Orthogonale Projektionsmatrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:13 So 06.09.2009 | | Autor: | Domwow |
| Aufgabe | Bezüglich der Standardbasis sei P die Matrix der orthogonalen Projektion des [mm] \IR^3 [/mm] auf die Lösungsgesamtheit von
x1 + 2x2 + 3x3 = 0,
und es sei [mm] w:=(1,2,3)^T. [/mm] Bewerten sie dazu folgende Aussagen:
- [mm] ||P||_2 [/mm] = 1
- P + [mm] ww^T [/mm] ist regulär
- P = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \pmat{ 1 & 1&0 \\ 2 & 2&0\\3&3&0 } [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Guten Tag!
Zunächst einmal hab ich auf Grund der Eigenschaften der Projektionmatrizen und der Dimension des Lösungsraumes (dim = 2), zwei mal den Eigenwert 1 und einmal den Eigenwert 0 für P festgestellt. Weiterhin ist [mm] ww^T [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2&3 \\ 2 & 4&6\\3&6&9 }.
[/mm]
Könnte man jetzt für Aussage 2 so vorgehen, dass man P als Matrix mit zwei Einsen, einer Null in der Diagonalen und sonst nur Nullen darstellen kann, dann [mm] ww^T [/mm] addiert, um die Regularität festzustellen?
Bei Aussage 3 könnte man mit den Eigenwerten argumentieren, um die Aussage zu widerlegen.
Bei Aussage 1 habe ich leider noch keinen Ansatz.
(Aussage 1 & 2 sind wahr, Aussage 3 ist falsch).
Ich danke im Voraus für Eure Hilfe!
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> Bezüglich der Standardbasis sei P die Matrix der
> orthogonalen Projektion des [mm]\IR^3[/mm] auf die
> Lösungsgesamtheit von
> x1 + 2x2 + 3x3 = 0,
> und es sei [mm]w:=(1,2,3)^T.[/mm] Bewerten sie dazu folgende
> Aussagen:
>
> - [mm]||P||_2[/mm] = 1
>
> - P + [mm]ww^T[/mm] ist regulär
>
> - P = [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}} \pmat{ 1 & 1&0 \\ 2 & 2&0\\3&3&0 }[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Guten Tag!
> Zunächst einmal hab ich auf Grund der Eigenschaften der
> Projektionmatrizen und der Dimension des Lösungsraumes
> (dim = 2), zwei mal den Eigenwert 1 und einmal den
> Eigenwert 0 für P festgestellt.
Hallo,
ja, richtig.
> Weiterhin ist [mm]ww^T[/mm] =
> [mm]\pmat{ 1 & 2&3 \\ 2 & 4&6\\3&6&9 }.[/mm]
Hab' ich jetzt nicht nachgerechnet.
> Könnte man jetzt für
> Aussage 2 so vorgehen, dass man P als Matrix mit zwei
> Einsen, einer Null in der Diagonalen und sonst nur Nullen
> darstellen kann, dann [mm]ww^T[/mm] addiert, um die Regularität
> festzustellen?
Nein:
in der Aufgabe steht, daß P die darstellende Matrix bzgl der Standardbasis ist.
Entweder Du berechnest P oder Du arbeitest mit einer schönen Basis, in welcher die Darstellungsmatrix die von Dir geschilderte Form hat - dann mußt Du aber auch w als Koordinatenvektor bzgl dieser Basis schreiben, die Regularität feststellen und Dir überlegen, warum Du hieraus auf die Regularität von [mm] P+ww^t [/mm] schließen kannst.
> Bei Aussage 3 könnte man mit den Eigenwerten
> argumentieren, um die Aussage zu widerlegen.
Könnte man machen.
Man kann das allerdings völlig ohne zu rechnen lösen, indem man sich das Bild der Matrix anschaut.
> Bei Aussage 1 habe ich leider noch keinen Ansatz.
Der Ansatz ist, daß man weiß, was mit [mm] \parallel P\parallel_2 [/mm] gemeint ist. Was denn?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Mo 07.09.2009 | | Autor: | Domwow |
Also, ich habe da jetzt noch eine Formel für P entdeckt:
P = E - [mm] P^T, [/mm] wobei [mm] P^T [/mm] = [mm] \bruch{w*w^T}{w^T*w}.
[/mm]
Demnach würde ich mit dem Normalenvektor folgendes für P erhalten:
[mm] \bruch{1}{14} \pmat{ 13 & -2&3 \\ -2 & 10&-6\\-3&-6&5 }.
[/mm]
[mm] ||P||_2 [/mm] ist die Länge der Projektion und die soll gleich 1 sein.
Lieben Gruß.
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> Also, ich habe da jetzt noch eine Formel für P entdeckt:
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> P = E - [mm]P^T,[/mm] wobei [mm]P^T[/mm] = [mm]\bruch{w*w^T}{w^T*w}.[/mm]
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> Demnach würde ich mit dem Normalenvektor folgendes für P
> erhalten:
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> [mm]\bruch{1}{14} \pmat{ 13 & -2&3 \\ -2 & 10&-6\\-3&-6&5 }.[/mm]
>
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Hallo,
wenn Du oben rechts -3 hättest, sähe das schon ganz passend aus.
Aber ich muß Dich warnen: ich glaube, daß Du Dich auf eine Klausur vorbereitest, und ich habe das Gefühl, daß Du Dich in irgendwelchen Rechnereien verstrickst, die von Dir gar nicht verlangt werden, deren Durchführung Dir in der Klausur viel Zeil kostet - mal davon abgesehen, daß man sich auch verrechnen kann.
Ich habe den Eindruck, daß Du jetzt verstanden hast, was eine Orthogonalprojektion ist, Duw eißt, was die Eigenräume und Eigenwerte sind, und auch, wie die darstellnde Matrix bzgl einer Basis, die aus Eigenvektoren besteht, aussieht.
Ich habe aber den Eindruck (!), daß Du keine darstellenden Matrizen bzgl. beliebiger Basen aufstellen kannst, und das Spiel mit den Darstellungsmatrizen bzgl verschiedener Basen überhaupt nicht beherrschst. Das macht diese Aufgaben schwer für Dich, und an dem Thema solltest bzw. müßtest Du arbeiten.
Du solltest Dir klarmachen, daß es hier sogar eine ONB aus Eigenvektoren gibt und somit eine orthogonale Matrix S, mit welcher man aus der Matrix P'=diag(0,1,1) vermöge [mm] S^{T}P'S [/mm] die Matrix P erhält.
Die Matrizen S und P brauchen wir für die Aufgabe gar nicht unbedingt aufzuschreiben.
Es ist nun gefragt, ob [mm] P+ww^{T} [/mm] regulär ist.
Wenn das der Fall ist, ist auch [mm] S(P+ww^{T})S^{T}=SPS^{T}+Sww^{T}S^{T}=P'+(Sw)*(Sw)^{T} [/mm] regulär,
Überlege Dir hierzu, was Sw ist, dann wirst Du sehen, daß [mm] P'+(Sw)*(Sw)^{T} [/mm] die Einheitsmatrix ist.
> [mm]||P||_2[/mm] ist die Länge der Projektion und die soll gleich 1
> sein.
Was soll denn bitteschön "Länge der Projektion" bedeuten? P ist eine matrix, und Du hast überhaupt nicht nachgeschaut, was es mit der verwendeten Matrixnorm auf sich hat, So kann das doch nichts werden!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Di 08.09.2009 | | Autor: | Domwow |
> Ich habe aber den Eindruck (!), daß Du keine
> darstellenden Matrizen bzgl. beliebiger Basen aufstellen
> kannst, und das Spiel mit den Darstellungsmatrizen bzgl
> verschiedener Basen überhaupt nicht beherrschst.
Ja, da hast du wohl recht!
Das mit der orthogonalen Basis versteh ich dann ja auch und [mm] ||P||_2 [/mm] ist die Spektralnorm der Matrix, wobei das die wurzel des betragsmäßig größten Eigenwerts von A^HA ist, und da A orthogonal ist in meinem Fall, erhält man also 1 als größten Eigenwert der Einheitsmatrix.
S ist orthogonal und w ist der Normalenvektor der Lösungsgesamtheit, aber zusammenreimen kann ich mir da immer nocht nichts:(.
Lieben Gruß!
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> Das mit der orthogonalen Basis versteh ich dann ja auch und
> [mm]||P||_2[/mm] ist die Spektralnorm der Matrix, wobei das die
> wurzel des betragsmäßig größten Eigenwerts von A^HA
> ist, und da A orthogonal ist in meinem Fall,
Hallo,
wir sind ja gerade mit P beschäftigt, und P ist doch nicht orthogonal!
Aber was ist denn [mm] P^{T}P? [/mm] Es ist [mm] P^{T}P=(S^{T}diag(0,1,1)'S)^{T}S^{T}diag(0,1,1)'S= [/mm] ???
Nun noch was über ähnliche Matrizen und Eigenwerte...
> S ist orthogonal
Ja.
S hat ja was mit der Basis aus Eigenvektoren zu tun, und w ist einer davon.
Bzgl. der ON-Eigenbasis [mm] B:=(w,v_1, v_2) [/mm] hat w den Koordinatenvektor [mm] \vektor{1\\0\\0}, [/mm] und es ist natürlich (mit meinen Bezeichnungen von zuvor) [mm] Sw=\vektor{1\\0\\0}
[/mm]
Gruß v. Angela
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