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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:57 So 15.03.2009 | | Autor: | izzy |
| Aufgabe | Sei
[mm] A:=\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & -2 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & -3 }.
[/mm]
Man betrachte die Bilinearform [mm] b(x,y):=x^{T}*A*y [/mm] auf [mm] \IR^{4} [/mm] und den Untervektorraum [mm] W:=span(e_{1},e_{1}+e_{2}+e_{3}).
[/mm]
Berechnen Sie den Orthogonalraum [mm] W^{\perp}, [/mm] sowie W [mm] \cap W^{\perp}. [/mm] |
Hallo zusammen!
Das habe ich herausgefunden:
- [mm] W:=span(e_{1},e_{1}+e_{2}+e_{3})=span(\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0})=span(w_{1},w_{2})
[/mm]
- [mm] W^{\perp}= [/mm] {v [mm] \in [/mm] V : v [mm] \perp [/mm] w [mm] \forall [/mm] w [mm] \in [/mm] W}
Gesucht sind alle Vektoren, die senkrecht zu [mm] w_{1} [/mm] und [mm] w_{2} [/mm] sind.
Sei nun [mm] x=w_{1},w_{2} [/mm] und [mm] y=\vektor{y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ y_{4}}. [/mm] Gesucht sind alle möglichen Vektoren y.
Nun habe ich [mm] b(x,y)=x^{T}*A*y [/mm] benutzt, x und y eingesetzt, berechnet und erhalte ein 2x4 Gleichungssystem und setze dieses gleich 0, da ich das Skalarprodukt auf Orthogonalität überpüfen muss.
I) [mm] y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}=0
[/mm]
II) [mm] 3*y_{1}+5*y_{2}+y_{3}+3*y_{4}=0
[/mm]
Schlussendlich habe ich erhalten:
[mm] y=\alpha*\vektor{-2 \\ 1 \\ 1 \\ 0}+\beta*\vektor{-1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}.
[/mm]
Jetzt hätte ich gesagt, dass dies die Elemente des Orthogonalraumes sind. Kann mir jemand sagen, ob das soweit stimmt? Falls es so ist, wie schreibt man diese Menge schön auf?
Zum 2.Teil der Aufgabe habe ich eine kleine Idee: Ich schaue mir die Vektoren, die in W und in [mm] W^{\perp} [/mm] gleichzeitig sind, diese sind dann die Elemente. Ist das richtig?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Tschüss und Danke!
izzy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 So 15.03.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei
> [mm]A:=\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & -2 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & -3 }.[/mm]
>
> Man betrachte die Bilinearform [mm]b(x,y):=x^{T}*A*y[/mm] auf
> [mm]\IR^{4}[/mm] und den Untervektorraum
> [mm]W:=span(e_{1},e_{1}+e_{2}+e_{3}).[/mm]
> Berechnen Sie den Orthogonalraum [mm]W^{\perp},[/mm] sowie W [mm]\cap W^{\perp}.[/mm]
>
> Hallo zusammen!
>
> Das habe ich herausgefunden:
> - [mm]W:=span(e_{1},e_{1}+e_{2}+e_{3})=span(\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0})=span(w_{1},w_{2})[/mm]
>
> - [mm]W^{\perp}=\{v \in V : v \perp w \forall w \in W\} [/mm]
> Gesucht sind alle Vektoren, die senkrecht zu [mm]w_{1}[/mm] und [mm]w_{2}[/mm] sind.
> Sei nun [mm]x=w_{1},w_{2}[/mm] und [mm]y=\vektor{y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ y_{4}}.[/mm]
> Gesucht sind alle möglichen Vektoren y.
> Nun habe ich [mm]b(x,y)=x^{T}*A*y[/mm] benutzt, x und y eingesetzt,
> berechnet und erhalte ein 2x4 Gleichungssystem und setze
> dieses gleich 0, da ich das Skalarprodukt auf
> Orthogonalität überpüfen muss.
> I) [mm]y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}=0[/mm]
> II) [mm]3*y_{1}+5*y_{2}+y_{3}+3*y_{4}=0[/mm]
> Schlussendlich habe ich erhalten:
> [mm]y=\alpha*\vektor{-2 \\ 1 \\ 1 \\ 0}+\beta*\vektor{-1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}.[/mm]
>
> Jetzt hätte ich gesagt, dass dies die Elemente des
> Orthogonalraumes sind.
Richtig.
> Kann mir jemand sagen, ob das soweit
> stimmt? Falls es so ist, wie schreibt man diese Menge schön
> auf?
Zum Beispiel: [mm] $W^{\perp} [/mm] = [mm] \mathop{\mathrm{span}}\left(\vektor{-2 \\ 1 \\ 1 \\ 0} ,\vektor{-1 \\ 0 \\ 0 \\ 1} \right)$.
[/mm]
Oder auch: [mm] $W^{\perp} [/mm] = [mm] \Biggl\{ \alpha*\vektor{-2 \\ 1 \\ 1 \\ 0}+\beta*\vektor{-1 \\ 0 \\ 0 \\ 1} \Biggm\vert \alpha,\beta\in\IR\Biggr\} [/mm] $.
> Zum 2.Teil der Aufgabe habe ich eine kleine Idee: Ich
> schaue mir die Vektoren, die in W und in [mm]W^{\perp}[/mm]
> gleichzeitig sind, diese sind dann die Elemente. Ist das
> richtig?
Richtig.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 So 15.03.2009 | | Autor: | izzy |
danke rainer!
ich habe aber trotzdem noch eine frage.
Wie muss ich jetzt vorgehen, um die gemeinsamen elemente von W und [mm] W^\perp [/mm] zu finden?
grüsse izzy
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> danke rainer!
> ich habe aber trotzdem noch eine frage.
> Wie muss ich jetzt vorgehen, um die gemeinsamen elemente
> von W und [mm]W^\perp[/mm] zu finden?
> grüsse izzy
Hallo,
Du hast doch $ [mm] W:=span(\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0})
[/mm]
und
$ [mm] W^{\perp} [/mm] = [mm] \mathop{\mathrm{span}}\left(\vektor{-2 \\ 1 \\ 1 \\ 0} ,\vektor{-1 \\ 0 \\ 0 \\ 1} \right) [/mm] $.
Um den Schnitt zu berechnen, löse
[mm] \lambda_1\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}+ \lambda_2\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0}=\mu_1\vektor{-2 \\ 1 \\ 1 \\ 0}+\mu_2\vektor{-1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:18 Mo 16.03.2009 | | Autor: | izzy |
Hallo Angela
Ja klar! Manchmal überlege ich einfach zu weit... Jetzt sollte es klappen.
Danke!
liebe grüsse
izzy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:24 Mo 16.03.2009 | | Autor: | izzy |
Mein letzter Eintrag sollte keine Frage sein, sondern eine Mitteilung. Ich weiss nicht, wie ich das ändern könnte.. :-S
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