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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:33 Do 09.06.2011 | | Autor: | sissenge |
| Aufgabe | Wir betrachten den euklidischen Vektorraum [mm] R^3 [/mm] mit dem Standartskalarprodukt und der Basis [mm] B=(b_{1},b_{2},b_{3}) [/mm] mit
[mm] b_{1}=\vektor{1 \\ 2\\3} [/mm] , [mm] b_{2}=\vektor{-1 \\ 1\\0}, b_{3}=\vektor{0 \\ 4\\0}
[/mm]
Geben Sie eine Orthonormalbasis [mm] C=(c_{1},c_{2},c_{3}) [/mm] des [mm] R^3 [/mm] an mit [mm] Span(c_{1},.....c_{k})= Span(b_{1},.....b_{k}) [/mm] für alle [mm] k\in{1,2,3} [/mm] |
So ich habe jetzt ganz normal mit Gram-Schmidt die Orthonormalbasen berechnet, dabei kommt bei mir raus:
[mm] c_{1}=1/\wurzel{14} [/mm] (1,2,3)
[mm] c_{2}=\wurzel{10}/20 [/mm] (-5,4,-1)
[mm] c_{3}=2\wurzel{290}/1225 [/mm] (25,22,-23)
so, also ich erwarte jetzt definitiv nicht, dass jemand das nachrechnet, das werde ich nochmal machen, weil mir er letzte wert ein bisschen komisch vorkommt.
Meine Frage ist: Muss ich irgendwas noch beachten, weil in der Angabe steht:
[mm] Span(c_{1},.....c_{k})= Span(b_{1},.....b_{k})???
[/mm]
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Hallo sissenge,
> Wir betrachten den euklidischen Vektorraum [mm]R^3[/mm] mit dem
> Standartskalarprodukt und der Basis [mm]B=(b_{1},b_{2},b_{3})[/mm]
> mit
> [mm]b_{1}=\vektor{1 \\ 2\\3}[/mm] , [mm]b_{2}=\vektor{-1 \\ 1\\0}, b_{3}=\vektor{0 \\ 4\\0}[/mm]
>
> Geben Sie eine Orthonormalbasis [mm]C=(c_{1},c_{2},c_{3})[/mm] des
> [mm]R^3[/mm] an mit [mm]Span(c_{1},.....c_{k})= Span(b_{1},.....b_{k})[/mm]
> für alle [mm]k\in{1,2,3}[/mm]
> So ich habe jetzt ganz normal mit Gram-Schmidt die
> Orthonormalbasen berechnet, dabei kommt bei mir raus:
> [mm]c_{1}=1/\wurzel{14}[/mm] (1,2,3)
> [mm]c_{2}=\wurzel{10}/20[/mm] (-5,4,-1)
Hier stimmt der Normierungsfaktor nicht.
> [mm]c_{3}=2\wurzel{290}/1225[/mm] (25,22,-23)
Hier habe ich einen anderen Vektor.
>
> so, also ich erwarte jetzt definitiv nicht, dass jemand das
> nachrechnet, das werde ich nochmal machen, weil mir er
> letzte wert ein bisschen komisch vorkommt.
>
> Meine Frage ist: Muss ich irgendwas noch beachten, weil in
> der Angabe steht:
> [mm]Span(c_{1},.....c_{k})= Span(b_{1},.....b_{k})???[/mm]
Nein.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:57 Do 09.06.2011 | | Autor: | sissenge |
ok, super.. dann rechne ich nochmal nach!
Vielen Dank!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Do 09.06.2011 | | Autor: | sissenge |
ok, mein jetztiger wert ist nicht wirklich besser:
[mm] c_{3}=\bruch{12\wurzel{182}}{1225} [/mm] (25,22,-23)
Hast du denn den gleichen Nenner???
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Hallo sissenge,
> ok, mein jetztiger wert ist nicht wirklich besser:
>
> [mm]c_{3}=\bruch{12\wurzel{182}}{1225}[/mm] (25,22,-23)
>
> Hast du denn den gleichen Nenner???
Ich hab einen völlig anderen Vektor.
Poste dazu Deine bisherigen Rechenschritte.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 Do 09.06.2011 | | Autor: | sissenge |
ok. also:
[mm] c_{1} [/mm] und [mm] c_{2} [/mm] hast du auch raus oder?
Dann schreibe ich nur den Weg von [mm] c_{3} [/mm] hin:
orthogonalisieren von [mm] b_{3}:
[/mm]
[mm] c_{3}'= b_{3}-c_{1}- c_{2}=
[/mm]
= [mm] \vektor{0\\4\\0}-\bruch{4\wurzel{14}}{7} \bruch{1}{\wurzel{14}} \vektor{1\\2\\3} [/mm] - [mm] \bruch{4\wurzel{10}}{5} \bruch{\wurzel{10}}{20} \vektor{-5\\4\\-1}
[/mm]
SO das ist jetzt erstmal die erste Zeile, ich denke, dass hier irgendwo ein Fehler sein muss, aber ich finde einfach keinen
Und danach habe ich den Vektor eben noch normalisiert mit:
[mm] c_{3}= \bruch{c_{3}'}{\parallel c_{3}'\parallel}[/mm]
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Hallo sissenge,
> ok. also:
>
> [mm]c_{1}[/mm] und [mm]c_{2}[/mm] hast du auch raus oder?
Bei [mm]c_{2}[/mm] stimmt der Normierungsfaktor nicht.
Das ist das Skalar vor dem Vektor.
> Dann schreibe ich nur den Weg von [mm]c_{3}[/mm] hin:
>
> orthogonalisieren von [mm]b_{3}:[/mm]
> [mm]c_{3}'= b_{3}-c_{1}- c_{2}=[/mm]
> =
> [mm]\vektor{0\\4\\0}-\bruch{4\wurzel{14}}{7} \bruch{1}{\wurzel{14}} \vektor{1\\2\\3}[/mm]
> - [mm]\bruch{4\wurzel{10}}{5} \bruch{\wurzel{10}}{20} \vektor{-5\\4\\-1}[/mm]
>
> SO das ist jetzt erstmal die erste Zeile, ich denke, dass
> hier irgendwo ein Fehler sein muss, aber ich finde einfach
> keinen
>
> Und danach habe ich den Vektor eben noch normalisiert mit:
> [mm]c_{3}= \bruch{c_{3}'}{\parallel c_{3}'\parallel}[/mm]
Gruss
MathePower
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