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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:32 Mi 02.12.2009 | | Autor: | pestaiia |
| Aufgabe | Im [mm] R^4 [/mm] seien die Vektoren
[mm] v_1=(1,1,1,0)
[/mm]
[mm] v_2=(1,2,0,3)
[/mm]
[mm] v_3=(1,2,3,4)
[/mm]
gegeben. Man bestimme ein Gleichungssystem, dessen Lösungsgesamtheit
[mm] Rv_1+Rv_2+Rv_3 [/mm] ist. |
Hallo!
Mein Problem bei dieser Aufgabe ist nicht das wie sondern das was. Ich verstehe nicht was genau ich berechnen soll. Da wir zur Zeit das Thema Orthonormalbasis haben denke ich dass ich diese hier ausrechnen soll, um das Gleichungssystem zu bekommen,oder?
Unsere Prof hat uns noch folgenden Hinweis gegeben:
Sei U = [mm] span(v_1, v_2, v_3) [/mm] . Dann ist [mm] U^{\perp} [/mm] alle Vektoren x mit
[mm] (v_1 [/mm] . x ) = 0
[mm] (v_2 [/mm] . x ) = 0
[mm] (v_3 [/mm] . x ) = 0
Das heißt: [mm] U^{\perp} [/mm] ist die Lösungsmenge des obigen Systems. Es ist ein lineare Unterraum (von Dimension 1). Das heißt: es hat eine Basisvektor. Nennen wir u dieses Basisvektor. Dann sind [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] eine Basis für die Lösungsmenge des Systems:
(u . x ) = 0
Kann mir jemand die Frage nochmal mit anderen Worten sagen,bzw. mir auf die Sprünge helfen?
MfG
Pestaiia
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> Im [mm]R^4[/mm] seien die Vektoren
> [mm]v_1=(1,1,1,0)[/mm]
> [mm]v_2=(1,2,0,3)[/mm]
> [mm]v_3=(1,2,3,4)[/mm]
> gegeben. Man bestimme ein Gleichungssystem, dessen
> Lösungsgesamtheit
> [mm]Rv_1+Rv_2+Rv_3[/mm] ist.
Hallo,
ich sag Dir mal, was ich mir hierzu überlegen würde.
Meine Überlegungen basieren darauf, was ich über lineare Gleichungssysteme weiß.
Orthogonalität kommt nicht (offen) vor.
Ich sehe daran, daß der Nullvektor in der Lösungsmenge enthalten ist, daß es sich um ein homogenes lineares GS handeln soll.
Der LösungsraumL= [mm]Rv_1+Rv_2+Rv_3[/mm] hat die Dimension 3.
Also hat das zugrundeliegende Gleichungssystem den Rang 1.
Dh. ich kann ein "System", bestehend aus einer Gleichung mit 4 Variablen suchen, welches von den drei Basisvektoren des Lösungsraumes gelöst wird.
Sei ax+by+cz+dt=0 mein Gleichungssystem.
Ermitteln wiell ich die Koeffizieten a,b,c,d.
Ich weiß, daß gelten muß (weil ja [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] das System lösen):
a*1+b*1+c*1=0
a*1+b*1+d*3=0
a*1+b*2*c*3*d*4=0
Die Aufgabe ist nun also, durch Lösen dieses Gleichungssystems a,b,c,d zu bestimmen.
ax+by+cz+dt=0 ist dann das GS, was tut, was es sollt.
Um nun doch den Bogen zur Orthogonalität zu schlagen:
das GS
a*1+b*1+c*1=0
a*1+b*1+d*3=0
a*1+b*2*c*3*d*4=0
können wir auch anders schreiben:
[mm] \vektor{1\\1\\1\\0}*\vektor{a\\b\\c\\d}=0
[/mm]
[mm] \vektor{1\\1\\0\\3}*\vektor{a\\b\\c\\d}=0
[/mm]
[mm] \vektor{1\\2\\3\\4}*\vektor{a\\b\\c\\d}=0,
[/mm]
und damit sind wir bei dem, was dein Prof. sagt.
Gruß v. Angela
> Hallo!
> Mein Problem bei dieser Aufgabe ist nicht das wie sondern
> das was. Ich verstehe nicht was genau ich berechnen soll.
> Da wir zur Zeit das Thema Orthonormalbasis haben denke ich
> dass ich diese hier ausrechnen soll, um das
> Gleichungssystem zu bekommen,oder?
> Unsere Prof hat uns noch folgenden Hinweis gegeben:
> Sei U = [mm]span(v_1, v_2, v_3)[/mm] . Dann ist [mm]U^{\perp}[/mm] alle
> Vektoren x mit
>
> [mm](v_1[/mm] . x ) = 0
> [mm](v_2[/mm] . x ) = 0
> [mm](v_3[/mm] . x ) = 0
>
> Das heißt: [mm]U^{\perp}[/mm] ist die Lösungsmenge des obigen
> Systems. Es ist ein lineare Unterraum (von Dimension 1).
> Das heißt: es hat eine Basisvektor. Nennen wir u dieses
> Basisvektor. Dann sind [mm]v_1, v_2, v_3[/mm] eine Basis für die
> Lösungsmenge des Systems:
>
> (u . x ) = 0
> Kann mir jemand die Frage nochmal mit anderen Worten
> sagen,bzw. mir auf die Sprünge helfen?
> MfG
> Pestaiia
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