Orthogonale Basis/Vektoren < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | gegeben seien [mm] v_1...v_k [/mm] aus [mm] \IR^n, [/mm] orthogonal zu einander. Sie spannen einen
Unterraum U von [mm] \IR^n. [/mm] Gesucht ist die Basis: [mm] v_{k+1}...v_n [/mm] für den zu U
orthogonalen Unterraum, mit orthogonalen Basisvektoren.
Kennt jemand stabile Verfahren um das zu berechnen? Danke |
Gram-Schmidt fällt wegen seiner Instabilität aus.
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Hallo,
möglicherweise tun die Householder-Reflexionen das, was Du Dir wünscht.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | Hallo an alle, Danke an Angela.
Bitte vorher die ursprüngliche Frage lesen!
Ich hab dennoch ein kleines Problemchen. Mir waren eher nicht die Orthogonalisierungsverfahren unbekannt sondern das Vorgehen selbst nicht ganz klar. |
Damit ich die Basis für den orthogonalen Unterraum berechnen kann, muss ich zuerst irgend eine Basis für diesen Raum berechnen. Wie gehe ich denn da ran?
Ich habe die orthonormale Basis [mm] v_1 [/mm] ... [mm] v_k [/mm] eines Unterraums und die müsste ich dann erstmal zu einer vollen Basis erweitern? Wie kann ich das effizient machen?
Habe ich das doch geschafft, woher weiß ich nach der Orthogonalisierung welches sind nun die gesuchten Basisvektoren für den orthogonalen Unterraum?
Ich hoffe das ist in so weit einiger Maßen verständlich?
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Hallo viktory_hh,
> Ich hab dennoch ein kleines Problemchen. Mir waren eher
> nicht die Orthogonalisierungsverfahren unbekannt sondern
> das Vorgehen selbst nicht ganz klar.
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> Damit ich die Basis für den orthogonalen Unterraum
> berechnen kann, muss ich zuerst irgend eine Basis für
> diesen Raum berechnen. Wie gehe ich denn da ran?
> Ich habe die orthonormale Basis [mm]v_1[/mm] ... [mm]v_k[/mm] eines
> Unterraums und die müsste ich dann erstmal zu einer vollen
> Basis erweitern? Wie kann ich das effizient machen?
Einfach welche wählen. Die Wkt. das diese linear von den [mm]v_1[/mm] ... [mm]v_k[/mm] abhängen ist gering(genaugenommen 0 bei wirklich zufälliger Wahl) und es fällt während des Verfahrens auf wenn sie dies sind.
> Habe ich das doch geschafft, woher weiß ich nach der
> Orthogonalisierung welches sind nun die gesuchten
> Basisvektoren für den orthogonalen Unterraum?
Die neu generierten Vektoren stehen senkrecht auf [mm]v_1[/mm] ... [mm]v_k[/mm] und bilden die Basis des entsprechenden UVR. Gram-Schmidt ist mit Modifikationen übrigens stabil siehe bspw. Andreas Meister: "Numerik linearer Gleichungssysteme"
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:31 Mi 13.06.2007 | | Autor: | viktory_hh |
O.K. vielen Dank. Das war schon sehr hilfreich!
Unser(e) Prof(s) meinte(n) dass die Housholder-Reflexionen bzw. Givens-Rotationen in QR-Zerlegung doch stabiler sind. Aber ich wußte halt nicht, dass ich irgendwelche Vektoren nehmen könnte. Danke
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