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Hallo!
Ich hatte folgende Aufgabe:
Sei V = [mm] C^4 [/mm] der kanonische, 4-dimensionale unitaere Raum.
Seien
v= -1 w= i
i 0
0 2
1 0
Sei U=<v,w>. Meine Frage ist, wie bestimme ich allgemein eine
Orthonormalbasis von dem zu U orthogonalen Komplement?
Vielen Dank schon im Voraus...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:08 Di 15.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo margarita,
> Hallo!
> Ich hatte folgende Aufgabe:
> Sei V = [mm]C^4[/mm] der kanonische, 4-dimensionale unitaere
> Raum.
> Seien
> v= -1 w= i
> i 0
> 0 2
> 1 0
>
> Sei U=<v,w>. Meine Frage ist, wie bestimme ich allgemein
> eine
> Orthonormalbasis von dem zu U orthogonalen Komplement?
Vielleicht mache ich es mir jetzt auch zu einfach, ich würde nämlich so vorgehen:
Zunächst bestimme ich irgendeinen Vektor [mm] $\vec{x}$, [/mm] der senkrecht auf [mm] $\vec{v}, \vec{w}$ [/mm] steht:
[mm] $\langle \vec x,\vec v\rangle=0$
[/mm]
[mm] $\langle \vec x,\vec w\rangle=0$
[/mm]
Das ist ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und vier Unbekannten.
Dann bestimme ich einen vierten Vektor [mm] $\vec{y}$, [/mm] der senkrecht auf allen drei Vektoren steht:
[mm] $\langle \vec y,\vec v\rangle=0$
[/mm]
[mm] $\langle \vec y,\vec w\rangle=0$
[/mm]
[mm] $\langle \vec y,\vec x\rangle=0$
[/mm]
Nach Normierung von [mm] $\vec{x}$ [/mm] und [mm] $\vec{y}$ [/mm] bilden diese eine Orthonormalbasis von [mm] $U^{\perp}$.
[/mm]
Alternativ könnte man mit dem Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren arbeiten: Zunächst [mm] $\vec{v},\vec{w}$ [/mm] zu einer Basis von [mm] $\IC^4$ [/mm] erweitern, und dann das Verfahren anwenden. Dürfte aber sehr viel aufwendiger als mein erster Vorschlag sein, da man erst noch die Basis ergänzen muß und dann auch noch unnötigerweise [mm] $\vec{v}$ [/mm] und [mm] $\vec{w}$ [/mm] orthonormalisiert.
Viele Grüße,
Marc
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Danke fuer Deine Antwort...Ich verstehe etwas noch nicht ganz.
Angenommen man nimmt das Gram-Schmidt-Orthonormalisierungsverfahren und erweitert v,w zu einer
Basis von V durch x und y. Seien x' und y' die Vektoren
nach der Durchfuehrung des Verfahrens. Liegen dann x' und
y' automatisch in [mm] orthog_U(in [/mm] dem zu U orthogonalen Komplement)?
Waere die Aufgabe dieselbe, wie wenn man folgendermassen
formulieren wuerde: Ergaenzen Sie v,w zu einer Orthonormalbasis
von V?
Viele Gruesse, margarita
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:40 Mi 16.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo margarita,
> Angenommen man nimmt das
> Gram-Schmidt-Orthonormalisierungsverfahren und erweitert
> v,w zu einer
> Basis von V durch x und y. Seien x' und y' die Vektoren
> nach der Durchfuehrung des Verfahrens. Liegen dann x'
> und
> y' automatisch in [mm]orthog_U[/mm] (in dem zu U orthogonalen
> Komplement)?
Das würde ich sagen, denn es gilt ja (nach Durchführung des Verfahrens):
[mm] $\langle v,x'\rangle=0$
[/mm]
[mm] $\langle w,x'\rangle=0$
[/mm]
[mm] $\langle v,y'\rangle=0$
[/mm]
[mm] $\langle w,y'\rangle=0$
[/mm]
und deswegen auch für eine Linearkombination [mm] $a*x'+b*y'\in U^{\perp}$ [/mm] und [mm] $c*u+d*w\in [/mm] U$
[mm] $\langle c*u+d*w,a*x'+b*y'\rangle$
[/mm]
[mm] $=ca*\langle u,x'\rangle+cb*\langle u,y'\rangle+da*\langle w,x'\rangle+db*\langle w,y'\rangle$
[/mm]
$=0+0+0+0=0$
d.h. alle Vektoren aus $U$ stehen auf allen Vektoren aus [mm] $U^{\perp}$ [/mm] senkrecht.
> Waere die Aufgabe dieselbe, wie wenn man folgendermassen
> formulieren wuerde: Ergaenzen Sie v,w zu einer
> Orthonormalbasis
> von V?
Diese Frage ist nicht wohldefiniert 
Wenn v und w nicht senkrecht stehen und normiert sind, kann man sie natürlich nicht mehr zu einer Orthonormalbasis ergänzen.
Ergänzt man v und w zu einer Basis von V (durch Hinzunahme der Vektoren x und y) und bestimmt daraus dann eine Orthonormalbasis, muß man auch noch aufpassen, dass nach Anwendung des Verfahrens v, w den Raum $U$ aufspannt und x,y den Raum [mm] $U^{\perp}$. [/mm] Die Basisvektoren werden ja durch das Verfahren "gedreht" und können unter Umstanden die Teilräume nicht mehr aufspannen.
Soweit ich das Verfahren in Erinnerung habe, bleibt ja der erste Vektor fest (bist auf die Länge), und der zweite dazugenommene Vektor wird so gedreht, dass er weiterhin mit dem ersten Vektor diesselbe Ebene aufspannt, aber eben orthogonal zum ersten steht.
Deswegen müßtest du als unbedingt die beiden Basisvektoren u,w von U als die ersten beiden Vektoren im Gram-Schmidt-Verfahren nehmen, und dann erst x und y (darauf hatte ich dich in meiner ersten Antwort gar nicht hingewiesen).
Da du auch eine Orthonormalbasis von U als "Abfall" erhältst (die war ja nicht gefragt), wäre die Aufgabenstellung doch eine andere.
Ich denke, mein erster Vorschlag in meiner ersten Antwort ist immer noch der besser als das Gram-Schmidt-Verfahren anzuwenden...
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:46 Do 17.06.2004 | | Autor: | margarita |
Hi Marc!
>Ich denke, mein erster Vorschlag in meiner ersten Antwort ist immer noch >der besser als das Gram-Schmidt-Verfahren anzuwenden...
Dann gehe ich am Besten so vor, wie Du es zuerst vorgeschlagen hast.
Viele Gruesse, margarita
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