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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 Mo 05.03.2007 | | Autor: | Hanz |
| Aufgabe | a) Gegeben sind die Punkte A(1/-1/0); B(1/4/1); C(2/0/-1) sowie die Gerade [mm] g:\vec{x}=\vektor{3\\ 6\\-1} [/mm] + [mm] s\vektor{6\\ -1\\-5} [/mm] mit s [mm] \in [/mm] R
Weisen Sie nach, dass die drei Punkte A,B und C nicht auf einer Geraden liegen.
b) Die Ebene E enthält drei Punkte A,B und C. ermitteln Sie eine Gleichung von E.
c) zeigen Sie, dass die Gerade g orthogonal zur Ebene E ist.
d)Berechnen Sie den Abstand des Punktes A von g. |
Also gerechnet habe ich alle Teilaufgaben, meine Frage ist jetzt halt, ob meine Überlegungen und rechnungen stimmen/sinn ergeben.
a) Hier habe ich mir überlegt, die drei Punkte auf linerare Abhängigkeit zu überprüfen, indem ich die Vektoren [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] aufstelle.
[mm] \overrightarrow{AB}=\vektor{0 \\ 5\\1}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AC}=\vektor{1 \\ 1\\-1}
[/mm]
[mm] \vmat{ 0=& \lambda \\ 5= & \lambda}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] es gibt für [mm] \lambda [/mm] keine Lsg, also linear unabhängig und die Punkte liegen nicht auf einer Geraden.
b) E: [mm] \vec{x}=\vektor{1 \\ -1\\0}+\lambda\vektor{0 \\ 5\\1}+\mu\vektor{1 \\ 1\\-1} [/mm] mit [mm] \mu,\lambda \in [/mm] R
c) Eine Gerade heisst ja Orthogonale auf einer Ebene, wenn ihr Richtungsvektor ein Normalenvektor der Ebene ist.
Daher forme ich E in Normalenform um:
[mm] \vec{n}=\vektor{0 \\ 5\\1} \times \vektor{1 \\ 1\\-1} [/mm] = [mm] \vektor{6 \\ -1\\5}
[/mm]
[mm] E:[\vec{x}-\vektor{1 \\ -1\\0}] \vektor{6 \\ -1\\5}=0
[/mm]
Da der Normalenvektor mit dem Richtungsvektor von g übereinstimmt, sind E und g orthogonal.
d) E in Koordinatenform umwandeln:
E: 6x-y+5z=7
Jetzt g in E einsetzten: 6(3+6s)-(6-s)+5(-1+5s)=7
<=> 18+36s-6+s-5+25s=7
<=> 7+62s=7
=> s = 0
Nun s in g einsetzten, um einen Punkt F zu bestimmen:
[mm] g:\vec{x}=\vektor{3\\ 6\\-1} [/mm] + [mm] 0\vektor{6\\ -1\\-5}
[/mm]
=> F(3/6/-1)
[mm] d(A,g)=\wurzel{(3-1)²+(6+1)²+(-1-0)²}=\wurzel{54}
[/mm]
So das wären meine Lösungen, weiss aber nicht ob sie so korrekt sind.
Mfg, A.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:50 Mo 05.03.2007 | | Autor: | homme |
Grundsätzliche Vorgehensweise ist richtig und Rechenfehler habe ich im Moment auch keine Entdeckt. Müsste passen
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Hallo Hanz,
> a) Gegeben sind die Punkte A(1/-1/0); B(1/4/1); C(2/0/-1)
> sowie die Gerade [mm]g:\vec{x}=\vektor{3\\ 6\\-1}[/mm] +
> [mm]s\vektor{6\\ -1\\-5}[/mm] mit s [mm]\in[/mm] R
>
> Weisen Sie nach, dass die drei Punkte A,B und C nicht auf
> einer Geraden liegen.
>
> b) Die Ebene E enthält drei Punkte A,B und C. ermitteln Sie
> eine Gleichung von E.
>
> c) zeigen Sie, dass die Gerade g orthogonal zur Ebene E
> ist.
>
> d)Berechnen Sie den Abstand des Punktes A von g.
> Also gerechnet habe ich alle Teilaufgaben, meine Frage ist
> jetzt halt, ob meine Überlegungen und rechnungen
> stimmen/sinn ergeben.
>
> a) Hier habe ich mir überlegt, die drei Punkte auf linerare
> Abhängigkeit zu überprüfen, indem ich die Vektoren
> [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] und [mm]\overrightarrow{AC}[/mm] aufstelle.
> [mm]\overrightarrow{AB}=\vektor{0 \\ 5\\1}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{AC}=\vektor{1 \\ 1\\-1}[/mm]
>
> [mm]\vmat{ 0=& \lambda \\ 5= & \lambda}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] es gibt
> für [mm]\lambda[/mm] keine Lsg, also linear unabhängig und die
> Punkte liegen nicht auf einer Geraden.
>
>
> b) E: [mm]\vec{x}=\vektor{1 \\ -1\\0}+\lambda\vektor{0 \\ 5\\1}+\mu\vektor{1 \\ 1\\-1}[/mm]
> mit [mm]\mu,\lambda \in[/mm] R
>
> c) Eine Gerade heisst ja Orthogonale auf einer Ebene, wenn
> ihr Richtungsvektor ein Normalenvektor der Ebene ist.
>
> Daher forme ich E in Normalenform um:
> [mm]\vec{n}=\vektor{0 \\ 5\\1} \times \vektor{1 \\ 1\\-1}[/mm] =
> [mm]\vektor{6 \\ -1\\5}[/mm]
> [mm]E:[\vec{x}-\vektor{1 \\ -1\\0}] \vektor{6 \\ -1\\5}=0[/mm]
>
> Da der Normalenvektor mit dem Richtungsvektor von g
> übereinstimmt, sind E und g orthogonal.
>
> d) E in Koordinatenform umwandeln:
> E: 6x-y+5z=7
> Jetzt g in E einsetzten: 6(3+6s)-(6-s)+5(-1+5s)=7
> <=> 18+36s-6+s-5+25s=7
> <=> 7+62s=7
> => s = 0
>
> Nun s in g einsetzten, um einen Punkt F zu bestimmen:
> [mm]g:\vec{x}=\vektor{3\\ 6\\-1}[/mm] + [mm]0\vektor{6\\ -1\\-5}[/mm]
> =>
> F(3/6/-1)
>
> [mm]d(A,g)=\wurzel{(3-1)²+(6+1)²+(-1-0)²}=\wurzel{54}[/mm]
>
>
> So das wären meine Lösungen, weiss aber nicht ob sie so
> korrekt sind.
> Mfg, A.
Kennst du die HNF  Hesse'sche Normalenform der Ebenengleichung?
Mit ihrer Hilfe kannst du noch schneller den Abstand berechnen.
Probier's mal, damit kannst du deine Rechnung gleich selbst überprüfen!
Gruß informix
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