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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:01 Sa 29.09.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Sei [mm] \beta: [/mm] V [mm] \times [/mm] V -> [mm] \IK [/mm] symmetrische Bilinearform
O(V, [mm] \beta):= \{ \phi \in GL(v) : \forall v, w \in V : \beta(\phi(v), \phi(w))=\beta(v,w)\}
[/mm]
Zeige dass O(V, [mm] \beta) [/mm] eine Gruppe ist. |
Wenn ich weiß, dass die Abbildungen eine Gruppe bilden, reicht es dann zuzeigen dass das Inverse und die Komposition enthalten sind?
1) [mm] \phi \in [/mm] O(V, [mm] \beta)
[/mm]
[mm] \psi \in [/mm] O(V, [mm] \beta)
[/mm]
ZZ [mm] \phi \circ \psi \in [/mm] O(V, [mm] \beta)
[/mm]
Es gilt:
[mm] \beta(\phi(v), \phi(w))=\beta(v,w)
[/mm]
[mm] \beta(\psi(v), \psi(w))=\beta(v,w)
[/mm]
[mm] \forall [/mm] v,w [mm] \in [/mm] V
[mm] \beta(\phi \circ \psi [/mm] (v), [mm] \phi \circ \psi [/mm] (w))= [mm] \beta(\phi (\psi [/mm] (v)), [mm] \phi [/mm] ( [mm] \psi [/mm] (w)))
WIe geht das weiter???
LG,
quasimo
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Hallo!
> Sei [mm]\beta:[/mm] V [mm]\times[/mm] V -> [mm]\IK[/mm] symmetrische Bilinearform
> O(V, [mm]\beta):= \{ \phi \in GL(v) : \forall v, w \in V : \beta(\phi(v), \phi(w))=\beta(v,w)\}[/mm]
>
> Zeige dass O(V, [mm]\beta)[/mm] eine Gruppe ist.
> Wenn ich weiß, dass die Abbildungen eine Gruppe bilden,
du meinst $ GL(V) $ ?
> reicht es dann zuzeigen dass das Inverse und die
> Komposition enthalten sind?
genau, das Untergruppenkriterium
>
> 1) [mm]\phi \in[/mm] O(V, [mm]\beta)[/mm]
> [mm]\psi \in[/mm] O(V, [mm]\beta)[/mm]
> ZZ [mm]\phi \circ \psi \in[/mm] O(V, [mm]\beta)[/mm]
>
> Es gilt:
> [mm]\beta(\phi(v), \phi(w))=\beta(v,w)[/mm]
> [mm]\beta(\psi(v), \psi(w))=\beta(v,w)[/mm]
>
> [mm]\forall[/mm] v,w [mm]\in[/mm] V
>
> [mm]\beta(\phi \circ \psi[/mm] (v), [mm]\phi \circ \psi[/mm] (w))= [mm]\beta(\phi (\psi[/mm]
> (v)), [mm]\phi[/mm] ( [mm]\psi[/mm] (w)))
> WIe geht das weiter???
>
nunja, weil $ [mm] \phi \in [/mm] O(V, [mm] \beta [/mm] ) $ kann man es wegstreichen und dann auch $ [mm] \psi [/mm] $ weil es ebenso dadrin ist.
= [mm] \beta(\psi(v),\psi(w))=\beta(v,w)
[/mm]
bei dem Inversen gehts ähnlich.
> LG,
> quasimo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Sa 29.09.2012 | | Autor: | quasimo |
AH danke ;)
Mit dem Inversen hab ich das leider nicht hinbekommen:
2) [mm] \phi \in O(V,\beta)
[/mm]
[mm] \beta(\phi(v),\phi(w))=\beta(v,w)
[/mm]
[mm] \beta(\phi^{-1} [/mm] (v), [mm] \phi^{-1} (w))=\beta (\phi^{-1}( \phi( \phi^{-1}(v))),\phi^{-1}( \phi( \phi^{-1}(w))))= \beta(\phi^{-1}(\phi^{-1} [/mm] (v)), [mm] \phi^{-1}(\phi^{-1} [/mm] (w)))
LG,
quasimo
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> AH danke ;)
> Mit dem Inversen hab ich das leider nicht hinbekommen:
> 2) [mm]\phi \in O(V,\beta)[/mm]
> [mm]\beta(\phi(v),\phi(w))=\beta(v,w)[/mm]
>
> [mm]\beta(\phi^{-1}[/mm] (v), [mm]\phi^{-1} (w))=\beta (\phi^{-1}( \phi( \phi^{-1}(v))),\phi^{-1}( \phi( \phi^{-1}(w))))= \beta(\phi^{-1}(\phi^{-1}[/mm]
> (v)), [mm]\phi^{-1}(\phi^{-1}[/mm] (w)))
>
> LG,
> quasimo
Weil [mm] \phi [/mm] orthogonal ist, kann man das ja einfach anwenden, und das hebt sich dann mit [mm] \phi^{-1} [/mm] auf:
[mm] \beta(\phi^{-1}(v), \phi^{-1}(w)) [/mm] = [mm] \beta(\phi(\phi^{-1}(v)), \phi(\phi^{-1}(w)))=\beta(v,w)
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:04 So 30.09.2012 | | Autor: | quasimo |
achso, danke
LG
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