Orthogonale Projektion < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | sei [mm] U=\{x \in \IR^{3} | x_{1}+3x_{2}+6x_{3}=0\} [/mm] und sei (x,y) = [mm] \summe_{i=1}^{3} x_{i}\*y_{i} [/mm] ein inneres Produkt. Bestimmen Sie ein [mm] x_{u} \in [/mm] U, sodass
[mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] U [mm] (\vektor{7\\ 4\\2} [/mm] - [mm] x_{u} [/mm] , y) = 0
Interpretieren Sie [mm] x_{u} [/mm] geometrisch. |
Ich weiß zwar dass ich hier mit der orthogonalen Projektion arbeiten muss, doch fehlt mir irgendwie der richtige Ansatz.
Obige Aussage ist äquivalent zu
[mm] \parallel \vektor{7\\ 4\\2} [/mm] - [mm] x_{u} \parallel [/mm] = min(y [mm] \in [/mm] U) [mm] \parallel \vektor{7\\ 4\\2} [/mm] - y [mm] \parallel [/mm]
Ich weiß aber nicht ob das der richtige Weg ist.
Wär toll wenn mir jemand helfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:53 So 18.06.2006 | | Autor: | goeba |
Hi,
das sind ja ganz schön hochtrabende Formulierungen für eine im Prinzip simple Aufgabe. Warum heißt es "ein inneres Produkt"? Das ist doch einfach das Standardskalarprodukt.
Also:
- Dein Untervektorraum ist eine Ebene durch den Ursprung
- Deine Gleichung mit dem Skalarprodukt soll einfach eine Normalenform dieser Ebene werden
- damit das Klappt, muss der Vektor (7|4|2) - [mm] x_u [/mm] senkrecht zu U stehen. Das bekommst Du am leichtesten, wenn Du von (7|4|2) das Lot auf die Ebene fällst (also eine Geradengleichung mit (7|4|2) als Stützpunkt und dem Normalenvektor der Ebene als RV nimmst, dann den Schnittpunkt bestimmst, das ist dann auch gleich dein Lotfußpunkt).
Von Deinem Background her nehme ich mal an, dass Du es so in "normale Vektorrechnung" übersetzt lösen kannst. Wenn nicht, dann frag einfach nochmal nach.
Viel Spaß!
Andreas
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