Orthogonalen Basis < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Diese Aufgabe habe ich weder in diesem Forum, noch in einem anderen gestellt:
1 Aufgabenteil: Bilden Sie die Basis [mm] R^{3}
[/mm]
Vektor [mm] 1:\vektor{\wurzel{0,9} \\\wurzel{0,1} \\ 0}
[/mm]
Vektor [mm] 2:\vektor{\ 0 \\\wurzel{0,5} \\ \wurzel{0,5}}
[/mm]
Vektor [mm] 3:\vektor{\wurzel{0,9} \\\wurzel{0,1} \\ 0}
[/mm]
Lösungsansatz der Musterlösung: Nur wenn drei Vektoren linear unabhängig sind, können sie eine Basis des Vektorraumes [mm] R^{3} [/mm] bilden. Man bildet also ein lineares Gleichungssystem
[mm] \alpha \vektor{\wurzel{0,9} \\\wurzel{0,1} \\ 0} [/mm] + [mm] \beta \vektor{\ 0 \\\wurzel{0,5} \\ \wurzel{0,5}} +\gamma \vektor{\wurzel{0,9} \\\wurzel{0,1} \\ 0} =\vektor{0 \\ 0\\ 0}
[/mm]
Nach der Musterlösung liegt ein Vektorraum der Basis [mm] R^{3} [/mm] vor. Die Gleichung liefere für [mm] \beta=0 [/mm] und für [mm] \alpha [/mm] und [mm] \gamma [/mm] ebenfalls null, so dass als Null-Linearkombination nur die Triviallösung in Frage käme.
Mit dieser Lösung bin ich allerdings nicht einverstanden, denn die Vektoren 1 und 3 sind identisch, so dass kein Raum aufgespannt wird, sondern nur eine Ebene.
2. Aufgabenteil: Bilden Sie die orthornonmale Basis:
Meine Vorüberlegung: Eine orthonomale Basis liegt in diesem Fall dann vor, wenn die Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Muss ich jetzt, um festzustellen, ob die Vektoren senkrecht aufeinander stehen, den [mm] cos\alpha [/mm] ermitteln? Denn der Winkel müsste paarweise zwischen den Vektoren 90 Grad ergeben (wobei es nach meinen Überlegungen eben nur zwischen 2 Vektoren eine Orthogonalität geben dürfte).
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:41 Sa 14.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn jemand sagt, die 3 Vektoren seien lin unabh. ist das natürlich Quatsch, denn mit [mm] \beta=0 \alpha=-\gamma [/mm] hat man ja den Gegenbeweis.
kann es sein dass da ein Druck oder Abschreibefehler vorliegt? so primitive Abhängigkeit, dass 2 Vektoren einfach gleich sind, gibts sonst selten in Aufgaben.
Wenn die Vektoren senkrecht aufeinander stehen sollen, muss ihr Skalarprodukt 0 sein. du nimmst einfach einen, und dann aus der Linearkomb des ersten mit dem zweiten bildest du einen, der Skalarprodukt 0 erzeugt. Dann musst du noch Einheitsvektoren draus machen.
sieh auch unter:
Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren in deinem Buch oder in Wiki
Gruss leduart
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Hallo,
zunächst möchte ich mich auf die verspätete Reaktion entschuldigen.
Ich war im letzten Monat beruflich bedingt viel unterwegs und konnte mich mit der Aufgabe nicht weiter beschäftiten.
Es hat sich tatsächlich ein Fehler in der Aufgabenbeschreibung eingeschlichen. Es liegen drei Vektoren vor.
[mm] x^{1}=\vektor{-\wurzel{0,9} \\ \wurzel{0,1}\\ 0};x^{2}=\vektor{0\\ \wurzel{0,5}\\ \wurzel{0,5}};x^{3}=\vektor{\wurzel{0,9} \\ \wurzel{0,1}\\ 0}
[/mm]
Folgende 2 Fragen sind gestellt worden:
1)Bilden die Vektoren eine orthonormale Basis des [mm] R^{3}
[/mm]
2)Bilden Sie eine Basis des des [mm] R^{3}
[/mm]
Lösungsansatz 2) Aufgabenteil:
Eine lineare Unabhängigkeit ist gegeben, wenn das unten aufgestellte Gleichungssystem bei einer trivialen Lösungsmenge gleich null ist.
[mm] a*\vektor{-\wurzel{0,9} \\ \wurzel{0,1}\\ 0}+b* \vektor{0\\ \wurzel{0,5}\\ \wurzel{0,5}}+c* \vektor{\wurzel{0,9} \\ \wurzel{0,1}\\ 0}=\vektor{0 \\ 0\\ 0}
[/mm]
Daraus kann man 3 Gleichungssysteme bilden:
I) [mm] a*-\wurzel{0,9}+b*0+c\wurzel{0,9}=0
[/mm]
[mm] II)a*\wurzel{0,1}+b*\wurzel{0,5}+c\wurzel{0,1}=0
[/mm]
[mm] III)b*\wurzel{0,5}=0
[/mm]
Ergebnis:
Aus der dritten Gleichung ergibt sich: b=0
Aus der zweiten Gleichung ergibt sich: a + c =0 -> a=0 [mm] \wedge [/mm] c=0 [mm] \Rightarrow [/mm] Das lineare Gleichungssystem ist nur bei einer Trivialösung gleich null. Somit sind die Vektoren linear unabhängig.
Ergibt sich aus dem Ergebnis der linearen Unabhängigkeit automatisch, dass die Vektoren senkrecht aufeinander stehen?
Wenn dem so ist, müsste eine orthonomale Basis darstellen. Muss hier noch ein weiterer Rechneschritt erfolgen und wenn ja, warum?
Viele Grüsse
Jörn
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Hallo Friesenprinz,
> Hallo,
> zunächst möchte ich mich auf die verspätete Reaktion
> entschuldigen.
> Ich war im letzten Monat beruflich bedingt viel unterwegs
> und konnte mich mit der Aufgabe nicht weiter
> beschäftiten.
>
> Es hat sich tatsächlich ein Fehler in der
> Aufgabenbeschreibung eingeschlichen. Es liegen drei
> Vektoren vor.
>
> [mm]x^{1}=\vektor{-\wurzel{0,9} \\ \wurzel{0,1}\\ 0};x^{2}=\vektor{0\\ \wurzel{0,5}\\ \wurzel{0,5}};x^{3}=\vektor{\wurzel{0,9} \\ \wurzel{0,1}\\ 0}[/mm]
>
>
> Folgende 2 Fragen sind gestellt worden:
> 1)Bilden die Vektoren eine orthonormale Basis des [mm]R^{3}[/mm]
> 2)Bilden Sie eine Basis des des [mm]R^{3}[/mm]
>
> Lösungsansatz 2) Aufgabenteil:
> Eine lineare Unabhängigkeit ist gegeben, wenn das unten
> aufgestellte Gleichungssystem bei einer trivialen
> Lösungsmenge gleich null ist.
>
> [mm]a*\vektor{-\wurzel{0,9} \\ \wurzel{0,1}\\ 0}+b* \vektor{0\\ \wurzel{0,5}\\ \wurzel{0,5}}+c* \vektor{\wurzel{0,9} \\ \wurzel{0,1}\\ 0}=\vektor{0 \\ 0\\ 0}[/mm]
>
> Daraus kann man 3 Gleichungssysteme bilden:
>
> I) [mm]a*-\wurzel{0,9}+b*0+c\wurzel{0,9}=0[/mm]
> [mm]II)a*\wurzel{0,1}+b*\wurzel{0,5}+c\wurzel{0,1}=0[/mm]
> [mm]III)b*\wurzel{0,5}=0[/mm]
>
> Ergebnis:
> Aus der dritten Gleichung ergibt sich: b=0
> Aus der zweiten Gleichung ergibt sich: a + c =0 -> a=0
> [mm]\wedge[/mm] c=0 [mm]\Rightarrow[/mm] Das lineare Gleichungssystem ist nur
> bei einer Trivialösung gleich null. Somit sind die
> Vektoren linear unabhängig.
>
> Ergibt sich aus dem Ergebnis der linearen Unabhängigkeit
> automatisch, dass die Vektoren senkrecht aufeinander
> stehen?
Nein, die Vektoren sind jetzt nur linear unabhängig.
> Wenn dem so ist, müsste eine orthonomale Basis
> darstellen. Muss hier noch ein weiterer Rechneschritt
> erfolgen und wenn ja, warum?
Wenn ein orthonormale Basis vorliegen soll,
dann müssen die Vektoren
a) paarweise orthogonal zueinander sein
b) den Betrag 1 haben.
>
> Viele Grüsse
> Jörn
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | Diese Frage habe ich weder in diesem noch in einem anderen Forum gestellt.
In einer Aufgabe heisst es: Besimmen Sie den Rang einer Matrix.
[mm] \pmat{ 2 & 4 & 3\\ 5 & 1 & 2\\ 6 &2& 1}
[/mm]
Mein Lösungsansatz:
Die erste Zeile wird durch 2 dividiert, es ergibt sich eine folgende Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1,5\\ 5 & 1 & 2\\ 6 &2& 1}
[/mm]
Zweiter Rechenschritt:
Man multipliziert die erste Zeile mit -5 und addiert die erste Zeile mit der zweiten Zeile, wobei man die erste Zeile stehen lässt, so dass sich folgende Matrix ergibt:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1,5\\ 0 & -9 & -5,5\\ 6 &2& 1}
[/mm]
3 Rechenschritt: Multiplikation der ersten Zeile mit -6 und Addition der ersten Zeile mit der dritten Zeile, wobei die erste Zeile stehen gelassen wird:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1,5\\ 0 & -9 & -5,5\\ 0 &-10& -8}
[/mm]
4 Rechenschritt: Multiplikation der zweiten Zeile [mm] mit\bruch{10}{9} [/mm] und Addition der zweiten mit der dritten Zeile, wobei man die 2 Zeile stehen läßt:
5 Rechenschritt: Zweite Zeile wird durch 9 dividiert:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1,5\\ 0 & 1 & \bruch{11}{18}\\ 0 &0& 1,7}
[/mm]
Ergebnis: Die Matrix hat den [mm] Rang3\Rightarrow [/mm] Es gibt drei lineare unabhängige Vektoren.
Die mir vorliegende Musterlösung weicht wie folgt ab:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1,5\\ 0 & -9 & -5,5\\ 0 &-10& -8} [/mm] Es werden zweite und dritte Zeile miteinander vertauscht, so das sich folgende Matrix [mm] ergibt:\pmat{ 1 & 2 & 1,5\\ 0 & -10 & -8\\ 0 &-9& -5,5}. [/mm] Anschließend wird die zweite Zeile durch -10 dividiert; es ergibt sich folgende [mm] Matrix:\pmat{ 1 & 2 & 1,5\\ 0 & 1& 0,8\\ 0 &-9& -5,5}
[/mm]
Anschließend wird die zweite Zeile mit 9 multipliziert und mit der dritten Zeile addiert; es ergibt sich folgende Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1,5\\ 0 & 1& 0,8\\ 0 &0& 1,7}
[/mm]
Auch hier kommt man zum Schluss, dass die Matrix den Rang drei hat, nur mit dem Unterschied, dass sich die zweite Zeile in der dritten Spalte von der ersten Lösung unterscheidet.
Da die Endmatritzen sich in der zweiten Zeile/dritte Spalte unterscheiden, möchte ich gerne wissen, ob beim ersten Lösungsansatz ein Fehler vorliegt, bzw ob die Matritzen einen unterschiedlichen Aussagewert haben? |
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Hallo Friesenprinz,
> Diese Frage habe ich weder in diesem noch in einem anderen
> Forum gestellt.
> In einer Aufgabe heisst es: Besimmen Sie den Rang einer
> Matrix.
>
> [mm]\pmat{ 2 & 4 & 3\\ 5 & 1 & 2\\ 6 &2& 1}[/mm]
> Mein
> Lösungsansatz:
> Die erste Zeile wird durch 2 dividiert, es ergibt sich
> eine folgende Matrix:
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1,5\\ 5 & 1 & 2\\ 6 &2& 1}[/mm]
> Zweiter
> Rechenschritt:
> Man multipliziert die erste Zeile mit -5 und addiert die
> erste Zeile mit der zweiten Zeile, wobei man die erste
> Zeile stehen lässt, so dass sich folgende Matrix ergibt:
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1,5\\ 0 & -9 & -5,5\\ 6 &2& 1}[/mm]
> 3
> Rechenschritt: Multiplikation der ersten Zeile mit -6 und
> Addition der ersten Zeile mit der dritten Zeile, wobei die
> erste Zeile stehen gelassen wird:
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1,5\\ 0 & -9 & -5,5\\ 0 &-10& -8}[/mm]
> 4
> Rechenschritt: Multiplikation der zweiten Zeile
> [mm]mit\bruch{10}{9}[/mm] und Addition der zweiten mit der dritten
Hier muss die 2. Zeile mit [mm]\red{-}\bruch{10}{9}[/mm] multipliziert
und zur 3. Zeile addiert werden.
> Zeile, wobei man die 2 Zeile stehen läßt:
> 5 Rechenschritt: Zweite Zeile wird durch 9 dividiert:
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1,5\\ 0 & 1 & \bruch{11}{18}\\ 0 &0& 1,7}[/mm]
Dann steht da:
[mm]\pmat{ 1 & 2 & 1,5\\ 0 & 1 & \bruch{11}{18}\\ 0 & 0 & \red{-\bruch{17}{9}}}[/mm]
>
> Ergebnis: Die Matrix hat den [mm]Rang3\Rightarrow[/mm] Es gibt drei
> lineare unabhängige Vektoren.
>
> Die mir vorliegende Musterlösung weicht wie folgt ab:
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1,5\\ 0 & -9 & -5,5\\ 0 &-10& -8}[/mm] Es werden
> zweite und dritte Zeile miteinander vertauscht, so das sich
> folgende Matrix [mm]ergibt:\pmat{ 1 & 2 & 1,5\\ 0 & -10 & -8\\ 0 &-9& -5,5}.[/mm]
> Anschließend wird die zweite Zeile durch -10 dividiert; es
> ergibt sich folgende [mm]Matrix:\pmat{ 1 & 2 & 1,5\\ 0 & 1& 0,8\\ 0 &-9& -5,5}[/mm]
>
> Anschließend wird die zweite Zeile mit 9 multipliziert und
> mit der dritten Zeile addiert; es ergibt sich folgende
> Matrix:
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1,5\\ 0 & 1& 0,8\\ 0 &0& 1,7}[/mm]
>
> Auch hier kommt man zum Schluss, dass die Matrix den Rang
> drei hat, nur mit dem Unterschied, dass sich die zweite
> Zeile in der dritten Spalte von der ersten Lösung
> unterscheidet.
>
> Da die Endmatritzen sich in der zweiten Zeile/dritte Spalte
> unterscheiden, möchte ich gerne wissen, ob beim ersten
> Lösungsansatz ein Fehler vorliegt, bzw ob die Matritzen
> einen unterschiedlichen Aussagewert haben?
Dann Lösungsansatz ist schon richtig.
Die Matrizen haben den selben Aussagenwert.
>
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | Die Antwort zu meiner Frage hinsichtlich einer orthonoalen Basis lautete wie folgt:
Wenn ein orthonormale Basis vorliegen soll,
dann müssen die Vektoren
a) paarweise orthogonal zueinander sein
b) den Betrag 1 haben.
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Wie stellt man fest, dass die Vektoren paarweise senkrecht aufeinander stehen. Berechnet man paarweise den Winkel zwischen den Vektoren (Bildung des Skalarproduktes jeweils zweier Vektor und dividiert es durch das Produkt aus den absoluten Beträgen beider Vektoren?
Warum müssen die Vektoren den Betrag 1 haben. Ergibt sich diese Anforderung aus dem Begriff Basis(=Orthonomalbasis . Daß man Einheitsvektoren berechnet, indem man die einzelnen Komponenten eines Vektors durch den [mm] Betrag=\wurzel{a^{2}+b^{2}+c^{2}} [/mm] berechnet, ist mir bekannt. Aber ich habe aus der Aufgabenstellung nicht schließen können, dass man von jedem Vektor die Länge berechnen muss.
Viele Grüße
Jörn
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Hallo Friesenprinz,
> Die Antwort zu meiner Frage hinsichtlich einer orthonoalen
> Basis lautete wie folgt:
>
> Wenn ein orthonormale Basis vorliegen soll,
> dann müssen die Vektoren
>
> a) paarweise orthogonal zueinander sein
> b) den Betrag 1 haben.
>
> Wie stellt man fest, dass die Vektoren paarweise senkrecht
> aufeinander stehen. Berechnet man paarweise den Winkel
> zwischen den Vektoren (Bildung des Skalarproduktes jeweils
> zweier Vektor und dividiert es durch das Produkt aus den
> absoluten Beträgen beider Vektoren?
Man berechnet, das Skalarprodukt von je 2 Vektoren.
Ergibt das Skalarprodukt Null, so sind die Vektoren
senkrecht zueinander.
>
> Warum müssen die Vektoren den Betrag 1 haben. Ergibt sich
> diese Anforderung aus dem Begriff Basis(=Orthonomalbasis .
Richtig.
> Daß man Einheitsvektoren berechnet, indem man die
> einzelnen Komponenten eines Vektors durch den
> [mm]Betrag=\wurzel{a^{2}+b^{2}+c^{2}}[/mm] berechnet, ist mir
> bekannt. Aber ich habe aus der Aufgabenstellung nicht
> schließen können, dass man von jedem Vektor die Länge
> berechnen muss.
>
> Viele Grüße
> Jörn
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | Ausgehend von der ursprünglichen Aufgabenstellung würde ich gerne noch mal die ausführliche Lösung besprechen.
Es gibt drei Vektoren:
[mm] x^{1}=\vektor{-\wurzel{0,9} \\\wurzel{0,1}\\ 0};x^{2}=\vektor{0 \\\wurzel{0,5}\\\wurzel{0,5}};x^{3}=\vektor{\wurzel{0,9} \\\wurzel{0,1}\\ 0};
[/mm]
Wie stellt man in rechnerischen Einzelschritten fest, dass die genannten Vektoren eine orthogonale Basis bilden? |
Mein Lösungsansatz in zwei Schritten:
1)Wie ergibt sich jetzt konkret das Skalarprodkukt?
[mm] x^{1}*x^{2}=-\wurzel{0,9}*0+\wurzel{0,1}*\wurzel{0,5}*+0*\wurzel{0,5}=\wurzel{0,05}
[/mm]
[mm] x^{1}*x^{3}=-\wurzel{0,9}*\wurzel{0,9}+\wurzel{0,1}*\wurzel{0,1}+0*0=0,8
[/mm]
[mm] x^{2}*x^{3}=0*\wurzel{0,9}+\wurzel{0,5}*\wurzel{0,1}+\wurzel{0,5}*0=\wurzel{0,05}
[/mm]
2) Wie stellt man fest, dass die Vektoren paarweise senkrecht aufeinander stehen?
Mein Lösungsansatz: Berechnung [mm] \cos \alpha
[/mm]
[mm] \left| x^{1} \right| =1;\left| x^{2} \right|=1;\left| x^{3} \right| [/mm] =1
[mm] \cos \alpha=\bruch{\wurzel{0,05}}{1} \ne [/mm] 0
[mm] \cos \alpha=\bruch{0,8}{1} \ne [/mm] 0
[mm] \cos \alpha=\bruch{\wurzel{0,05}}{1} \ne [/mm] 0
Ergebnis: Da der [mm] \cos \alpha [/mm] in keinem der Fälle null ergibt, komme ich zu dem Ergebnis, dass die Vektoren keine orthogonale Basis bilden. Dies steht leider im völligen Gegensatz zu der mir vorliegenden Musterlösung. Das einzige mit der Musterlösung übereinstimmende Ergebnis ist, dass die Vektoren linear unabhängig sind.
Eine Hilfe wäre sehr nett,
Der Friesenprinz
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Hallo Friesenprinz,
> Ausgehend von der ursprünglichen Aufgabenstellung würde
> ich gerne noch mal die ausführliche Lösung besprechen.
>
> Es gibt drei Vektoren:
>
> [mm]x^{1}=\vektor{-\wurzel{0,9} \\\wurzel{0,1}\\ 0};x^{2}=\vektor{0 \\\wurzel{0,5}\\\wurzel{0,5}};x^{3}=\vektor{\wurzel{0,9} \\\wurzel{0,1}\\ 0};[/mm]
>
> Wie stellt man in rechnerischen Einzelschritten fest, dass
> die genannten Vektoren eine orthogonale Basis bilden?
> Mein Lösungsansatz in zwei Schritten:
> 1)Wie ergibt sich jetzt konkret das Skalarprodkukt?
>
> [mm]x^{1}*x^{2}=-\wurzel{0,9}*0+\wurzel{0,1}*\wurzel{0,5}*+0*\wurzel{0,5}=\wurzel{0,05}[/mm]
>
> [mm]x^{1}*x^{3}=-\wurzel{0,9}*\wurzel{0,9}+\wurzel{0,1}*\wurzel{0,1}+0*0=0,8[/mm]
>
> [mm]x^{2}*x^{3}=0*\wurzel{0,9}+\wurzel{0,5}*\wurzel{0,1}+\wurzel{0,5}*0=\wurzel{0,05}[/mm]
Genau so.
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> 2) Wie stellt man fest, dass die Vektoren paarweise
> senkrecht aufeinander stehen?
>
> Mein Lösungsansatz: Berechnung [mm]\cos \alpha[/mm]
>
> [mm]\left| x^{1} \right| =1;\left| x^{2} \right|=1;\left| x^{3} \right|[/mm]
> =1
>
> [mm]\cos \alpha=\bruch{\wurzel{0,05}}{1} \ne[/mm] 0
> [mm]\cos \alpha=\bruch{0,8}{1} \ne[/mm] 0
> [mm]\cos \alpha=\bruch{\wurzel{0,05}}{1} \ne[/mm] 0
>
> Ergebnis: Da der [mm]\cos \alpha[/mm] in keinem der Fälle null
> ergibt, komme ich zu dem Ergebnis, dass die Vektoren keine
> orthogonale Basis bilden. Dies steht leider im völligen
> Gegensatz zu der mir vorliegenden Musterlösung. Das
> einzige mit der Musterlösung übereinstimmende Ergebnis
> ist, dass die Vektoren linear unabhängig sind.
Da Du jetzt weißt, daß die Vektoren nicht ortohogonal
zueinander sind, kannst Du jetzt das von leduart erwähnte
Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren anwenden.
>
> Eine Hilfe wäre sehr nett,
> Der Friesenprinz
Gruss
MathePower
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Vielen Dank an das Matheforum.
Alles verstanden!
Der Friesenprinz
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