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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:33 Fr 23.04.2010 | | Autor: | waruna |
| Aufgabe | | Sei [mm] (x_{n}) [/mm] ein orthonormalsystem in H mit unendlich vielen Elementen. Zeigen Sie, dass fuer alle x [mm] \in [/mm] H: [mm] \to [/mm] 0. Pruefen Sie das im [mm] l^{2} [/mm] am Beispiel eines typischen ONS nach. |
Ich habe versucht, das so zu machen:
Hilbertraum [mm] \Rightarrow [/mm] vollstaendig [mm] \Rightarrow [/mm] jede Cauchyfolge konvergiert, dh. zeigen, dass
fuer alle [mm] \varepsilon>0, [/mm] ex. [mm] n'(\varepsilon), [/mm] so dass
[mm] |-|<\varepsilon, [/mm] fuer alle n,m>n'. (*)
Dann irgendwie zeigen, dass gegen 0 konvergiert.
Um (*) zu beweisen, habe ich versucht [mm] [/mm] zu addieren (weil das Null ist) und ein bisschen damit zu spielen, leider ohne Erfolg.
Vielleich habe ich ueberhaupt schlechten Loesungsweg gewaehlt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:03 Mo 26.04.2010 | | Autor: | fred97 |
Die Besselsche Ungleichung besagt:
[mm] $\summe_{i=1}^{n}||^2 \le ||x||^2$ [/mm] für jedes n [mm] \in \IN
[/mm]
Insbesondere folgt, dass die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty}||^2 [/mm] konvergiert.
Und daraus folgt ?
FRED
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