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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass [mm] (v^{j}_{l})_{l=1}^{n}=\sqrt{\bruch{2}{n+1}}\sin(\bruch{l\cdot j \pi}{n+1}), [/mm] j=1...n eine Orthonormalbasis bzgl des Standardskalarproduktes [mm] R^{n} [/mm] bilden. |
Diese Aufgabe schafft mich noch.
Also es muss ja gelten [mm] $(v^{k}_{l},v^{j}_{l})=\delta_{kj}$. [/mm]
Also fangen wir mal an.
[mm] $(v^{k}_{l},v^{j}_{l})=\bruch{2}{n+1}\cdot (\sin(\bruch{k \pi}{n+1})\sin(\bruch{j \pi}{n+1})+\sin(\bruch{2k \pi}{n+1})\sin(\bruch{2j \pi}{n+1})+\sin(\bruch{3k \pi}{n+1})\sin(\bruch{3j \pi}{n+1})+.....\sin(\bruch{(n-1)k \pi}{n+1})\sin(\bruch{(n-1)k \pi}{n+1})+\sin(\bruch{n k \pi}{n+1})\sin(\bruch{n\cdot j \pi}{n+1})$
[/mm]
Jetzt hab ich das mit [mm] sin(x)sin(y)=\bruch{1}{2}(cos(x-y)+cos(x+y)) [/mm] umgeschrieben.
[mm] $(v^{k}_{l},v^{j}_{l})=\bruch{1}{n+1}(\cos(\bruch{(k-j)\pi}{n+1})+\cos(\bruch{(k+j)\pi}{n+1})+\cos(\bruch{2(k-j)\pi}{n+1})+\cos(\bruch{2(k+j)\pi}{n+1})+...\cos(\bruch{(n-1)(k-j)\pi}{n+1})+\cos(\bruch{(n-1)(k+j)\pi}{n+1})+\cos(\bruch{n(k-j)\pi}{n+1})+\cos(\bruch{n(k+j)\pi}{n+1})$
[/mm]
Dann habe ich [mm] $\cos(\bruch{(n-1)(k+j)\pi}{n+1})$ [/mm] umgeschrieben als:
[mm] $\cos(\bruch{(n-1)(k+j)\pi}{n+1})=\cos((1-\bruch{2}{n+1})(k+j)\pi)=cos((k+j)\pi)cos(\bruch{2(k+j)}{n+1})$
[/mm]
So zeigt man die Symmetrie der Summe, hinten treten die Selben Summanden auf, möglicherweise allerdings mit unterschiedlichem Vorzeichen.
Mein Problem liegt nun darin, das vorzeichen zu bestimmen. Man müsste ja zeigen, dass [mm] $cos((k+j)\pi)cos(\bruch{2(k+j)}{n+1})=-cos(\bruch{2(k+j)}{n+1})$, [/mm] damit sich die Terme wegheben. Außerdem habe ich noch irgendwie nicht eingebracht, das [mm] j\not=k [/mm] ist (erstmal)
Danke für die Hilfe
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> Zeigen Sie, dass
> [mm](v^{j}_{l})_{l=1}^{n}=\sqrt{\bruch{2}{n+1}}\sin(\bruch{l\cdot j \pi}{n+1}),[/mm]
> j=1...n
Hallo,
ich komme mir ein bißchen dumm vor gerade:
was soll [mm] (v^{j}_{l})_{l=1}^{n} [/mm] bedeuten?
Ich verstehe auch dieses j=1,...,n nicht richtig.
Ich mag da jetzt auch nicht rumraten.
Wie sieht denn diese Basis für den [mm] \IR^3 [/mm] beispielsweise aus?
Das müssen ja drei Vektoren mit drei Eintragen sein?
Schreib die doch erstmal auf. (Möglicherweise liegt an dieser Stelle nämlich auch Dein Hauptproblem mit der Aufgabe.)
> eine Orthonormalbasis bzgl des
> Standardskalarproduktes [mm]R^{n}[/mm] bilden.
> Diese Aufgabe schafft mich noch.
>
> Also es muss ja gelten [mm](v^{k}_{l},v^{j}_{l})=\delta_{kj}[/mm].
>
> Also fangen wir mal an.
>
> [mm](v^{k}_{l},v^{j}_{l})=\bruch{2}{n+1}\cdot (\sin(\bruch{k \pi}{n+1})\sin(\bruch{j \pi}{n+1})+\sin(\bruch{2k \pi}{n+1})\sin(\bruch{2j \pi}{n+1})+\sin(\bruch{3k \pi}{n+1})\sin(\bruch{3j \pi}{n+1})+.....\sin(\bruch{(n-1)k \pi}{n+1})\sin(\bruch{(n-1)k \pi}{n+1})+\sin(\bruch{n k \pi}{n+1})\sin(\bruch{n\cdot j \pi}{n+1})[/mm]
Wenn das ansatzweise so gemeint ist, wie ich es mir denke, dann haben k und j in obiger Gleichung nichts zu suchen.
Gruß v. Angela
>
> Jetzt hab ich das mit
> [mm]sin(x)sin(y)=\bruch{1}{2}(cos(x-y)+cos(x+y))[/mm]
> umgeschrieben.
>
> [mm](v^{k}_{l},v^{j}_{l})=\bruch{1}{n+1}(\cos(\bruch{(k-j)\pi}{n+1})+\cos(\bruch{(k+j)\pi}{n+1})+\cos(\bruch{2(k-j)\pi}{n+1})+\cos(\bruch{2(k+j)\pi}{n+1})+...\cos(\bruch{(n-1)(k-j)\pi}{n+1})+\cos(\bruch{(n-1)(k+j)\pi}{n+1})+\cos(\bruch{n(k-j)\pi}{n+1})+\cos(\bruch{n(k+j)\pi}{n+1})[/mm]
>
> Dann habe ich [mm]\cos(\bruch{(n-1)(k+j)\pi}{n+1})[/mm]
> umgeschrieben als:
>
> [mm]\cos(\bruch{(n-1)(k+j)\pi}{n+1})=\cos((1-\bruch{2}{n+1})(k+j)\pi)=cos((k+j)\pi)cos(\bruch{2(k+j)}{n+1})[/mm]
> So zeigt man die Symmetrie der Summe, hinten treten die
> Selben Summanden auf, möglicherweise allerdings mit
> unterschiedlichem Vorzeichen.
> Mein Problem liegt nun darin, das vorzeichen zu bestimmen.
> Man müsste ja zeigen, dass
> [mm]cos((k+j)\pi)cos(\bruch{2(k+j)}{n+1})=-cos(\bruch{2(k+j)}{n+1})[/mm],
> damit sich die Terme wegheben. Außerdem habe ich noch
> irgendwie nicht eingebracht, das [mm]j\not=k[/mm] ist (erstmal)
>
> Danke für die Hilfe
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:04 Di 21.04.2009 | | Autor: | blascowitz |
Also [mm] $v^{j}= (v^{j}_{l})_{l=1}^{n}=\sqrt{\bruch{2}{n+1}}\vektor{\sin(\bruch{j\pi}{n+1}) \\ \sin(\bruch{2j\pi}{n+1})\\ \sin(\bruch{3j\pi}{n+1})\\ \vdots \\\sin(\bruch{(n-1)j\pi}{n+1})\\ \sin(\bruch{nj\pi}{n+1})}$. [/mm] Die Orthogonalität hat sich gerade erledigt, da ist mir noch was eingefallen. Jetzt muss ich nur noch die Orthonomalität nachrechnen. das werde ich erstmal versuchen.
Danke für die Hilfe und einen schönen Tag
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:04 Di 21.04.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Zeigen Sie, dass
> [mm](v^{j}_{l})_{l=1}^{n}=\sqrt{\bruch{2}{n+1}}\sin(\bruch{l\cdot j \pi}{n+1}),[/mm]
> j=1...n eine Orthonormalbasis bzgl des
> Standardskalarproduktes [mm]R^{n}[/mm] bilden.
> Diese Aufgabe schafft mich noch.
>
> Also es muss ja gelten [mm](v^{k}_{l},v^{j}_{l})=\delta_{kj}[/mm].
>
> Also fangen wir mal an.
>
> [mm](v^{k}_{l},v^{j}_{l})=\bruch{2}{n+1}\cdot (\sin(\bruch{k \pi}{n+1})\sin(\bruch{j \pi}{n+1})+\sin(\bruch{2k \pi}{n+1})\sin(\bruch{2j \pi}{n+1})+\sin(\bruch{3k \pi}{n+1})\sin(\bruch{3j \pi}{n+1})+.....\sin(\bruch{(n-1)k \pi}{n+1})\sin(\bruch{(n-1)k \pi}{n+1})+\sin(\bruch{n k \pi}{n+1})\sin(\bruch{n\cdot j \pi}{n+1})[/mm]
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> Jetzt hab ich das mit
> [mm]sin(x)sin(y)=\bruch{1}{2}(cos(x-y)+cos(x+y))[/mm]
> umgeschrieben.
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> [mm](v^{k}_{l},v^{j}_{l})=\bruch{1}{n+1}(\cos(\bruch{(k-j)\pi}{n+1})+\cos(\bruch{(k+j)\pi}{n+1})+\cos(\bruch{2(k-j)\pi}{n+1})+\cos(\bruch{2(k+j)\pi}{n+1})+...\cos(\bruch{(n-1)(k-j)\pi}{n+1})+\cos(\bruch{(n-1)(k+j)\pi}{n+1})+\cos(\bruch{n(k-j)\pi}{n+1})+\cos(\bruch{n(k+j)\pi}{n+1})[/mm]
>
> Dann habe ich [mm]\cos(\bruch{(n-1)(k+j)\pi}{n+1})[/mm]
> umgeschrieben als:
>
> [mm]\cos(\bruch{(n-1)(k+j)\pi}{n+1})=\cos((1-\bruch{2}{n+1})(k+j)\pi)=cos((k+j)\pi)cos(\bruch{2(k+j)}{n+1})[/mm]
> So zeigt man die Symmetrie der Summe, hinten treten die
> Selben Summanden auf, möglicherweise allerdings mit
> unterschiedlichem Vorzeichen.
> Mein Problem liegt nun darin, das vorzeichen zu bestimmen.
> Man müsste ja zeigen, dass
> [mm]cos((k+j)\pi)cos(\bruch{2(k+j)}{n+1})=-cos(\bruch{2(k+j)}{n+1})[/mm],
> damit sich die Terme wegheben.
Das ist im Allgemeinen falsch, denn [mm] $cos((k+j)\pi)= (-1)^{k+j}$. [/mm] Die Terme heben sich alle nur weg, wenn $k+j$ ungerade ist. Außerdem hat du insgesamt 2n Terme, es können sich daher nur für gerades n alle wegheben, für ungerades bleiben zwei (in der Mitte) übrig. Da must du dir noch überlegen, warum die 0 sind.
> Außerdem habe ich noch
> irgendwie nicht eingebracht, das [mm]j\not=k[/mm] ist (erstmal)
Bisher ist das noch nicht benutzt. Wenn $j+k$ ungerade ist, muss automatisch [mm]j\not=k[/mm] sein.
Für $j+k$ gerade hast du gerade herausbekommen, dass die Terme paarweise gleich sind, du kannst sie also zusammenfassen.
Viele Grüße
Rainer
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