Orthogonaltrajektorien < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 Sa 14.03.2009 | | Autor: | csak1162 |
| Aufgabe | | Berechne die Orthogonaltrajektorien der Kurvenschar y = C tan x, [mm] C\in\IR [/mm] |
stimmt der ansatz
y' = C [mm] \bruch{1}{cos²(x)}
[/mm]
C = [mm] \bruch{y}{tan x}
[/mm]
y' = [mm] \bruch{y}{tan x} \bruch{1}{cos²(x)}
[/mm]
[mm] \bruch{y'}{y} [/mm] = [mm] \bruch{1}{tan x cos²(x)}
[/mm]
stimmt das bis daher und wenn ja, wie geht es weiter??
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Hallo csak1162,
> Berechne die Orthogonaltrajektorien der Kurvenschar y = C
> tan x, [mm]C\in\IR[/mm]
> stimmt der ansatz
>
> y' = C [mm]\bruch{1}{cos²(x)}[/mm]
>
> C = [mm]\bruch{y}{tan x}[/mm]
>
> y' = [mm]\bruch{y}{tan x} \bruch{1}{cos²(x)}[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{y'}{y}[/mm] = [mm]\bruch{1}{tan x cos²(x)}[/mm]
>
>
> stimmt das bis daher und wenn ja, wie geht es weiter??
Hier hast Du zunächst einmal die Richtung der Kurven korrekt bestimmt.
Nun, für die Richtung der orthogonalen Trajektorien gilt: [mm]m_{T}*m=-1[/mm]
, wobei [mm]m = \bruch{y}{\tan\left(x\right)*\cos^{2}\left(x\right)}[/mm]
Demnach lautet dann die Gleichung der orthogonalen Trajektorien:
[mm]y'=m_{T}=-\bruch{1}{m}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Sa 14.03.2009 | | Autor: | csak1162 |
ist das jetzt schon fertig oder muss ich noch C irgenwie berechnen??
wenn ja, wie berechne ich C??
danke lg
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Hallo csak1162,
> ist das jetzt schon fertig oder muss ich noch C irgenwie
> berechnen??
> wenn ja, wie berechne ich C??
>
Nein, die Gleichung der orthogonalen Trajektorien mußt Du noch angeben.
C hast Du aus [mm]y=C*\tan\left(x\right)[/mm] bestimmt.
>
> danke lg
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 So 15.03.2009 | | Autor: | csak1162 |
ist die Gleichung der Trajektorien
y' = - [mm] \bruch{tan(x) cos²(x)}{y}
[/mm]
oder was ist sonst die Gleichung der Trajektorien und wie komme ich drauf????
danke lg
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Hallo csak1162,
> ist die Gleichung der Trajektorien
>
> y' = - [mm]\bruch{tan(x) cos²(x)}{y}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> oder was ist sonst die Gleichung der Trajektorien und wie
> komme ich drauf????
In diesem Post habe ich Dir das erläutert.
>
> danke lg
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 So 15.03.2009 | | Autor: | csak1162 |
ich habe nur gefragt weil in einem Beispiel y = C x²
die Gleichung der Orthogonaltrajektorien dann
y' = [mm] \bruch{-x}{2y} [/mm] ist
und dann haben wir noch y² = [mm] \bruch{-x²}{2} [/mm] + C
was ist das???
danke lg
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Hallo csak1162,
> ich habe nur gefragt weil in einem Beispiel y = C x²
>
> die Gleichung der Orthogonaltrajektorien dann
>
> y' = [mm]\bruch{-x}{2y}[/mm] ist
>
>
> und dann haben wir noch y² = [mm]\bruch{-x²}{2}[/mm] + C
>
> was ist das???
>
Für C=0 ist das ein Punkt.
Für C>0 ist das eine Ellipse.
Nun zur Herleitung der orthogonalen Trajektorien:
Gegeben sei eine Kurvenschar [mm]\left(1\right) \ F\left(x,y,C)=0[/mm]
Diffentiation von [mm]F\left(x, \ y\left(x\right),\ C)=0[/mm] ergibt:
[mm]\left(2\right) \ F_{x}+F_{y}*y'=0[/mm]
[mm]\Rightarrow y' = - \bruch{F_{x}}{F_{y}}[/mm]
Dies ist jetzt die Richtung der Kurven.
Für die orthogonalen Trajektorien gilt nun: [mm]y'=\bruch{-1}{-F_{x} / F_{y}}=\bruch{F_{y}}{F_{x}}[/mm]
bzw. [mm]\left(3\right) \ F_{y}-F_{x}*y'=0[/mm]
>
> danke lg
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 So 26.12.2010 | | Autor: | Spirik |
Hallo,
Ich habe ebenfalls ein Problem mit Orthogonaltrajektorien.
Ich habe diese Hyperbelschar: F(x,y;c)=x²+y²-c²=0
Fx(x,y)=2x
Fy(x,y)=2y
Somit ergibt sich die DGL der Orthogonaltrajektorie durch P (Steigung des Graphen im Punkt P in der die Tangente senkrecht zum Graphen ist):
[mm] Y'=\bruch{2Y}{2x}=\bruch{Y}{x}
[/mm]
Mein Vorgänger hat dann hier F(x,y;c) nach c aufgelöst und in y' eingesetzt. Das kann ich bei meinem Problem ja nicht machen.
Wie muss ich nun weiter machen?
Besten Dank schonmal für Eure Hilfe!
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:36 So 26.12.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Deine Funktion ist implizit gegeben. Du kannst y als y(x) auffassen und eigentlich analog zu deinem Vorgänger vorgehen - dabei aber Fälle unterscheiden.
Aber: Du bist richtig vorgegangen. Man erkennt ja sofort, dass du senkrechte Trajektorien zu verschiedenen Kreisgrössen um Mittelpunkt (0/0) suchst. Die Lösungen müssen also von der Form y = x*c sein.
Bei deinem Fall hat sich nun das C erübrigt d.h. menschlich mathematisch interpretiert, es ist egal wie gross das C am ort P(x/y) ist für die Trajektorien bestimmung - trotzdem erhälst du doch eine korrekte Differentialgleichung für die Trajektorien. Löse sie einfach mit Separation.
Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:23 Mo 27.12.2010 | | Autor: | Spirik |
> Man erkennt ja sofort,
> dass du senkrechte Trajektorien zu verschiedenen
> Kreisgrössen um Mittelpunkt (0/0) suchst. Die Lösungen
> müssen also von der Form y = x*c sein.
Woran siehst du das?
Wann hab ich dann die Lösung dieser Form x*y=c?
Also ich hab mich mal hingesetzt:
F(x,y;c)=x²+y²-c²=0
Fx(x,y)=2x (differenzieren nach x)
Fy(x,y)=2y (differenzieren nach y)
Somit ergibt sich die DGL der Orthogonaltrajektorie durch P (Steigung des Graphen im Punkt P in der die Tangente senkrecht zum Graphen ist):
$ [mm] Y'=\bruch{2Y}{2x}=\bruch{Y}{x} [/mm] $
Nun gehe ich davon aus, dass meine allgemeine Lösung y=c*x (einsetzen in DGL)
ist:
=> y'=c
Probe:
$ [mm] Y'=\bruch{2Y}{2x}=\bruch{Y}{x} $=\bruch{c*x}{x}=c=y'
[/mm]
Müsste also richtig sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:45 Mo 27.12.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Das ist ja egal ob man das sieht oder nicht. Man kann auch ohne es zu sehen auf die Lösung kommen, falls man weiss wie man DGL mit Separation löst...?!
Für Implizit gegebene Funktionen F(x,y) = 0 gilt ja: y' = - [mm] \bruch{F_{x}(x,y)}{F_{y}(x,y)}
[/mm]
Demfall beschreibt y' = [mm] \bruch{y}{x} [/mm] die DGL deiner gesuchten Orthogonaltrajektorien (ohne ein C).
Löse diese Differentialgleichung (ohne das Ergenis zu benutzen).
Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:36 Mo 27.12.2010 | | Autor: | Spirik |
Ich hab mich mal versucht im Internet schlau zumachen über das Separationsverfahren (Trennen der Veränderlichen):
Auf mein Problem angewendet heißt das dann folgendes:
y'=f(x)*g(x)
[mm] y'=\bruch{y}{x}
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{dx}=\bruch{y}{x}
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{y}=\bruch{dx}{x}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{}\bruch{dy}{y}=\integral_{}^{}{}\bruch{dx}{x}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{}\bruch{1}{y}=\integral_{}^{}{}\bruch{1}{x}
[/mm]
ln y +c= ln x+c
y=x
Und wie komme ich dann auf deinen Ansatz von y=x*c?
Gruß
PS: Besten Dank schonmal an Dich!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:04 Mo 27.12.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Moin,
> Ich hab mich mal versucht im Internet schlau zumachen über
> das Separationsverfahren (Trennen der Veränderlichen):
>
> Auf mein Problem angewendet heißt das dann folgendes:
> y'=f(x)*g(x)
>
> [mm]y'=\bruch{y}{x}[/mm]
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}=\bruch{y}{x}[/mm]
>
> [mm]\bruch{dy}{y}=\bruch{dx}{x}[/mm]
Genau, richtig!
>
> [mm]\integral_{}^{}{}\bruch{dy}{y}=\integral_{}^{}{}\bruch{dx}{x}[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{}\bruch{1}{y}=\integral_{}^{}{}\bruch{1}{x}[/mm]
>
> ln y +c= ln x+c
Ja hier haperts.
Eigentlich gibt es ln(y) + [mm] c_{1} [/mm] = ln(x) + [mm] c_{2} [/mm] - verschiedene Konstanten vom Integrieren.
Also ist ln(y) = ln(x) + [mm] c_{3}
[/mm]
Jetzt hoch e nehmen:
y = [mm] e^{ln(x) + c_{3}} [/mm] = [mm] x*c_{4}
[/mm]
Gelöst.
Bitte...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 Mo 27.12.2010 | | Autor: | Spirik |
Danke schonmal.
Nun habe ich mehrere Aufgaben zu rechnen und hänge an ein paar.
x²+2y²=c²
x²+2y²-c²=0
Fy=4y
Fx=2x
[mm] y'=\bruch{4y}{2x}=\bruch{2y}{x}
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{dx}=\bruch{2y}{x}
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{2y}=\bruch{dx}{x}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{}\bruch{1}{2y}=\integral_{}^{}{}\bruch{1}{x}
[/mm]
ln 2y=ln x +c3 /e
2y=x*c4
[mm] y=\bruch{x*c4}{2}
[/mm]
Wo liegt hier der Fehler? (rauskommen soll: y=x*c²
Aufgabe 2:
(x-c)²+y²-c²=0
Fx=2x-2c
Fy=2y
[mm] y'=\bruch{2y}{2x-2c}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{}\bruch{1}{2y}=\integral_{}^{}{}\bruch{1}{2x-2c}
[/mm]
ln 2y=ln (2x-2c) + c3
Wo liegt hier der Fehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Mo 27.12.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Du hast falsch integriert. Schau dir nochmal an wie du [mm] \bruch{1}{2y} [/mm] richtig integrierst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Mo 27.12.2010 | | Autor: | Spirik |
> Du hast falsch integriert. Schau dir nochmal an wie du
> [mm]\bruch{1}{2y}[/mm] richtig integrierst.
[mm] \integral_{}^{}{}\bruch{1}{2y}=\integral_{}^{}{}\bruch{1}{2}\bruch{1}{y}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] ln y
oder
(mit Substitution) [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ln 2y
aber deshalb komm ich auch nicht auf y=cx²
Was mach ich falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 Mo 27.12.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Was heisst da "oder" ?
a*ln(b) = [mm] ln(b^{a})
[/mm]
Im fall von a = 1/2 nennt man das auch Wurzel.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:07 Mo 27.12.2010 | | Autor: | Spirik |
> ln 2y=ln x +c3 /e
>
> 2y=x*c4
Kannst Du mir die allgemeine Rechenregel dazu sagen?
Ich habe nämlich z.B. hier das Problem, dass ich auf
[mm] y=\bruch{2}{ln(2x+1) + c} [/mm] komme.
Aber rauskommen müsste
[mm] y=\bruch{2}{lnc(2x+1)}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:15 Mo 27.12.2010 | | Autor: | qsxqsx |
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{2y}} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{2(x-c_{1})}}
[/mm]
ln(y) = [mm] ln(x-c_{1}) [/mm] + [mm] c_{2}
[/mm]
y = [mm] e^{x-c_{1}}*c_{3}, [/mm] mit [mm] c_{3} [/mm] = [mm] e^{c_{2}} [/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:59 Mo 27.12.2010 | | Autor: | Spirik |
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{2y}}[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{2(x-c_{1})}}[/mm]
> ln(y) = [mm]ln(x-c_{1})[/mm] + [mm]c_{2}[/mm]
Mich verwirrt das jetzt etwas. Ich steig einfach mal hier ein und rechne weiter:
[mm] e^{ln y}=e^{ln(x-c_{1})}+e^{c_{2}}
[/mm]
[mm] e^{ln y}=e^{ln(x-c_{1})*c_{2}}
[/mm]
[mm] y=(x-c_{1})*c_{2}
[/mm]
Und die Regel dahinter ist [mm] e^{a} [/mm] + [mm] e^{b}=e^{a*b}?
[/mm]
Müsste so richtig und ausführlich sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:18 Di 28.12.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Ah sorry das war völlig falsch. Nochmal:
So ist es richtig:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{2y}} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{2(x-c_{1})}}
[/mm]
ln(y) = [mm] ln(x-c_{1}) [/mm] + [mm] c_{2}
[/mm]
y = [mm] (x-c_{1})*c_{3}, [/mm] mit [mm] c_{3} [/mm] = [mm] e^{c_{2}}
[/mm]
NEIN es ist sicher nicht [mm] e^{a} [/mm] + [mm] e^{b} [/mm] = [mm] e^{a*b} [/mm] NEIN! FALSCH!
Schau dir mal unter google Potenzgesetze bzw. Logarithmengesetze an.
Abend
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