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| Aufgabe | Betrachte [mm] \IR^3 [/mm] als euklidischen Vektorraum mit dem Skalarprodukt, dessen Gramsche Matrix bezüglich der Standardbasis [mm] \varepsilon= (e_{1},e_{2},e_{3}) [/mm] die Matrix
[mm] G=\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 } [/mm] ist. Sei
U= [mm] \IR e_{1} [/mm] + [mm] \IR e_{2}.
[/mm]
1. Man bestimme eine Orthonormalbasis von U.
2. Sei [mm] h_{U}End_{\IR}(\IR^3), x\mapsto [/mm] das Lot von x auf U.
Man bestimme die darstellende Matrix M [mm] \varepsilon(h_{U}) [/mm] von [mm] h_{U}. [/mm] |
Mein Problem ist, dass ich bei dieser Aufgabe nocht voran komme, ich verstehe nicht, wie ich hier vor gehen soll. Bei dem ersten Teil dachte ich irgend etwas mit Schmidt´sches Orthonormalisierungsverfahren, aber es klappt nicht.
Kann mir jemand helfen?
Danke im Voraus;D
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Hallo,
> Betrachte [mm]\IR^3[/mm] als euklidischen Vektorraum mit dem
> Skalarprodukt, dessen Gramsche Matrix bezüglich der
> Standardbasis [mm]\varepsilon= (e_{1},e_{2},e_{3})[/mm] die
> Matrix
>
> [mm]G=\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 }[/mm] ist. Sei
> U= [mm]\IR e_{1}[/mm] + [mm]\IR e_{2}.[/mm]
>
> 1. Man bestimme eine Orthonormalbasis von U.
> 2. Sei [mm]h_{U}End_{\IR}(\IR^3), x\mapsto[/mm] das Lot von x auf
> U.
>
> Man bestimme die darstellende Matrix M [mm]\varepsilon(h_{U})[/mm]
> von [mm]h_{U}.[/mm]
>
> Mein Problem ist, dass ich bei dieser Aufgabe nocht voran
> komme, ich verstehe nicht, wie ich hier vor gehen soll. Bei
> dem ersten Teil dachte ich irgend etwas mit Schmidt´sches
> Orthonormalisierungsverfahren, aber es klappt nicht.
Das sollte funktionieren. Wenn du deinen bisherigen Lösungsweg hier postest, können wir schauen, warum es nicht geklappt hat. Das Verfahren wird auch unterschiedlich gelehrt. Deswegen wäre es gut zu erfahren, wie ihr es macht.
Beim Gram Schmidt musst du aufpassen, dass du das richtige Skalarprodukt verwendest: [mm] $=w^T\cdot G\cdot [/mm] v$
>
> Kann mir jemand helfen?
>
> Danke im Voraus;D
Gruß
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| Aufgabe | also das Skalarprodukt mit dieser Graschen Matrix ist:
[mm] x_{1}y_{1}+x_{2}y_{1}+x_{3}y_{1}+x_{1}y_{2}+2x_{2}y_{2}+x_{3}y_{2}+x_{1}y_{3}+x_{2}y_{3}+3x_{3}y_{3}
[/mm]
dann bildet man ONB von U
[mm] v_{1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0\\ 0} [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] = [mm] \vektor{0\\ 1\\ 0}
[/mm]
für [mm] u_{1} [/mm] kommt mit Schmidtsches ONV [mm] \vektor{1 \\ 0\\ 0} [/mm] raus und für [mm] u_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}* \vektor{0 \\ 1\\ 0}. [/mm] |
Nun weiß ich nicht wie ich diese Aufgabe weiter rechnen kann. Kann mir jemand helfen?
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> also das Skalarprodukt mit dieser Graschen Matrix ist:
>
<x,y>=
> [mm]x_{1}y_{1}+x_{2}y_{1}+x_{3}y_{1}+x_{1}y_{2}+2x_{2}y_{2}+x_{3}y_{2}+x_{1}y_{3}+x_{2}y_{3}+3x_{3}y_{3}[/mm]
>
> dann bildet man ONB von U
> [mm]v_{1}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\
0\\
0}[/mm] und [mm]v_{2}[/mm] = [mm]\vektor{0\\
1\\
0}[/mm]
Hallo,
bzgl. des von Dir angegebenen Skalarproduktes ist [mm] (v_1,v_2) [/mm] keine ONB und keine Orthogonalbasis von U.
Du mußt nicht nur normalisieren, sondern auch orthogonalisieren.
Gram-Schmidt kannst Du dafür nehmen, ggf. müßtest Du mal vorrechnen, was Du tust.
Gruß v. Angela
>
> für [mm]u_{1}[/mm] kommt mit Schmidtsches ONV [mm]\vektor{1 \\
0\\
0}[/mm]
> raus und für [mm]u_{2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}* \vektor{0 \\
1\\
0}.[/mm]
>
> Nun weiß ich nicht wie ich diese Aufgabe weiter rechnen
> kann. Kann mir jemand helfen?
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kann mir vielleicht jemand sagen, was mit dem zweiten Teil dieser Frage gemeint ist?
dankeschön
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:53 So 20.03.2011 | | Autor: | fred97 |
[mm] h_u [/mm] ist eine lineare Abb.: [mm] h_u: \IR^3 \to \IR^3
[/mm]
Du sollst die Abbildungsmatrix dieser Abb. bezügl. der Basis [mm] \epsilon [/mm] bestimmen.
FRED
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