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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 Sa 04.06.2011 | | Autor: | monopoly |
| Aufgabe | Es sei p der orthogonale Projektor des [mm] \IR^{5} [/mm] auf den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] - [mm] x_{4} [/mm] - [mm] x_{5} [/mm] = 0
[mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{5} [/mm] = 0
und P dessen Matrixdarstellung bezüglich der natürlichen Basen sowie E die 5x5-Einheitsmatrix. Bewerten Sie zu dieser Vorgabe die folgenden Aussagen:
a) rang(P) = 3
b) E + P ist regulär
c) |det(E - 2P)| = 1 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
es gab schon mal eine ähnliche Frage, die hab ich auch schon gefunden, gelesen und verstanden: https://matheraum.de/forum/Orthogonaler_Projektor/t584754
Ich weiß, dass die erste Aussage wahr ist, weil ich fünf Variablen, aber nur zwei Gleichungen habe und daher rang(P) = 5 - 2 = 3
Bei den beiden anderen Aussagen hänge ich jedoch, weil ich es nicht schaffe, ein korrektes P aufzustellen...
Ich hab das auch schon in Zeilenstufenform gebracht, aber dann weiß ich nicht mehr weiter:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & -1 } [/mm] -> [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & -1 & 1 & 0 } [/mm] -> [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & -1 & 1 & 0 }
[/mm]
Daher käme mir ein Tipp, wie ich die Matrixdarstellung P berechnen kann sehr recht.
Vielen Dank für die Hilfe schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:43 Sa 04.06.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
sagen wir ein Unterraum wird aufgespannt vom normierten Vektor $u$, d.h. wir betrachten
[mm] $\langle u\rangle [/mm] = [mm] \{au;\ a\in\IR\}$ [/mm] und [mm] $\|u\|=1$ [/mm] (der Einfachheit halber).
Dann projizieren wir irgendeinen Vektor x in diesen Raum mit der Matrix [mm] $P=uu^t$, [/mm] denn
$Px=uu^tx = u (u^tx)$
[mm] $u^t [/mm] x$ ist ein Skalar, also ist das Ergebnis $u (u^tx)$ ein Vielfaches von u und damit im Unterraum.
Außerdem: [mm] $P^2= uu^t uu^t [/mm] = [mm] u(u^tu)u^t=uu^t=P$ [/mm] denn $u^tu=1$, weil u normiert war.
In Deinem Fall ist der Raum, in den Du projizieren willst der Lösungsraum von $Ax=0$, wobei A die Matrix zu Deinen beiden Gleichungen sein soll (hier kommt Deine Zeilenstufenform ins Spiel). Wie Du richtig erkannt hast, hat der Raum Dimension 3.
Sei [mm] $U=(u_1, u_2, u_3)$ [/mm] eine Orthonormalbasis dieses Lösungsraums, dann bildet analog zu oben
[mm] $P=UU^t$
[/mm]
die Projektionsmatrix. Denn erstens ist das Ergebnis von $Py$ immer eine Linearkombination der 3 Basisvektoren (wieso?) und zweitens gilt [mm] $P^2=P$ [/mm] (wieso?).
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 So 05.06.2011 | | Autor: | monopoly |
Moinmoin,
danke für die ausführliche Auskunft. Leider ist mir aber noch immer nicht alles klar...
Ich weiß also, dass Ax = 0 und dass A meine Zeilenstufenform-Matrix ist.
Müsste ich, um P mit Zahlenwerten zu finden, jetzt einfach drei Vektoren, die die Gleichung erfüllen, aufstellen und in eine Matrix packen, hab dann U, wende P = [mm] UU^T [/mm] an und orthogonalisiere mit Gram-Schmidt, oder ist das schon wieder total in die falsche Richtung gedacht?
Vielen Dank noch einmal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 So 05.06.2011 | | Autor: | Blech |
ist absolut richtig.
ciao
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:05 So 05.06.2011 | | Autor: | fred97 |
Zu b) und c):
Für eine lineare Abb. P mit [mm] P^2=P [/mm] gilt: ist [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von P , so ist [mm] \lambda=0 [/mm] oder [mm] \lambda=1.
[/mm]
Damit sind -1 und 1/2 keine Eigenwerte von P und damit folgen b) und c)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 So 05.06.2011 | | Autor: | monopoly |
Hallo,
auch dir dank für die schnelle Antwort.
Weshalb spielt es denn eine Rolle, dass [mm] \lambda [/mm] nicht -1 oder 1/2 sein kann? Also was hat das genau mit der Determinante zu tun?
Ist das so weil det(A) = [mm] \lambda_{1} [/mm] * ... * [mm] \lambda_{n} [/mm] und ich nur auf die Werte 0 oder 1 als Determinante kommen kann, oder ist das zu simpel gedacht?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:18 So 05.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> auch dir dank für die schnelle Antwort.
>
> Weshalb spielt es denn eine Rolle, dass [mm]\lambda[/mm] nicht -1
> oder 1/2 sein kann?
In diesem Fall sind E+P und E-2P invertierbar !
FRED
> Also was hat das genau mit der
> Determinante zu tun?
>
> Ist das so weil det(A) = [mm]\lambda_{1}[/mm] * ... * [mm]\lambda_{n}[/mm]
> und ich nur auf die Werte 0 oder 1 als Determinante kommen
> kann, oder ist das zu simpel gedacht?
>
> Vielen Dank!
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