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| Aufgabe | Im [mm] \IR^{5} [/mm] mit dem kanonischen inneren Produkt sei U = [mm] L\{(1,2,3,1,1)^{T}, (1,3,2,1,2)^{T}\}.
[/mm]
Man bestimme Orthonormalbasen von U und [mm] U^{\perp}. [/mm] |
Was hat der Ausdruck "mit dem kanonischen inneren Produkt sei U..." zu bedeuten?
Von U konnte ich die ONB schon bestimmen und hoffe, dass es richtig ist:
[mm] \vec{b_1}= \bruch{1}{\wurzel{16}}(1,2,3,1,1)^{T}
[/mm]
[mm] \vec{b_2}= \bruch{1}{\wurzel{3}}(0,1,-1,0,1)^{T}
[/mm]
Wie soll ich die Orthonormalbasen von [mm] U^{\perp} [/mm] bestimmen? Hab gelesen, dass ich noch zu den ersten beiden berechneten Basisvektoren weitere ergänzen muss um auf die ONB von [mm] U^{\perp} [/mm] zu kommen. Stimmt das?
In meinem Fall muss ich noch 3 weitere Basisvektoren finden, da ich im [mm] \IR^{5} [/mm] bin oder?
Wie kann ich diese nun finden?
Lg
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> Im [mm]\IR^{5}[/mm] mit dem kanonischen inneren Produkt sei U =
> [mm]L\{(1,2,3,1,1)^{T}, (1,3,2,1,2)^{T}\}.[/mm]
> Man bestimme
> Orthonormalbasen von U und [mm]U^{\perp}.[/mm]
> Was hat der Ausdruck "mit dem kanonischen inneren Produkt
> sei U..." zu bedeuten?
Hallo,
gemeint ist das "ganz normale" Skalarprodukt.
>
> Von U konnte ich die ONB schon bestimmen und hoffe, dass es
> richtig ist:
> [mm]\vec{b_1}= \bruch{1}{\wurzel{16}}(1,2,3,1,1)^{T}[/mm]
>
> [mm]\vec{b_2}= \bruch{1}{\wurzel{3}}(0,1,-1,0,1)^{T}[/mm]
Ja, richtig.
>
> Wie soll ich die Orthonormalbasen von [mm]U^{\perp}[/mm] bestimmen?
Zum Glück brauchst Du nur eine Orthonormalbasis...
> Hab gelesen, dass ich noch zu den ersten beiden berechneten
> Basisvektoren weitere ergänzen muss um auf die ONB von
> [mm]U^{\perp}[/mm] zu kommen. Stimmt das?
> In meinem Fall muss ich noch 3 weitere Basisvektoren
> finden, da ich im [mm]\IR^{5}[/mm] bin oder?
Ja, genau.
Bestimme jetzt erstmal irgendeine Basis von [mm] U^{\perp}.
[/mm]
Diese kannst Du anschließend orthonormalisieren.
Bedenke, daß [mm] U^{\perp} [/mm] alle Vektoren [mm] \vec{x} [/mm] enthält, für welche gilt
[mm] \vec{b_1}*\vec{x}=0 [/mm] und
[mm] \vec{b_2}*\vec{x}=0.
[/mm]
Daraus bekommst Du ein homogenes LGS, dessen Lösungsraum Du nun bestimmen kannst.
Gruß v. Angela
>
> Wie kann ich diese nun finden?
>
> Lg
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Danke für deine Antwort!
Wie bestimme ich eine Basis von [mm] U^{\perp}?
[/mm]
Ich hab mal ein lin. Gleichungssystem mit den beiden zuvor berechneten normierten Baisvektoren aufgestellt:
[mm] \bruch{1}{4}x_1 [/mm] + [mm] 0x_2 [/mm] = 0
[mm] \bruch{1}{2}x_1 [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}}x_2 [/mm] = 0
[mm] \bruch{3}{4}x_1 [/mm] - [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}}x_2 [/mm] = 0
[mm] \bruch{1}{4}x_1 [/mm] + [mm] 0x_2 [/mm] = 0
[mm] \bruch{1}{4}x_1 [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}}x_2 [/mm] = 0
Hier sehe ich das [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] = 0
Somit sind sie linear unabhängig, gut das ist klar.
Wie bestimme ich jetzt aber irgendeine weitere Basis?
Lg
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Hallo dreamweaver,
> Danke für deine Antwort!
>
> Wie bestimme ich eine Basis von [mm]U^{\perp}?[/mm]
>
> Ich hab mal ein lin. Gleichungssystem mit den beiden zuvor
> berechneten normierten Baisvektoren aufgestellt:
>
> [mm]\bruch{1}{4}x_1[/mm] + [mm]0x_2[/mm] = 0
> [mm]\bruch{1}{2}x_1[/mm] + [mm]\bruch{1}{\wurzel{3}}x_2[/mm] = 0
> [mm]\bruch{3}{4}x_1[/mm] - [mm]\bruch{1}{\wurzel{3}}x_2[/mm] = 0
> [mm]\bruch{1}{4}x_1[/mm] + [mm]0x_2[/mm] = 0
> [mm]\bruch{1}{4}x_1[/mm] + [mm]\bruch{1}{\wurzel{3}}x_2[/mm] = 0
Das ist nicht das richtige Gleichungssystem.
Das richtige Gleichungssystem lautet:
[mm]1*x_{1}+2*x_{2}+3*x_{3}+1*x_{4}+1*x_{5}=0[/mm]
[mm]0*x_{1}+1*x_{2}-1*x_{3}+0*x_{4}+1*x_{5}=0[/mm]
Bestimme davon die Lösungsmenge.
>
> Hier sehe ich das [mm]x_1[/mm] = [mm]x_2[/mm] = 0
> Somit sind sie linear unabhängig, gut das ist klar.
>
> Wie bestimme ich jetzt aber irgendeine weitere Basis?
>
> Lg
Gruss
MathePower
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Warum werden die Vektoren transponiert?
Weshalb braucht man die Forfaktoren [mm] \bruch{1}{4} [/mm] und [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}} [/mm] nicht in das Gleichungssystem mit einbringen?
Das Gleichungssystem ist nicht eindeutig lösbar, weil es mehr Unbekannte als Variablen gibt oder?
Lg
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> Warum werden die Vektoren transponiert?
Hallo,
was meinst Du? Hier würde nichts transponiert.
es ist doch
$ [mm] \vec{b_1}\cdot{}\vec{x}=0 [/mm] $
<==> [mm] \bruch{1}{4}$\vektor{1\\2\\3\\1\\1}*\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5}=0
[/mm]
<==> [mm] \bruch{1}{4}(x_1+2x_2+3x_3+x_4+x_5)=0
[/mm]
<==> [mm] x_1+2x_2+3x_3+x_4+x_5=0
[/mm]
>
> Weshalb braucht man die Forfaktoren [mm]\bruch{1}{4}[/mm] und
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{3}}[/mm] nicht in das Gleichungssystem mit
> einbringen?
Diese frage sollte damit auch beantwortet sein.
>
> Das Gleichungssystem ist nicht eindeutig lösbar, weil es
> mehr Unbekannte als Variablen gibt oder?
???
Es ist nicht eindeutig lösbar.
Das Gleichungssystem hat den Rang 2 und 5 Variablen, also hat der Lösungsraum die Dimension 3.
Gruß v. Angela
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Oje meinte natürlich mehr Unbekannte als Gleichungen, daher nicht eindeutig lösbar.
Ich hab jetzt mal das Gleichungssystem gelöst, ist es so richtig:
[mm] x_1 [/mm] = [mm] -5x_2-x_4-4x_5
[/mm]
[mm] x_3 [/mm] = [mm] x_2+x_5
[/mm]
a = [mm] x_2
[/mm]
b = [mm] x_4
[/mm]
c = [mm] x_5
[/mm]
[mm] \vec{b}\cdot \{ a\cdot\vektor{-5 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}+b\cdot\vektor{-1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}+c\cdot\vektor{-4 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1}\}=0
[/mm]
[mm] L\{(-5,1,1,0,0)^{T},(-1,0,0,1,0)^{T},(-4,0,1,0,1)^{T}\}
[/mm]
Stimmt das so? Ist das jetzt auch schon die Basis die ich jetzt noch normalisieren muss?
Bitte habt etwas Geduld mit mir *g*.
Lg
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Hallo dreamweaver,
> Oje meinte natürlich mehr Unbekannte als Gleichungen,
> daher nicht eindeutig lösbar.
>
> Ich hab jetzt mal das Gleichungssystem gelöst, ist es so
> richtig:
>
> [mm]x_1[/mm] = [mm]-5x_2-x_4-4x_5[/mm]
> [mm]x_3[/mm] = [mm]x_2+x_5[/mm]
>
> a = [mm]x_2[/mm]
> b = [mm]x_4[/mm]
> c = [mm]x_5[/mm]
>
> [mm]\vec{b}\cdot \{ a\cdot\vektor{-5 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}+b\cdot\vektor{-1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}+c\cdot\vektor{-4 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1}\}=0[/mm]
>
> [mm]L\{(-5,1,1,0,0)^{T},(-1,0,0,1,0)^{T},(-4,0,1,0,1)^{T}\}[/mm]
>
> Stimmt das so? Ist das jetzt auch schon die Basis die ich
> jetzt noch normalisieren muss?
Ja, das stimmt so.
Zunächst muß aus dieser Basis eine Orthogonalbasis
gemacht werden, bevor normalisiert werden kann.
>
> Bitte habt etwas Geduld mit mir *g*.
>
> Lg
Gruss
MathePower
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Die normalisierte Basis ist:
[mm] \vec{b_1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{27}}(-5,1,1,0,0)^{T}
[/mm]
[mm] \vec{b_2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{783}}(-2,-5,-5,27,0)^{T}
[/mm]
[mm] \vec{b_3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{112752}}(-27,-198,63,-27,261)^{T}
[/mm]
Stimmt das so?
Lg
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Hallo dreamweaver,
> Die normalisierte Basis ist:
>
> [mm]\vec{b_1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{27}}(-5,1,1,0,0)^{T}[/mm]
> [mm]\vec{b_2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{783}}(-2,-5,-5,27,0)^{T}[/mm]
> [mm]\vec{b_3}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{112752}}(-27,-198,63,-27,261)^{T}[/mm]
>
> Stimmt das so?
Die Basis stimmt so.
Der Rechenweg, wie Du dahin gekommen bist,
erschliesst sich mir nicht.
>
> Lg
Gruss
MathePower
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Zuerst hab ich orthogonalisiert:
[mm] \vec{w_1} [/mm] = [mm] \vec{v_1}
[/mm]
[mm] \vec{w_2} [/mm] = [mm] -\bruch{\vec{v_2}\cdot\vec{w_1}}{\vec{w_1}\cdot\vec{w_1}}\cdot\vec{w_1}+\vec{v_2}=(-2,-5,-5,27,0)^{T}
[/mm]
[mm] \vec{w_3} [/mm] = [mm] -\bruch{\vec{v_3}\cdot\vec{w_1}}{\vec{w_1}\cdot\vec{w_1}}\cdot\vec{w_1}-\bruch{\vec{v_3}\cdot\vec{w_2}}{\vec{w_2}\cdot\vec{w_2}}\cdot\vec{w_2}+\vec{v_3}=(-27,-198,63,-27,261)^{T}
[/mm]
Dann hab ich orthonormalisiert:
[mm] \vec{b_1} [/mm] = [mm] \bruch{\vec{w_1}}{\parallel\vec{w_1}\parallel} [/mm] = [mm] (-5,1,1,0,0)^{T}
[/mm]
Mit [mm] \vec{b_2} [/mm] und [mm] \vec{b_3} [/mm] bin ich auch so verfahren.
Die Vorfaktoren(Wurzelbrüche) muss ich nicht anschreiben denn ein Basisvektor gibt doch nur die Richtung an, egal welchen Betrag dieser hat oder?
Lg
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Hallo dreamweaver,
> Zuerst hab ich orthogonalisiert:
> [mm]\vec{w_1}[/mm] = [mm]\vec{v_1}[/mm]
>
> [mm]\vec{w_2}[/mm] =
> [mm]-\bruch{\vec{v_2}\cdot\vec{w_1}}{\vec{w_1}\cdot\vec{w_1}}\cdot\vec{w_1}+\vec{v_2}=(-2,-5,-5,27,0)^{T}[/mm]
Die Rechnung stimmt nicht ganz:
[mm]\vec{w_2} = -\bruch{\vec{v_2}\cdot\vec{w_1}}{\vec{w_1}\cdot\vec{w_1}}\cdot\vec{w_1}+\vec{v_2}=\blue{\bruch{1}{27}}(-2,-5,-5,27,0)^{T}[/mm]
>
> [mm]\vec{w_3}[/mm] =
> [mm]-\bruch{\vec{v_3}\cdot\vec{w_1}}{\vec{w_1}\cdot\vec{w_1}}\cdot\vec{w_1}-\bruch{\vec{v_3}\cdot\vec{w_2}}{\vec{w_2}\cdot\vec{w_2}}\cdot\vec{w_2}+\vec{v_3}=(-27,-198,63,-27,261)^{T}[/mm]
Auch hier muss es lauten:
[mm]\vec{w_3} = -\bruch{\vec{v_3}\cdot\vec{w_1}}{\vec{w_1}\cdot\vec{w_1}}\cdot\vec{w_1}-\bruch{\vec{v_3}\cdot\vec{w_2}}{\vec{w_2}\cdot\vec{w_2}}\cdot\vec{w_2}+\vec{v_3}=\blue{\bruch{1}{29*9}}(-27,-198,63,-27,261)^{T}[/mm]
Demnach hast Du immer dafür gesorgt,
daß der Ergebnisvektor ganzzahlige Komponenten hat.
>
> Dann hab ich orthonormalisiert:
> [mm]\vec{b_1}[/mm] = [mm]\bruch{\vec{w_1}}{\parallel\vec{w_1}\parallel}[/mm]
> = [mm](-5,1,1,0,0)^{T}[/mm]
> Mit [mm]\vec{b_2}[/mm] und [mm]\vec{b_3}[/mm] bin ich auch so verfahren.
>
> Die Vorfaktoren(Wurzelbrüche) muss ich nicht anschreiben
> denn ein Basisvektor gibt doch nur die Richtung an, egal
> welchen Betrag dieser hat oder?
Ohne Vorfaktoren handelt es sich nur um eine Orthogonalbasis.
>
> Lg
Gruss
MathePower
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Ah stimmt ja!
Das heißt [mm] \vec{b_3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{\bruch{112752}{261^{2}}}} (-27,-198,63,-27,261)^{T} [/mm] ?
Bei den anderen muss ich das dann natürlich auch noch machen.
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Hallo dreamweaver,
> Ah stimmt ja!
>
> Das heißt [mm]\vec{b_3}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{\bruch{112752}{261^{2}}}} (-27,-198,63,-27,261)^{T}[/mm]
> ?
So wie du das angegeben hast, stimmt das:
[mm]\vec{b_3}= \bruch{1}{\wurzel{112752}} (-27,-198,63,-27,261)^{T}[/mm]
> Bei den anderen muss ich das dann natürlich auch noch
> machen.
Gruss
MathePower
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Das heißt, beim Orthogonalisieren muss ich den Vorfaktor anschreiben, und beim Orthonormalisieren, muss dieser nicht berücksichtigt werden?
Denn genauso bin ich auf das Ergebnis gekommen...
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Hallo dreamweaver,
> Das heißt, beim Orthogonalisieren muss ich den Vorfaktor
> anschreiben, und beim Orthonormalisieren, muss dieser nicht
> berücksichtigt werden?
Das ist genau andersrum.
Beim Orthogonalisieren musst Du den Vorfaktor nicht berücksichtigen,
beim Orthonormalisieren hingegegen schon.
> Denn genauso bin ich auf das Ergebnis gekommen...
Gruss
MathePower
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Beim normalisierten Vektor [mm] \vec{b_3} [/mm] wird der Vorfaktor des orthogonalisierten Vektors [mm] \vec{w_3} [/mm] in diesem Fall [mm] \bruch{1}{261} [/mm] nicht berücksichtigt oder?
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Hallo dreamweaver,
> Beim normalisierten Vektor [mm]\vec{b_3}[/mm] wird der Vorfaktor des
> orthogonalisierten Vektors [mm]\vec{w_3}[/mm] in diesem Fall
> [mm]\bruch{1}{261}[/mm] nicht berücksichtigt oder?
Ja, da [mm]\vmat{\vec_{b_{3}}} \not= 1[/mm].
Gruss
MathePower
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Alles klar, danke für deine Hilfe und Geduld!
Lg
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