mm] = [mm] v_{3}
[/mm]
Und genauso habe ich das dann bei [mm] u_{4} [/mm] gemacht
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Du hast bis jetzt
[mm] v_1=1 [/mm] -------- [mm] u_0=1
[/mm]
[mm] v_2=x [/mm] ------- [mm] u_1=x
[/mm]
[mm] v_3=x^2
[/mm]
[mm] v_4=x^3
[/mm]
Nun soll [mm] u_3 [/mm] berechnet werden.
Wiki sagt:
[mm] u_3 [/mm] = [mm] v_3 [/mm] - [mm] {\langle v_3, u_1\rangle \over \langle u_1, u_1\rangle} \, u_1 [/mm] - [mm] {\langle v_3, u_2\rangle \over \langle u_2, u_2\rangle} \, u_2
[/mm]
Das machen wir jetzt.
[mm] u_3=x^2-\bruch{\integral{x^2*1 dx}}{\integral{1*1 dx}}*1-\bruch{\integral{x^2*x dx}}{\integral{x*x dx}}*x
[/mm]
=...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Di 15.05.2007 | | Autor: | Nicole20 |
ja das ist mir ja klar nur meine frage ist jetzt muss bei dem Koeffizienten von [mm] u_{1} [/mm] in den Zähler nicht [mm] ? [/mm] Weil das steht das ja mit [mm] v_{3}. [/mm] Könnte doch ein tippfehler sein. Weil wir hatten das so...
und wenn ich das dann so mache kommt auch null raus..... deswegen frage ich!
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> ja das ist mir ja klar nur meine frage ist jetzt muss bei
> dem Koeffizienten von [mm]u_{1}[/mm] in den Zähler nicht
> [mm]?[/mm] Weil das steht das ja mit [mm]v_{3}.[/mm] Könnte doch
> ein tippfehler sein. Weil wir hatten das so...
Nein, so ist es richtig:
$ [mm] u_3 [/mm] $ = $ [mm] v_3 [/mm] $ - $ [mm] {\langle v_3, u_1\rangle \over \langle u_1, u_1\rangle} \, u_1 [/mm] $ - $ [mm] {\langle v_3, u_2\rangle \over \langle u_2, u_2\rangle} \, u_2 [/mm] $
(Entweder habt Ihr etwas falsch aufgeschrieben, oder es entsteht Verwirrung, weil Ihr die eine Sorte Vektoren mit Index 1 zu zählen beginnt und die andere mit Null.)
Schau Dir die Systematik meiner Formel an:
Vorm Gleichheitszeichen [mm] u_3. [/mm] Hinterm Gleichheitszeichen kommt immer was mit [mm] v_3, [/mm] was dann nacheinander mit den bereits ausgerechneten [mm] u_i [/mm] kombiniert wird. So kann man's sich auch merken für die Klausur. (Ich schlage immer nach, aber für die Klausur konnte ich's.)
> und wenn ich das dann so mache kommt auch null raus.....
Was herauskommen muß, habe ich irgendwo inzwischen richtig (hoffentlich!) stehen, da kannst Du vergleichen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:24 Di 15.05.2007 | | Autor: | Nicole20 |
Leider muss ich jetzt weg aber ich komme später nochmal wieder also so um 7uhr.
Hoffe du kannst mir dann nochmal helfen....
Oder zumindest die Ergebnisse sagen damit ich das selbst rechne!
Danke schonmal!
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> Ach schon gut einfach alles einsetzen
Genau! Einfach einsetzen und ausrechnen.
Gruß v. Angela
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